【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 BC＝1，對(duì)△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點(diǎn)B、C、B′ 在同一直線上，且四邊形ABB′C′ 為平行四邊形，求θ和n的值．BACB′（圖②）C′BACB′（圖③）C′BACB′（圖①）C′解：（1）3；60（2）∵四邊形ABB′C′ 是矩形，∴∠BAC′＝90176?！唳龋健螩AC′＝∠BAC′－∠BAC＝90176。－30176。＝60176。在Rt△ABB′ 是中，∠ABB′＝90176。，∠BAB′＝60176?！鄋＝ ＝2（3）∵四邊形ABB′C′ 是平行四邊形，∴AC′∥BB′又∵∠BAC＝36176。，∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72176。∴∠C′AB′＝∠AB′B＝∠BAC＝36176。，而∠B＝∠B∴△ABC∽△B′BA，∴AB 2＝1( 1＋AB )∴AB＝ ∵AB＞0，n＝ ＝ 13．（浙江某校自主招生）如圖，矩形ABOD中，AB＝6，AD＝8，M是邊AD上的點(diǎn)，且AM : MD＝1 : 3．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．連接EM并延長(zhǎng)交射線OD于點(diǎn)F，過(guò)M作EF的垂線交射線BO于點(diǎn)G，連接EG、FG．（1）設(shè)AE＝t時(shí)，△EFG的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；（2）若P是MG的中點(diǎn)，在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)P到x軸的距離是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由；OxyBGAPFEMD（3）請(qǐng)直接寫出E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)．解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，t＝0S＝S△ABD ＝ 86＝24OxyBGAPFEMDHN當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，0＜t ≤6在矩形ABOD中，∠A＝∠ADO＝90176?！唷螹DF＝90176。，∴∠A＝∠MDF∵∠AME＝∠DMF，∴△AME∽△DMF∴ ＝ ＝ ∵AD＝8，∴AM＝2在Rt△AME中，AE＝t，AM＝2，∴ME＝ ∴EF＝4ME＝4 過(guò)M作MN⊥BO于N，則∠MNG＝90176。，∠AMN＝90176。MN＝AB＝6＝3AM，∴∠AME＋∠EMN＝90176。∵∠EMG＝90176。，∴∠NMG＋∠EMN＝90176。∴∠AME＝NMG，∴△AME∽△NMGOxyBG2AMDG1P1P2∴ ＝ ＝ ，∴MG＝3ME＝3 ∴S＝ EFMG＝ 4 3 ＝24＋6t 2（2）過(guò)P作PH⊥BO于H，則PH∥MN∵P是MG的中點(diǎn)，∴PH＝ MN＝3∴點(diǎn)P到x軸的距離是定值3（3）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為9提示：由（2）知，在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)P到x軸的距離是定值3所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線是一條平行于BG的線段分別作出E與A重合、E與B重合時(shí)P點(diǎn)的位置PP2，則P1P2即為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)在Rt△BMG2中，∵M(jìn)G1⊥BG2，∴∠G1MG2＝∠MBG1∴tan∠G1MG2＝tan∠MBG1＝3，∴G1G2＝3MG1＝18∵P1P2是△MG1G2的中位線，∴P1P2＝ G1G2＝9即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為914．（浙江模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（5，0），C（0，3）．射線y＝kx交折線A－B－C于點(diǎn)P，點(diǎn)A關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)為A′．（1）當(dāng)點(diǎn)A′ 恰好在CB邊上時(shí)，求CA′ 的長(zhǎng)及k的值；（2）若經(jīng)過(guò)O、A、A′ 三點(diǎn)的拋物線恰好以A′ 為頂點(diǎn)，求k的值及該拋物線的解析式；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上，點(diǎn)A′ 在CB上方時(shí)，連接A′O、A′P分別交CB邊于點(diǎn)E、F．是否存在實(shí)數(shù)k使△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，說(shuō)明理由；（4）以O(shè)P為直徑作⊙M，則⊙M與矩形OABC最多有_________個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多時(shí)k的取值范圍．BACxOy備用圖BACxOyPA′圖1BACxOyPA′圖2EPFP12．