【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 記 為 ??xfn ? ?xf? ， ..ea 于 ? . 用符號(hào)語(yǔ)言表示為 若 ? ? 0??m 及 ? ?xfnnlim= ??xf ，則 ??xfn ? ?xf? ， ..ea 于 E. 顯然，若 ??nf 是 E上的可測(cè)函數(shù)列，則 f 也是 E上的可測(cè)函數(shù) . 從幾乎 處處收斂 與依測(cè)度收斂的 定義中 可以看出， 前者強(qiáng)調(diào)的是 在點(diǎn)上函數(shù)集的收斂（盡管去點(diǎn)一個(gè)零測(cè)度集外），后者并非指在哪個(gè)點(diǎn)上的收斂 ， 其要點(diǎn)在于點(diǎn)集 ? ? ? ?? ?? ?????? xgxfx : 的測(cè)度應(yīng)隨 k 趨于無(wú)窮而趨于零 ，而 不論此點(diǎn)集的 位置狀態(tài)如何，兩者的區(qū)別在這 [7]. 這一章中我們定義了 , 幾乎處處收斂依測(cè)度收斂一致收斂 基本上一致收斂 .一致收斂是指對(duì)于任意的 x 屬于 ? ，都有 )()( xfxfn ? ?? ，而 幾乎處處收斂是指去掉一個(gè)零測(cè) 集后 ??xfn ? ? )( ??? nxf ， 依 測(cè) 度 收 斂 是 指 對(duì) 于 任 意 ? 0 有? ???? ffm nnlim =0 ，即 ? ? ? ?xfxfn ? ，而基本上一致收斂是說去掉一個(gè)測(cè)度任意小的集合后 ??xfn ? ? )( ??? nxf .于是，下面 我們著重討論一下它們之間的關(guān)系 . 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 6 第二章 函數(shù)列收斂之間的關(guān)系 幾乎處處收斂 與 一致收斂間的關(guān)系 性質(zhì) [11] 若 ??xfn 在 上一致收斂? ， ? ? 上幾乎處處收斂在則 ?xf n ，這里我們可以由一致收斂定義 對(duì)于任意的 x 屬于 ? ，都有 )()( xfxfn ? ?? 知 去掉一個(gè)零測(cè)集后 ??xfn ? ??xf ? ???n ，則結(jié)論成立 . 在數(shù)學(xué)分析中 我們知道 ， 重要的性質(zhì)一致收斂是函數(shù)列極其 ，它能使極限過程和一些 可交換的運(yùn)算 得到保證，但一般來(lái)說， 域收斂的函數(shù)列在其收斂 上是未必一致收斂的 .例 ? ? 在nn xxf ? ? ?1,0 上 不一致收斂 ，但只要從 ? ?1,0 的 右端點(diǎn)中去掉 任意小的一段成為 ? ??1,0 ，那么 ??? ?xfn 在其上就 一致收斂 了，其實(shí)來(lái)說這種現(xiàn)象在某種意義下 是帶有 普遍性 的 .這就是下面要提到的 葉果羅夫 定理 . 定理 （葉果洛夫） 設(shè) ??)(Em ， { nf }是 E上一列收斂于一個(gè) ..ea 有限的函數(shù) f 的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意 ? 0，存在子集 ?? ?? ，使 {nf }在 ?? 上一致收斂，且)\( ???m ? . 證明 任選一列正整數(shù) ??ia ，同時(shí)作出 ? 的子集 ? ?? ? ??? ????????? 1 1,i ii iaa (它由 ??ia 而完全確定 ).則 { nf }在 ??? ?ia? 一 致收斂于 f 事實(shí)上，任給 0?? ，選 0i ，使??01i ，則當(dāng) 0iaa? 時(shí)， 對(duì) ? ?x ??? ?ia? ????????01,0 iai 都有 )()( xfxfn ? 01i ? . 所以當(dāng)給定了任一個(gè) ? 0 之后，如果能適當(dāng)發(fā)的選取 ??ia ，使 ? ?? ?? ? ???? iam \ ，則令 ? ?? ?ia???? 它就滿足定理得要求 . 