數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文gauss整數(shù)環(huán)的主理想及其商環(huán)研究王小娟(編輯修改稿)
2025-02-12 16:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 若是單位，則即若是單位，由故可設(shè)，于是則，由于|及|，所以|,因此是中的素元。反之，設(shè)是z[i]的素元，若,則有|或|,不妨設(shè)|，可設(shè),故，由是無零因子環(huán)，所以有，即得是單位，故是不可約的。命題 設(shè)，如果是z中的素?cái)?shù)，則是Z[i]的素元；若是Z[i]中的素元?jiǎng)t也是中的素元。證明 設(shè),由是Z[i]中的素?cái)?shù)，若是Z[i]中的可約元，可設(shè)均不是Z[i]中的單位，由均不為1，與是Z[i]中的素?cái)?shù)矛盾，所以是Z[i]中的不可約元， 由命題3知是z[i]中的素元。設(shè)，則由可約可知可約，因此是Z[i]中的素元，則也是。命題 設(shè)是Z[i]中的素?cái)?shù)且,當(dāng)且僅當(dāng)P中Z[i]中的可約元。由文獻(xiàn)[5]中的高斯平方和定理即知命題5成立。3 商環(huán)定理1 ，這里記，則元素z所在的陪集記為:，簡記為 引理1［３］ 設(shè)是環(huán)的一個(gè)理想，則，即的充分必要條件是定理1的證明當(dāng)時(shí)，下證這個(gè)數(shù)在不同的陪集中，即 ,對(duì),有，即設(shè)，有對(duì)任何,令即對(duì)任何0c都有 (反證法)假設(shè)，則有 由(2)式及得 m|ny, n|mx故，令并將其代入得 即再代入(1)式得 與上式0c矛盾當(dāng)時(shí)有成立下證:對(duì)任意,必存在整數(shù)且使得 或 等式兩邊同乘以得 = = =
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