數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文關(guān)于收斂序列余項估計的一種精細化方法常維(編輯修改稿)
2025-02-12 15:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （6）除此以外，國內(nèi)外許多學(xué)者分別用不同的方法也給出同樣的或更優(yōu)的估計式，如1983年孫燮華在文獻[5]中、1991年Young在文獻[3]中分別給出了另一初等方法，但這些方法都不及Rippon與Detemple的幾何直觀方法，以至于歐陽光中在他的“近年來國外微積分(數(shù)學(xué)分析)教材介紹(上)”一文中，對Euler常數(shù)的余項估計及Stirling公式的證明評論道[９]：“這樣處理的好處是讓學(xué)生自己去完成證明，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，至少對成績好的學(xué)生可以達到這個要求。缺點是每一步的由來并不明顯，過于技巧化。但話又說回來，數(shù)學(xué)中蘊涵著許多精致有用的技巧?！北疚膶⒔沂具@種“蘊涵”。我們的基本思路是借鑒并改進文獻[7]中幾何直觀方法，把它應(yīng)用于Euler常數(shù)的余項估計及Stirling公式的證明中。為此，先介紹文獻[7]中方法，在[7]中作者用幾何直觀方法證明了文獻[6]中一個基本引理：引理1[6, 7] 設(shè)，，則 （7）證明 當(dāng)，時，對于，有，從而有 ，因此，即得，引理1得證。如圖1，以為邊的曲邊梯形的面積介于兩個矩形的面積之間，根據(jù)定積分的幾何意義，引理1的不等式中三部分分別代表了它們的面積。（圖1）1 定理及應(yīng)用為了推廣引理1，我們注意到 （，）是下凸函數(shù)，在圖1中過作的切線，并聯(lián)結(jié)的弦，則曲線介于與之間，如圖2，考慮以它們?yōu)檫叺娜齻€曲邊梯形的面積，由于直線與的方程分別是與，則有，積分之，得到當(dāng)時，有；當(dāng)時，有。（圖2）于是，得到定理1 設(shè)，則（1）當(dāng)時，有 ； （8）（2）當(dāng)時，有。 （9）很明顯，定理1的結(jié)果比文獻[4
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