但由引理，對(duì)于 ? =i1 ， ?i 1， 2， 3， 分別存在充分大 ia ，使 ???????? ???????? iam i 1,\ i2? 故只要選取滿足這個(gè)條件的 ??ia 就有 ? ?? ?? ?iam ??\ ???????? ????????????11,\i i iam = ??? ???????? ????????1 ,1\i i iam 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 7 ??? ???????? ????????? 1 , 1\i i iam ? ???12i i? =? . 標(biāo)注 1 葉 果洛夫定理中的條件 ??)(Em 不能去掉 .例如考慮可測(cè)函數(shù)列??xfn ? ? ???,0 xn? 1,2,n? ? ??? ,0x .它在 ? ??,0 上處處收斂于 ??xf ≡ 1 .但是在 ? ??,0中的任一個(gè)有限測(cè)度集外均不一致收斂于 ??xf ≡ 1 . 但是對(duì)于 ? ? ????m 的情形，結(jié)論可陳述如下 :對(duì)于任給 M 0? 存在 M? ， M? ? E，? ? Mm M ?? ，使得 ??xfn 在 M? 上一致收斂于 ??xf .而其逆定理是當(dāng) ???m 時(shí)成立 . 標(biāo)注 2 設(shè) ??? ?xfn 以及 ??xf 均是在 ? 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，且有? ? ? ?xfxfnn ???lim ， ?于..ea .則存在可測(cè)集列 ??i? ， ???i （ Ni? ）， 0\ 1 ????????? ?? ???i im ，使得 ??xfn 在每個(gè) i? 上均一致收斂于 ??xf . 標(biāo)注 3 這個(gè)定理還告訴我們，凡是滿足定理假設(shè)的 ..ea 收斂的可測(cè)函數(shù)，即使不一致收斂，它也是“基本上”（指去掉一個(gè)測(cè)度可任意小的點(diǎn)集后）一致收斂的 .因此在許多時(shí)候，它是提供了處理極限交換的有力工具 . 定理 設(shè) ),( mFX 為一個(gè)測(cè)度空間， X?? ， ??nf （ ?,2,1?n ）為 ? 上的可測(cè)函數(shù)列， f 為 E 上的實(shí)函數(shù) . (1)一般的，有 ? ? ? ? ???? 于eaxfxf nn .lim ? ???? 對(duì) ? 0?? ，必然有 ?? 為 ? 的可測(cè)子集，使得 ? ? ?? ????m 且在 ?? 上， ? ? ? ?xfxfn ? . (2)當(dāng) ? ? ????m 時(shí)，有 ? ? ? ? ???? 于..lim eaxfxf nn? 對(duì) ? 0?? ，必然有 ?? 為 ? 的可測(cè)子集，使 ? ? ?? ????m ，且在 ?? 上， ??xfn ? ??xf ? ???n . 證明 （ 1） ???? 由右邊條件，對(duì) mm 1??，必然 有m??為 ? 的可測(cè)子集，能夠使得 ? ? mm m 1???? ? 且在m??上 ??xfn ? ??xf ? ???n 令 ????? 1m mF ? ?? 顯然 ? ? ? ? ???? 于eaxfxf nn .lim 且 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 8 0? ? ?Fm ?? =m ???????? ??????1m m? = ? ????????? ??????1m mm ? ? ? ?mm ???? m1? ? 0 (m ?+? ) 故 0? ? ?Fm ?? ? 0 即 ? ? 0??? Fm 因此 ? ? ? ?lim . .nn f x f x a e?? ??于 ???? . 設(shè) ),( mFX 為勒貝格測(cè)度空間， ? ? 1,0 R????? ，函數(shù) nf ： ? =? ???,0 ? R ， )(xfn =??? ???? ),(,0 ],0(1 nx nx， n =1， 2， ? ? ???? 于..1lim eaxf nn .但對(duì)于任意 ? 