【正文】 第五章 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題 靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的基本概念 分離變量法 有限差分法 靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的基本概念 ?靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)和恒電磁場(chǎng)都是時(shí)不變場(chǎng)，統(tǒng)稱靜態(tài)場(chǎng)。 ?靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題：給定某一空間 V，其邊界為 S，已知空間 V內(nèi)源的情況，以及邊界 S上場(chǎng)的情況，求給定空間內(nèi)的場(chǎng)。 ?區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)滿足帕松方程或拉普拉斯方程。 ??? /2 ???JA ???? 2?邊界上的場(chǎng)的情況可由邊界條件給出。 ?靜態(tài)場(chǎng)中的邊值問題，都可以歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。 ?根據(jù)唯一性定理，滿足給定邊值的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一確定的。 ?三類邊值：狄里赫利、紐曼和混合邊值。 ? J??S? ???? Sn?已知場(chǎng)域邊界 上各點(diǎn)電位值 邊值問題框圖 自然 邊界條件 參考點(diǎn)電位 有限值 ??? ?rrlim邊值問題 微分方程 邊界條件 場(chǎng)域 邊界條件 分界面 銜接條件 第一類 邊界條件 第二類 邊界條件 第三類 邊界條件 已知場(chǎng)域邊界 上各點(diǎn)電位 的法向?qū)?shù) 一、二類邊界條件的線性組合，即 022???????????????????????nn221121)(sf1S ??)(sfn 2S???? )()( sfn 3S???? ????求解靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題方法有：解析法、數(shù)值算法和實(shí)驗(yàn)研究法。 ?解析法：用直接或間接方法求出待求位函數(shù)在整個(gè)域內(nèi)所滿足的函數(shù)表達(dá)式。如分離變量法、鏡像法、格林函數(shù)法等。 ?數(shù)值計(jì)算法：求出一組即滿足給定邊值、又滿足泊松（或拉普拉斯）方程、在各域內(nèi)各個(gè)離散點(diǎn)的函數(shù)值的方法。如有限差分法、有限元法等。 ?實(shí)驗(yàn)研究法：用實(shí)驗(yàn)裝置模擬實(shí)際的物理場(chǎng)方程及給定邊值，并測(cè)量出相應(yīng)的待求函數(shù)的函數(shù)值的方法，如導(dǎo)電紙模擬法、電解槽模擬法等。 邊值問題 研究方法 計(jì)算法 實(shí)驗(yàn)法 作圖法 解析法 數(shù)值法 實(shí)測(cè)法 模擬法 定性 定量 積分法 分離變量法 鏡像法、電軸法 格林函數(shù)法 保角變換法 有限差分法 有限元法 邊界元法 矩量法 模擬電荷法 數(shù)學(xué)模擬法 物理模擬法 ????????????邊值問題研究方法框圖 分離變量法 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題 。一般情況下 ,采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解，而 只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí) ，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。 解題的一般步驟： ? 根據(jù)邊界的幾何形狀和場(chǎng)的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)的邊值 問題（微分方程和邊界條件）； ? 分離變量，將一個(gè)偏微分方程，分離成幾個(gè)常微分方程； ? 解常微分方程，并疊加各特解得到通解； ? 利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。 下面以拉氏方程在直解坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的分離變量法為例說明具體的計(jì)算過程。 直角坐標(biāo)系中的分離變量法 ?如果待求場(chǎng)域的邊界面是平面，而且這些平面相互平行或相互垂直時(shí)，可選擇直角坐標(biāo)系。 02222222 ??????????? zyx ????)()()(),(: zhygxfzyx ??