靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題ppt課件(編輯修改稿)
2025-02-11 16:33 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 求圓柱內(nèi)，外的－軸重合，如圖軸方向，圓柱軸與電場(chǎng)方向沿中。設(shè)外放在均勻外電場(chǎng)的無(wú)限長(zhǎng)介質(zhì)圓柱體，介電常數(shù)為一根半徑為35zxa 0E? aO?x1?2?0E),( zr?柱體均勻外電場(chǎng)中的介質(zhì)圓－圖 35的函數(shù)。故可設(shè)不是軸平行，與又無(wú)限長(zhǎng)，為均勻場(chǎng)。介質(zhì)圓柱體外電場(chǎng)解zz ?0E ))(,())(,(2211arrarr???????????? c os 000 rExEx－＝－產(chǎn)生的電位可表為軸的外加場(chǎng)沿?0E的影響可忽略，時(shí)，介質(zhì)柱對(duì)在 0E??r? ?? ?arrrar???????? 20121????????? c os im 002r rEl ????為有限值 im 10r ??l aO?x1?2?0E),( zr?? ?? ????????????????????????????????為有限值的邊值問(wèn)題可表為綜合上面分析，則題設(shè) imc o s im )( 0),( )( 0),( 10r02r201212212?????????????lrElarrrararrarr0 ,)( 2 ?? zkAzhz 無(wú)關(guān)，場(chǎng)與????nBnAg c oss i n)( ??有關(guān)，滿足周期性場(chǎng)與 ),( ),( ???? ?? rrx 軸，場(chǎng)分布對(duì)稱于?? ng c o s)( ?0,02 ?? nk z由nn BrArrf ???)(????n c o s)( n c o s1112???????????nnnnnnnnnnrDrCrBrA ）＋（0, im 10r ?? nDl 為有限值?????n c o s n c o s1112?????????nnnnnnnnrCrBrA ）＋（??? c o s im 002r rEl ????由???c o s c o s c o sim011rrEnrAnrBrAlnnnnnnnn???????????）＋（比較上式兩邊系數(shù)可得)1( 0 ,01 ???? n AEA n??? nrBrEnnn c osc os 102 ??????? ?? ?arrrar???????? 20121??????及由??? naBaEnaCnnnnnn c osc os c os101?? ????????? nrCnnn c os11 ????) c o sc o s ( c o s 110011?????nnaBEnnaCnnnnnn???????????兩邊同類項(xiàng)系數(shù)相等1101 ??? aBaEaC210001 ??? aBEC ???nnnn BaaC ??nnnn BaaC ??解得0001020012ECEaB???????＋－＝＋－＝)1( 0 ),1( 0????nCn Bnn??? ?? c os 2 0001 rE＋－???? ???? c osrc os 1020002?? EarE＋－＋－代如系數(shù)得 0000001 2) 2( ExE???????＋＋－x1 aE ???????勻場(chǎng)。介質(zhì)圓柱內(nèi)的電場(chǎng)是均例 54 半徑為 a 的半無(wú)限長(zhǎng)金屬圓筒，筒底與圓筒壁有很窄的絕緣，圓 筒側(cè)壁電位為 0，筒底電位為 ，求圓筒內(nèi)電位分布。 0U? ? ? ?? ?? ????????????????????? 0 ,0 0 , 0 0 , 0,02zarUzarzarzr??? Oraz0U?? 0??半無(wú)限長(zhǎng)圓筒內(nèi)的場(chǎng)圖 45對(duì) z 軸的對(duì)稱性，位函數(shù) 不是坐標(biāo)變量 的函數(shù) ? ?解： 將圓筒置于圓柱坐標(biāo)系中，其定解問(wèn)題可表示為 Cgn ?? )( ,0 ?? ?有限，且非周期性，取由 zhz ??l i m02 ?zk即? ? zzk zz BeAezh ?? ??