0 以及任何可測(cè)集 ?? ，當(dāng) ? ? ?? ????m 時(shí)，)()( xfxfn ? 1? . （反正） 假設(shè) ?? 0? ， ??x ， N? ， 當(dāng) Nn? 時(shí) ， ? ? 1?xfn ?? ，則對(duì)于 ? =1，? n ? N ，當(dāng) n N時(shí)，有 ? ? 1?xfn ,1??? ? x ? ?? 由于 ? ?? ??????,0m = ? ?? ??????,0m = ? ?? ?0,m ? ??? ? ? ? 所以 ? ?n,0??? 因而，必有 ? ?,nxn??? ??? ? 0?nn xf 于是 10? = ? ? 1?nn xf 1，互相矛盾 . （ 2） ??? 由葉戈羅夫定理可得 .??? 由（ 1）中的充分性可以得到結(jié)論 . 依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂之間的關(guān)系 我們知道依測(cè)度收斂不論是在有限可測(cè)集上還是在一般可測(cè)集上，即“從整體上”推不出幾乎處處收斂 . 例如 我們用以下步驟構(gòu)造定義在 ? ?1,0 上的函數(shù)列，首先定義 )(10 xf =1， x ? ?1,0 ，其次將二等分，在 ? ?1,0 上定義兩個(gè)函數(shù)： 黑河學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 ????xf11 =?????????????????????,1,21,0。21,0,1xx ， ????xf12 =?????????????????????,1,21,1。210,0xx ， 再將區(qū)間四等分，在 ? ?1,0 上定義 4個(gè)函數(shù)： ??xf21 =?????????????????????.41,0,0。41,0,1xx ， ??xf22 =?????????????????????.42,41,0。42,41,1xx ， 一般地將 ? ?1,0 區(qū)間進(jìn)行 i2 等分，在 [0， 1]上定義 i2 個(gè)函數(shù)： )(2 xf ik =????????????? ???????? ??.2 1,2,021,2,1iiiikkxkkx， 0≤ k i2 令 n =k + i2 (k 為正的整數(shù) )，可用以上方法 編號(hào)得到的函數(shù)按先后順序 得到函數(shù)列 ??nf ，而其中， )()( 2 xfxf ikn ? ， x ? ? ?1,0 此時(shí)，由于 0 ? 1， m ??f = i21 = ii 22 2? ik 22? =n2 . 所以 )(xfn 在 ? ?1,0 上依測(cè)度收斂于 0x ? ? ?1,0 ， )( 0xfn 中總有無(wú)窮多個(gè) 1，又有無(wú)窮多個(gè) 0 ，故 )(xfn 在 ? ?1,0 上處處不收斂 . 說明 依測(cè)度收斂 的函數(shù)列未必是 幾乎處處收斂 的 . 例如 ?x ? ??,0 ??xfn =??? ???? ],(,0 ]。,0(,1 nx nx 對(duì)于任意 ? ???? ,00x ， ox ? ? ?n,0 有 ? ?0xfn =1存在 N 使得 Nx?0 時(shí)，當(dāng) Nn?時(shí) ，即對(duì)于任給 ? 0? 有 ? ? 10 ?xfn = ??0 ， ? ? 1lim ??? xfnn ? ?? ? ?? ???? 1xfm n ? ?? ????? ?1xfm n ? ????,nm ?? 這說明它不是依測(cè)渡收斂于 1. 說明 幾乎處處收斂 的函數(shù)未必是 依測(cè)度收斂 的 . 定理 ),( mFX 為 測(cè)度空間， ??? ?xfn 在可測(cè)集 ? 上幾乎處處收斂于有限實(shí)函數(shù) ??xh ，則 ? ?xf上可測(cè)函數(shù)畢存在 ? ，有???nlim nf??m f， f ??m h. 證明 因?yàn)?? ? ? ? ???? 于..l i m eaxhxfnn，所以 ? 0? ，使得 ? ?0?m =0 ，且? ? ? ?xgx