令0)()()()()()()()()( 222222 ????????? z zhygxfy ygzhxfx xfzhyg0)()(1)()(1)()(1 222222 ????????? z zhzhy ygygx xfxf2221xkdxfdf ?? 2221ykdygdg ?? 2221zkdzhdh ???kx,ky,kz稱為分離常數(shù)。 ?上述三個(gè)常系數(shù)微分方程的解的形式由分離常數(shù)的取值決定。 ,02 ?xk當(dāng)21)( CxCxf ??xkAxkAxf xx c o ss i n)( 21 ??xxx jkk ??? 即當(dāng) ,02 xchBxshBxf xx ?? 21)( ??xx xx eBeBxf ?? ??? 21)(,02 ?xk當(dāng)?拉氏方程的通解是所有可能情況的線性組合。 雙曲函數(shù) 0222 ??? zyx kkk解的形式 : 例 51 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???????????????????????????????????????????185 0, 175 0,0 0165 0, 0155 0,0 0145 0,0 02222axbyxUaxybyaxbyxbyaxyx???????一長直金屬槽的長度方向上平行于 Z軸，其橫截面如圖 51所示。其側(cè)壁與底面電位均為 0，而頂蓋電位 分別以（ 1） （ 2） 求槽內(nèi)電位 的解。 解 本例是一個(gè)矩形域的二維場(chǎng)問題。在直角坐標(biāo)系下，位函數(shù) 的邊值問題為 ? ?yx,?? ? ? ?。xUbx ?,?? ? ，0UxU ?? ? ，xaUxU ?s in0?a b )(xUy x 0??)()( ygxf??令0)()()()( 2222 ?????? y ygxfx xfyg 0 2222 ?????? yx ??代入)()( ygxf??兩邊除以0)()(1)()(1 2222 ?????? y ygygx xfxf2221xkdxfdf ?? 2221ykdygdg ?? 0 22 ＝＋ yx kk可能的解)( xf,02 ?xk當(dāng)21)( CxCxf ??xkAxkAxf xx c o ss i n)( 21 ??xxx jkk ??? 即當(dāng) ,02xchBxshBxf xx ?? 21)( ??xx xx eBeBxf ?? ??? 21)(,02 ?xk當(dāng)代入邊界條件 0)( ,0 ,0)0( ,0 ,0??????afaxfx??xkAxf xs in)( 1?ankx??0)( 222 ????? ankk xy ?anjjkyy?? ??ychByshBxg yy ?? 21)( ??代入邊界條件 0)0( ,0 ,0 ??? gy ?yanshBxg ?1)( ?y s i n), an π x s han πB Ayx nnn ＝（?y s i n), an π x s han π Dyx nn ＝（?ys i n ),1 an π x s han πDyxn n???＝（?確定由邊界條件 )(),(, xUyxbyD n ?? ?bs i n )(1 an π x s han πDxUnn????0 )( 1 UxU ?）（bs i n 10 an π x s han πDUnn????積分，得到從，再對(duì)兩邊同乘以 ax xam π 0s i n x dxam π xan πan πshDx dxam πU anna s i n s i nb s i n 0 10 0 ? ?????)c os1(0 ?? mm aU ??左邊????? a01 s i n s i nb x dxam π xan πan πshDn n右邊 )( 2)( 0s i n s i n0 ???????? mnamnx d xam π xan πa ＝bamshDa m ?2?右邊 2)c os1(0 bamshDamm aU m ??? ??)1 ,3 , 5n(m 4 0?，＝??bamshmUDm ??)1 ,3 ,5(n y s i n4 ),10?，（?? ??? an π x s han πbanshnUyxn ??? xaπUxU s i n )( 2 0?）（ban πsh xan πD xaπUnn s i n s i n 10 ????bashUD ?01 ＝)0( 0 ?nD n＝y(tǒng)aπ x s haπbaπshU φ （ （ x, y ) s i n0?例 52 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??????????????????????????????????????335 im325 0,0 315 0, 0305 0,0 0295 0,0 0),( 25y020有限表達(dá)如下：的函數(shù)，其定解問題可不是據(jù)題意，解電位函數(shù)。所示，求三塊板之間的－如圖，緣的導(dǎo)板電位為，另一塊與之垂直并絕導(dǎo)板相隔為兩塊接地的無限大平行??????lyaxUyaxyxyaxyxzUa yxO0??0U??a )321( s i n)( )(,0)(, ,0)(,0 ,0),),()(),( 2?,n x an πAxfxfxfa