人教b版選修(2-1)橢圓ppt習題(編輯修改稿)
2025-02-14 17:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0的條件 ， 由 QF2⊥ AB， 可求出直線 PQ的斜率 ， 進而求出 |PQ|， 利用點到直線的距離公式求出 △ F1PQ的高 ， 問題就可解決 ． [ 解析 ] (1) 設橢圓半焦距為 c ，則 M ( － c ， b2a) ， ∵ AB ∥ OM ， ∴b2a－ c＝b－ a， ∴ b ＝ c ， a ＝ 2 c ， ∴ e ＝ca＝22. (2) 設 |QF1|＝ r1， |QF2|＝ r2， ∠ F1QF2＝ θ ， ∴ r1＋ r2＝ 2 a ， |F1F2|＝ 2 c . ∴ c os θ ＝r21＋ r22－ 4 c22 r1r2＝( r1＋ r2)2－ 2 r1r2－ 4 c22 r1r2 ＝2 b2r1r2－ 1 ≥2 b2(r1＋ r22)2－ 1 ＝ 0 ， 當且僅當 r1＝ r2時取等號， ∴ 0 ≤ c os θ ≤ 1 ，即 θ ∈ [0 ，π2] ． (3) ∵ b ＝ c ， a ＝ 2 c ， ∴ 可設橢圓方程為x22 c2 ＋y2c2 ＝ 1 ， ∵ PQ ⊥ AB ， kAB＝－22， ∵ kPQ的方程為 y ＝ 2 ( x － c ) ， 代入橢圓方程，得 5 x － 8 cx ＋ 2 c2＝ 0. ∴ |PQ |＝ [ (8 c5)2－4 2 c25] ( 1 ＋ 2 ) ＝6 25c . ∵ 點 F1到直線 PQ 的距離 d ＝2 63c ， ∴ S △ F1PQ ＝12d | PQ |＝122 63c 6 25c ＝4 35c2. 由4 35c2＝ 20 3 ，得 c2＝ 25. 故所求橢圓方程為x250＋y225＝ 1. ? [說明 ] 本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)、直線方程、點到直線的距離、解三角形、不等式等知識，綜合性較強． 如圖所示，已知 △ OF Q 的面積為 S ，且 OF→FQ→＝ 1 ， ( 1) 若12 S 2 求向量 OF→與 FQ→的夾角 θ 的取值范圍． ( 2) 設 |OF |→＝ c ( c ≥ 2) ， S ＝34c ，若以 O 為中心， F 為焦點的橢圓經(jīng)過 Q ，當 |OQ→|取得最小值時，求此橢圓的方程． [ 解析 ] ( 1) 由已知得????? 12| OF→|| FQ→| sin ( π － θ ) ＝ S| OF→|| FQ→| c os θ ＝ 1， ∴ 相除得 tan θ ＝ 2 S 而12 S 2 ， 故 1 tan θ 4 ， ∴π4 θ a r c tan 4 ，即為所求． ( 2) 以 O 為原點， OF→所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標系設所求橢圓的方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ，點 Q 的坐標系為 ( x0， y0)( y0 0) 則 FQ→＝ ( x0－ c ， y0) ， S △OF Q＝12| OF→|y0＝12cy0＝34c ，故 y0＝32. 又 OF→FQ→＝ 1 所以 ( c, 0) ( x0－ c ， y0) ＝ 1 ， 解得 x0＝ c ＋1c， ∴ |OQ→|＝ x20＋ y20＝ ( c ＋1c)2＋94( c ≥ 2) ． 設 f ( c ) ＝ c ＋1c，由定義可知， f ( x ) 在 [2 ，＋ ∞ ) 上遞增，當 c ＝ 2 時 | OQ→|最小此時 Q 點坐標為 (52，32) 由此可得????? 254 a2 ＋94 b2 ＝ 1a2－ b2＝ c2＝ 4， 解得 a2＝ 10 ， b2＝ 6. ∴ 橢圓方程為x210＋y26＝ 1. ? [例 5] 如圖所示 ， 在大西北的荒漠上 ， A，B兩地相距 2 km， 現(xiàn)在準備在荒漠上圍成一片以 AB為一條對角線的平行四邊形區(qū)域 ，建立農(nóng)藝園 ， 按照規(guī)劃 ， 圍墻總長度為 8 km. ? (1)農(nóng)藝園的最大面積能達到多少 ？ ? (2)該荒漠上有一條直水溝剛好過點 A， 且與 AB成 45176。 角 ， 現(xiàn)要對整條水溝進行加固改造 ，
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