【文章內容簡介】 性。 煤顆粒顆粒的物理結構影響煤顆粒性能，因而形態(tài)研究對煤顆粒制備過程及煤顆粒的研究有著深刻意義。對于煤顆粒顆粒，可以從顯微圖像中獲得煤顆粒的顆粒特性參數，如粒徑、形狀等直觀參數或內部結構、孔隙及其微觀結構等。因此本文將應用到圖像處理、分形理論對煤顆粒的物理形態(tài)加以研究，對煤顆粒的物理形態(tài)做出描述。 關于煤顆粒的描述，國內外有關學者已做了大量的工作，但由于煤炭結構的復雜性，無法用常規(guī)數學手段實現定量描述，以至于一直局限在定性或者半定量的描述，這樣描述煤顆粒是不具體的。 分形幾何學的出現，為研究用傳統的數學方法不能描述的煤顆粒特征中國礦業(yè)大學 2022 屆本科畢業(yè)生論文 第 4 頁 提供了全新的數學手段和理論基礎，并使得煤顆粒度的定量描述成為可能。 分形理論在煤炭研究中的 應用 是廣泛的。 煤本身是一種分形體 ,破碎后的煤顆粒作為最基本的單元體 ,其孔隙結構分布具有統計規(guī)律上的自相似性 ， 因此 ,可以利用分形理論研究相同破壞條件下 ,煤體孔隙結構的分形特征。煤中斷裂分布具有良好的統計自相似性，可以用分維描述。 中國礦業(yè)大學的王海燕等對煤巖粒度分形分布的研究表明： 煤巖粒度分布無論受采動影響，或是受機械破碎影響，都具有分形特征 。通過分維圖線的線性 回歸，可求出煤樣的極限粒度 。得出的煤巖粒度分形分布規(guī)律，對煤巖篩選，煤巖破壞機理研究有一定的指導意義 [8]。 西安科技大學的王慶賢對煤自燃的研究表明：不論是實體煤還是碎裂煤體，其內部都具有極不規(guī)則的空隙通道，它們在空間上的分布，粗糙的表面都具有分形特征，可以用分維數對其進行定量描述；分維數的大小反映了煤氧化的不同程度，異常狀態(tài)下氣體時間序列分維數明顯高于正常情況下的分維數，說明出現異常時井下氣體狀態(tài)更加復雜[9]。還有煤微孔表明的分形維數是描述其表明規(guī)則程度的量，煤的各種工程參數，如燃燒速率，機械強度等均與之 有關 [10]。 本文運用分形幾何簡單分維理論，建立煤顆粒的分形模型，并通過計算不同水分含量下煤顆粒的分形維數，研究水分含量對煤顆粒團聚的影響。 中國礦業(yè)大學 2022 屆本科畢業(yè)生論文 第 5 頁 2 分形理論 分形理論是法國數學家曼 德爾布羅特 (Benoit B. Mandelbrot)在 1975 年正式提出與建立的一種探索復雜性的新的科學方法和理論。分形理論的研究對象是自然界和非線性系統中出現的不光滑和不規(guī)則的幾何形體，其數學基礎是分形幾何學 [11]。 分形理論的發(fā)展大致可分為三個階段 [12]： 第一階段為 1872 年至 1925 年，在這 一階段研究者們已經提出了典型的分形對象及其相關問題并為討論這些問題提供了最基本的工具。 1872 年 Weierstrass 證明了一種連續(xù)函數在任意一點均不具有有限或無限導數，由此人們開始了對這類不可微函數的應用和推廣研究?，F在 Weierstrass 函數已成為分形幾何經典例子之一。 1890 年 Peano 構造出填充平面的曲線圖，這一曲線出現后，人們提出應正確考慮以往的長度與面積的概念。 1904 年 Von Koch 通過初等方法構造了處處不可微的曲線即 Koch 雪花曲線，并討論了該曲線的性質。 1913 年 Perrin 對布朗運動的軌跡圖進行了研究，明確指出布朗運動作為運動曲線不具有導數。其后的 1920 年左右 [13]， Wiener 在 Perrin 理論的基礎上建立了很多布朗運動的概率模型，為了表明自然混亂的極端形式， Wiener 采用了“混沌”一詞。由于非?！皬碗s”的集合的引入，而且長度、面積等概念必須重新認識，為了測量這些集合，Minkowski 于 1901 年引入 Minkowski 容度， Hausdorff 于 1919 年引入了 Hausdorff 測度和 Hausdorff 維數。這些概念實 際上指出了為了測量一個幾何對象，必須依賴于測量方式以及測量所采取的尺度 [14]。 第二階段大致為 1926 年到 1975 年，在這一時期，研究者們對分形集的性質做了深入的研究，特別是維數理論的研究已獲得豐富的成果。 Bouligand 于 1928 年引入 Bouligand 維數， Poutrjagin 與 Schnirelman 于 1932 年引入了覆蓋維數， Kolmogorov 與 Tikomirov 于 1959 年引入熵維數。 