解：（1）當(dāng)點(diǎn)A′ 恰好在CB邊上時(shí)，連接A′O、A′P，如圖1∵OA′＝OA＝5，OC＝3BACxOyPA′圖1∴CA′＝ ＝ ＝4∴A′B＝CB－CA′＝5－4＝1設(shè)PA＝x，則A′P＝PA＝x，BP＝3－x在Rt△A′PB中，A′B 2＋BP 2＝A′P 2∴1 2＋( 3－x )2＝x 2，解得x＝ ，∴P（5，）∴k＝ ＝ （2）連接A′O、A′P、A′A，設(shè)A′A交射線OP于點(diǎn)D，如圖2BACxOyPA′圖2D則OP垂直平分A′A∵經(jīng)過(guò)O、A、A′ 三點(diǎn)的拋物線恰好以A′ 為頂點(diǎn)∴由拋物線的對(duì)稱性可知A′O＝A′A＝2A′D∴∠A′OD＝30176。，∴∠AOD＝∠A′OD＝30176?！郟A＝ OA＝ ，∴P（5，）∴k＝ ＝ 可得∠A′OA＝60176。，∴△A′OA是等邊三角形∴點(diǎn)A′ 的坐標(biāo)為（ ，）設(shè)拋物線的解析式為為y＝a( x－ )2＋ 把O（0，0）代入上式，得0＝a( 0－ )2＋ 解得a＝ BACxOyPA′圖3EPFP∴拋物線的解析式為為y＝－ ( x－ )2＋ （3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使△A′EF≌△BPF，如圖3∵∠A′＝∠B＝90176。，∠A′FE＝∠BFP∴A′E＝BP，A′F＝BF設(shè)A′E＝BP＝a，A′F＝BF＝b則A′P＝PA＝3－a，EF＝PF＝3－a－b，OE＝5－aCE＝5－( 3－a－b )－b＝2＋a在Rt△OCE中，OC 2＋CE 2＝OE 2BACxOyP圖4M∴3 2＋( 2＋a )2＝( 5－a )2，解得a＝ ∴PA＝3－ ＝ ，∴P（5，）∴k＝ ＝ （4）以O(shè)P為直徑的⊙M與矩形OABC最多有6個(gè)公共點(diǎn)提示：∵∠OAP＝90176?！喈?dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，⊙M經(jīng)過(guò)O、A、P三點(diǎn)，如圖4∵∠COP＜90176。，∴⊙M必與OC邊交于另一點(diǎn)又∵⊙M與BC邊最多有2個(gè)公共點(diǎn)∴⊙M與矩形OABC最多有6個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，情況亦然①BACxOyP圖5DPMEP當(dāng)⊙M與BC邊相切于點(diǎn)D時(shí)，連接DM并延長(zhǎng)交OA于E，如圖5則MD⊥BC，∴DE∥AB∥OC，∴DE＝OC＝3∵M(jìn)是OP的中點(diǎn)，∴E是OA的中點(diǎn)∴ME＝ PA設(shè)PA＝x，則ME＝ x，DM＝ OP＝ ∵DM＋ME＝DE，∴ ＋ x＝3解得x＝ ，∴P（5，）BACxOyE圖6DPPPM∴k＝ ＝ ②當(dāng)⊙M與AB邊相切于點(diǎn)E時(shí)，連接EM并延長(zhǎng)交OC于D，如圖6設(shè)CP＝x，則DM＝ x，ME＝ OP＝ ∵DM＋ME＝DE，∴ x＋ ＝5解得x＝ ，∴P（ ，3）∴k＝ ＝ 又∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，⊙M經(jīng)過(guò)O、A、B、C四點(diǎn)，此時(shí)k＝ ∴當(dāng)⊙M與矩形OABC有6個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是：＜k ＜ 且k≠ ABDyCOEx15．（浙江模擬）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)B為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線段AB為邊作正方形ABCD（按逆時(shí)針?lè)较驑?biāo)記），正方形ABCD隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)而相應(yīng)變動(dòng)．點(diǎn)E為y軸的正半軸與正方形ABCD某一邊的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，0），線段OE的長(zhǎng)度為m．（1）當(dāng)t＝3時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)t＞0時(shí)，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在t，使點(diǎn)M（－2，2）落在正方形ABCD的邊上？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F則△CFB≌△BOA，得CF＝BO＝3，F(xiàn)B＝OA＝4ABDyCOEx圖1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，3）（2）當(dāng)0＜t ≤4時(shí)，點(diǎn)E為y軸的正半軸與BC邊的交點(diǎn)，如圖1易證△BOE∽△AOB，得 ＝ 即 ＝ ，∴m＝ t 2當(dāng)t ＞4時(shí)，點(diǎn)E為y軸的正半軸與CD邊的交點(diǎn)，如圖2易證△EDA∽△AOB，得 ＝ 而DA＝AB，∴AB 2＝OBEA即4 2＋t 2＝t( m＋4)，∴m＝t＋ －4ABDyCOEx圖2（3）存在當(dāng)t ≤0時(shí)∵正方形ABCD位于x軸的下方（含x軸），∴此時(shí)不存在當(dāng)0＜t ≤4時(shí)①若點(diǎn)M在BC邊上，有 ＝ 解得t＝2或t＝－4（舍去）②若點(diǎn)M在CD邊上，有 ＝ 解得t＝2或t＝4當(dāng)t ＞4時(shí)①若點(diǎn)M在CD邊上，有 ＝ 解得t＝2（舍去）或t＝4（舍去）②若點(diǎn)M在AD邊上，有 ＝ 解得t＝12綜上所述：存在，符合條件的t的值為1216．