且 B 應(yīng)為 0 ? ? zk zAezh ??)()()( 00 rkBNrkAJrf zz ??? ? ??? rkNr z0 ,0 有限，由于 ?)()( 0 rkAJrf z?axkxak mzmmzm 00 ?? ，即，時(shí) 0 ?? ?ar? ? 00 ?akJ zm 0??1 2 3 8 9 10 x??xJ0??xJ1?x?x?x? ? ? ?函數(shù)曲線圖和圖 55 10 xJxJmx0是零階貝塞爾函數(shù) 的第 m 個(gè)根 ? ? 00 ?xJ? ,030201???xxx? ? ,1000???????????mzaxmmmeraxJAzr??3,2,1 )()( 00 ?? mraxAJrf m可得電位函數(shù)得通解 0),( ,0 Uzrz ?? ?由? ? 0, 0100 UraxJArmmm ???????? ????貝塞爾函數(shù)的正交性決定系數(shù) Am 積分從，兩邊乘以 ardrraxrJ i ~000 ??????????????????????????????aiaimmmdrUraxrJdrraxrJraxJA0 000000001 據(jù)貝塞爾第一正交公式 ? ? ? ?? ?? ? ? ? 2 02120 ?????????? miakJamidrrkJrkrJmnainmn?? ??????????????????? a ma mmm drUraxrJdrraxrJraxJA 0 0000 0000? ? ? ?akJkadrrkrJ mmam 10 0 ??????????????? aaxJax aUaaxJaA mmmm010002122? ?mmm xJx UA 010 02 ?即應(yīng)用貝塞爾函數(shù)的積分公式 ? ????????????? a mmm drUraxrJaaxJaA 0 00002122左邊只有 m=i項(xiàng)不為 0 可得 ? ? ? ? zaxmmmmmeraxJxJxUzr 010001002, ???? ????????? ? , 1000???????????mzaxmmmeraxJAzr?代入可得電位的解 Oraz0U?? 0??半無(wú)限長(zhǎng)圓筒內(nèi)的場(chǎng)圖 45 圓球坐標(biāo)系中的分離變量法 ?如果待求場(chǎng)域的邊界是球面或錐面時(shí)，應(yīng)選擇圓球坐標(biāo)系。 0s i n1)(s i ns i n1)(1 22222222 ??????????????? ? ????????? rrrrrr得遍乘各項(xiàng)并用令 ,s i n),()()(),(: 22 f ghrhgrfr ?????? ?01)(s i ns i n)(s i n 2222 ????? ?????? hhddgd dgdrdfrdrdf上式的第三項(xiàng)可分離出 : 2221 mdhdh ???0)(s i ns i n)(s i n 222 ??? mddgd dgdrdfrdrdf ?????0s i n)(s i ns i n1)(1 22 ??? ????? mddgd dgdrdfrdrdf上式的第一、二項(xiàng)可分離出 : )1()(1 2 ?? nndrdfrdrdf 0s i n)1()(s i ns i n12 ????????? mnnddgddg連帶勒讓方程 歐拉方程 則各分離變量方程的通解為： ??? mBmAh s i nc o s)( ???,2,1,0,)( )1( ??? ?? nBrArrf nn在電磁場(chǎng)的很多實(shí)際總是中，位函數(shù)與方位角 ?無(wú)關(guān)，即 m=0,這類場(chǎng)稱為子午平面場(chǎng)。在子午平面場(chǎng)中 )1(!2 1)()( 2c os ???? xdxdnxPxg nnnnx ?0s i n)1()(s i ns i n1 2 ???? ????? mnnddgd dgx=cos? 0)1(2)1( 222 ????? gnndxdgxdx gdx當(dāng)場(chǎng)域包括 x=+ 1即 z軸 , 有： 故在子午平面場(chǎng)中，當(dāng)場(chǎng)域包括 z軸 , 球坐標(biāo)系中的拉系
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