1967 年曼德爾布羅特 (Benoit )在總結前 人的基礎上，發(fā)表了《英國的海岸線有多長？統計自相似性與分形維數》，在這篇文章中，Mandelbrot 對海岸線的本質作了獨特的分析，并具有了分形思想，分形概念便從此開始萌芽。自 60 年代以后， Mandelbrot 系統、深入、創(chuàng)造性地研究了海岸線的結構、具有強噪聲干擾的電子通訊、月球的表面、銀河系中星體的分布、地貌生成的幾何性質等自然界中典型的分形現象，為分形從理論轉向應用奠定了基礎。 第三階段為 1975 年至今，是分形幾何在各個領域的應用取得全面發(fā)展并形成獨立學科的階段。 1975 年 Mandelbrot 將前人研究結果進行了總結，集其大成，發(fā)表了他的劃時代的專著《分形對象：形、機遇和維數》 [15]，這篇具有劃時代意義的文章，首次系統地闡述了分形幾何的思想、內容、意義和方法，提出了分形三要素：形、機遇和維數，標志著分形幾何作為一門獨立學科正式誕生。 1982 年 Mandelbrot 出版了另一部專著《自然界的分形幾何學》，進一步闡述了他的觀點，形成了以分形維、自相似性和無限可分為特點的、以迭代算法描述的分形幾何的概念，開創(chuàng)了一門新的學科 — 《分形學》，從此分形幾何滲透到許多科學領域，對推動各學科的發(fā)展起到了 重要的作用 [16]。 中國礦業(yè)大學 2022 屆本科畢業(yè)生論文 第 6 頁 歐氏幾何學以規(guī)整幾何圖形為研究對象，構成其幾何體的基本元素 — 線、面和實體都是光滑的，其幾何空間的維數也均為整數，即點、直線、平面和體積的維數分別為 0、 2 和 3。歐氏幾何學可以很好地用來描述簡單的結構如直線、正方形、立方體、球體等。而分形幾何描述的是自然界中許多不規(guī)則事物，即復雜的非規(guī)則線、平面和體積。分形幾何有兩個重要特征：一個是自相似性，指某一尺度下的空間變異行為在另一個或更小尺度下重復出現，即非規(guī)則程度不依賴于尺度的大??；另一個 是分形維數，它是分形幾何學中最核心的概念和內容，是度量不規(guī)則物體或分形體最主要的指標 [17]，分形維數不同，物體的復雜程度或它們的動態(tài)演化過程就不相同。分形維數與歐幾里得幾何學中維數的區(qū)別是它不是整數。 1986 年， Mandelbrot 把分形定義為“局部以某種方式與整體相似的形”。更數學化的分形定義是“其 Hausdorff 維數大于拓撲維數的集合”。給分形下一個精確的定義是很困難的，因為不管如何定義，都要排除一些分形的例子。英國科學家 Falconer 認為，分形的定義應該以生物學家給出“生 命”定義的類似方法給出，即不尋求分形的確切簡明的定義，而是尋求分形的特性，一般認為分形具有以下典型性質： ① 不規(guī)則，以至它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言來描述。 ② 具有精細結構，即在任意小尺度下，都有同樣復雜的細節(jié)。 ③ 通常具有自相似的性質，嚴格的自相似只出現在數學模型中，自然界中的分形是近似的或統計的自相似。 ④ 一般地，分形維數 (以某種方式定義 )大于它的拓撲維數。 ⑤ 在大多數的情況下，分形可以以非常簡單的方式定義，并可由迭代產生?？梢钥闯觯@一描述性的定義有較大的靈活性，對于各種不同的分形，有的可能具有上述全部 的性質，有的可能具有其中的大部分性質而對某個性質例外。 ① 自相似性。就是分形體的局部與整體在形態(tài)、功能和信息等方面具有統計意義上的自相似性，適當地放大或縮小分形對象幾何尺寸，整體結構并不改變。自然界中廣泛存在的幾何形體是不規(guī)則的，如地球表面的山脈、河流、海岸線等，這些形體具有統計意義下的自相似性，它們不是嚴格對稱的。數學上的許多不規(guī)則的但自相似的幾何圖形，如 Koch 曲線、 Peano 曲線等都是按一定的數學法則生成的，它們具有嚴格的自相似性。總之，自相似性是自然界中普遍存在的一個客觀規(guī)律，是分形 的根本屬性之一。 ② 標度不變性。在分形上任選一局部區(qū)域，不管在多大的放大倍數下觀察，都會看到同樣相似的復雜結構，或者說是同樣的精細結構，從而無法從圖象上斷定所用的觀測尺度，即分形沒有特征尺度。通常具有自相似特性的物體必定滿足標度不變性，而任何規(guī)則的幾何形狀都具有一定的特征尺度。對于分形，不論將其放大還是縮小，它的形態(tài)、復雜程度、不規(guī)則性等各種特性均不會發(fā)生變化。