（浙江模擬）如圖，直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)C在x軸上，C（8，0），∠AOC＝45176。，AB＝5，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD : BD＝2 : 3．有一45176。角的頂點(diǎn)E在x軸上運(yùn)動(dòng)，角的一邊過(guò)點(diǎn)D，角的另一邊與直線OA交于點(diǎn)F，連接DF．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)E在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CE＝x，OF＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△DEF成為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．BxOyAD備用圖CBExOyADFCBExOyADFC圖1GH解：（1）作AG⊥OC于G，DH⊥OC于H，如圖1∵∠AOC＝45176。，∴AG＝OG＝OC－AB＝8－5＝3∵AB＝5，AD : BD＝2 : 3，∴AD＝2∴OH＝3＋2＝5∴D（5，3）（2）①當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，如圖1連接DC，則HC＝OC－OH＝8－5＝3∴HC＝DH＝3，∴CD＝6，∠DCH＝45176?！唷螮DC＋∠DEC＝135176?！摺螪EF＝45176。，∴∠FEO＋∠DEC＝135176。BExOyADFC圖2∴∠FEO＝∠EDC，又∠EOF＝∠DCE＝45176?！唷鱋EF∽△CDE，∴ ＝ ，即 ＝ ∴y＝－ x 2＋ x②當(dāng)點(diǎn)E在OC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2∵∠AOC＝∠DCO＝45176。，∴∠EOF＝∠DCE∠CDE＋∠CED＝45176?！摺螪EF＝45176。，∴∠CED＋∠OEF＝45176。∴∠OEF＝∠CDE，∴△OEF∽△CDEBxOyADFC圖3E∴ ＝ ，即 ＝ ∴y＝ x 2＋ x（3）①當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上時(shí)i）若EF＝ED，如圖3，則△OEF≌△CDE∴OE＝CD＝6，CE＝8－6，∴OF＝CE＝8－6∴F（8－3，8－3）ii）若DF＝DE，如圖4，則∠EDF＝90176。作FM⊥AB于M，EN⊥AB于NBExOyADFC圖4MN則△DFM≌△EDN，∴DM＝EN＝3，∴M（2，3）∴F（2，2）iii）若DF＝EF，如圖5，則∠DFE＝90176。作FN⊥OC于N，交直線AB于M，則△FNE≌△DMF∴FN＝DM設(shè)ON＝x，則FN＝x，MF＝3－x，DM＝5－x∴x＝5－x，∴x＝ BxOyADFC圖5EMN∴F（，）②當(dāng)點(diǎn)E在OC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2∵∠DEF＝45176。，∠DFE＜45176。，∠EDF＞90176?！唷鱀EF不可能是等腰三角形③當(dāng)點(diǎn)E在CO延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖6∵∠DEF＝135176。，∴只能EF＝ED，此時(shí)△OEF≌△CDE∴OE＝CD＝6，CE＝8＋6，∴OF＝CE＝8＋6∴F（－8－3，－8－3）綜上所述，存在4個(gè)時(shí)刻使得△DEF成為等腰三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F1（8－3，8－3），F(xiàn)2（2，2），F(xiàn)3（，），F(xiàn)4（－8－3，－8－3）ABCxOy圖6EFD17．（浙江模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（5，0），（3，2），點(diǎn)D在線段OA上，BD＝BA，點(diǎn)Q是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，3），設(shè)直線PQ的解析式為y＝kx＋b．（1）求k的取值范圍；yDACxOBQP（2）當(dāng)k是取值范圍內(nèi)的最大整數(shù)時(shí)，若拋物線y＝ax 2－5ax的頂點(diǎn)在直線PQ、OA、AB、BC圍成的四邊形內(nèi)部，求a的取值范圍．解：（1）∵直線y＝kx＋b經(jīng)過(guò)P（0，3），∴b＝3∴直線PQ的解析式為y＝kx＋3∵A（5，0），B（3，2），BD＝BA，∴D（1，0）設(shè)線段BD的解析式為y＝mx＋n（1≤x ≤3）∴ 解得 ∴線段BD的解析式為y＝x－1（1≤x ≤3）依題意，得 解得x＝ ∵1≤x ≤3，∴1≤ ≤3解得－3≤k ≤－ （2）∵－3≤k ≤－ ，且k為最大整數(shù)，∴k＝－1則直線PQ的解析式為y＝－x＋3∵拋物線y＝ax 2－5ax的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ，－ a），對(duì)稱軸為x＝ 解方程組 得 即直線PQ與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，）