除了嚴格的數學模型外，對于實際的分形體來說，這種標度不變性只在一定的范圍內實用。 ③ 分形維數。分形維數是分形理論中最核心的概念與內容，它是度量不規(guī)則物體 或分形體最主要的指標，是定量描述分形所具有的自相似性的參數。分形維數和自相似性是分形理論最主要的特征。我們已經知道：線是一維的，面是二維的，體是三維的。而在分形中，維有更廣的涵義，它不必是整數。比如，海岸線的分維通常在 到 之間，雪花的分維接近 。分形維數的定義有多種，且對于同一物體以不同方中國礦業(yè)大學 2022 屆本科畢業(yè)生論文 第 7 頁 式定義的分形維數也各不相同。常用的分形維數有：自相似維數、豪斯道夫 別西科維奇維數、計盒子維數、信息維數等等。 分形幾何學最顯著的特征是將看起來十分復雜的事物，以含很少 參數的簡單公式予以描述，實現了由數表達的幾何體到函數式表述幾何體之間的過渡，它的主要價值在于，它在極端有序和真正混沌之間提供了一種中間可能性。許多分形是由一定程度上與整體相似的各個部分組成，這種自相似性是分形所具有的重要性質，通常也是用它來定義分形的。 如果具有特征線性尺度 ir 的客體數目 iN 滿足以下關系： DiCN ri ? 那么便定義了一個具有分維 D 及比例常數 C 的分形分布。 分 形概念也用于客體的統計分布。如果具有大于 r 的特征線性尺度的客體數目 N 滿足以下關系式： DrCN? 則定義了一個分形分布。 —粒徑分 布 分維數 1986 年 Turcotte[18]根據分形的概念提出的顆粒數量 —粒徑的分形模型可表示為 ： DRN ??? R)(r 式中： N(r R)為粒徑大于 R 的顆粒數量； D 為顆粒數量 —粒徑分布分維數。 與 上式 相似的另外兩種顆粒數量 —粒徑的分形模型可表示為 [19]： DCRRN ??? )( DCRRN ??? )( 式中： C = (3? D)/(DK L?D) 為常數； KV 為顆粒體積形狀因子； L 為所考慮的巖土體的總尺度。 上邊兩式成立條件是 RR ??max ， Rmax 為最大顆粒粒徑。應指出的是，有些學者的分維數大于 3，沒有滿足這個條件。 —粒徑分 布 分維數 正是因為顆粒數量 — 粒徑分布的實測數據很難得到，在假設顆粒密度相同的條件下 , Tyler 等人 [20]推導出顆粒質量 — 粒徑分布的分形模型為： DLT RRM RM ??? 3)()r( 式中： M(r R)為顆粒尺度小于 R 的顆粒質量； MT 為顆粒總質量； RL 為最大顆粒尺度 由于顆粒的質量分布很容易得到，故國內外關于顆粒的分維數大多是利用式進行計他們計算了不同質地的土體的分維數的變化，認為顆粒質量 — 粒徑分布分維數隨粘粒的含量增大而增大，故有學者用此分維數來定量描述土體沙漠化程度，另外一些學者認為粒質量中國礦業(yè)大學 2022 屆本科畢業(yè)生論文 第 8 頁 — 粒徑分布分維數與土壤有機含量等特性存在明顯的線性相關。 —粒徑分 布 分維數 利用顆粒粒徑分布密度函數 f (R) [2]可得到顆粒尺度小于 R 的顆粒體積 V (≤ R) ，進行簡單變形可得到： DRRV RV 3ma x0 )()( ?? 式中： V0 為顆?？傮w積； Rmax 為最大顆粒粒徑，這與王國梁提出顆粒體積 — 粒徑分布分形 模型一致。 利用激光粒度分析儀很容易得到顆粒體積 — 粒徑分布實測數據，國內王國梁對不同利用 方式下土壤的顆粒體積 — 粒徑分布分維數進行計算，得出了一些有益的結論 [21]。理論上講， 在相同體積形狀因子的情況下，上述公式計算的分維數應該相等，實際測量的結果可能是不一樣的。 (體 積 )分布分維數 上述顆粒分維數求解時都需要對土體顆粒 進行分散后測量顆粒分布情況，實質上不能反應土體原狀特性，反應原狀特性的分維數應為顆粒原狀面積 (體積 )分布分維數。顆粒原狀面積 (體積 )分布分維數的計算方法有兩種，一種是利用盒計數法，盒計數法是分形理論的一種 基本方法，它一般依靠土壤切片及數字圖像技術計算不同分辨率的情況下土體顆粒所占據的方格數，然后利用分形理論的基本知識求得。這種方法已得到廣泛應用。 另外，推導的一種分形模型為： ))Lr((1)( D22aArA ?? 式中： A(≥ r ) 為孔徑大于或等于 r 的孔隙面積； Aa 為考慮范圍 內巖土體總面積； D 為顆粒原狀面積分布分維數。在已知孔隙分布的情況下可以通過上式求得顆粒原狀面積分布分維數。利用土壤切片及數字圖像技術或汞壓技術都可以測量孔隙的分布，從而可以利用此式計算相應的分維數。值得