【正文】 ????? （ 1） （ 2） 二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題： 有限差分的網(wǎng)格分割 . . .!!!????????????????????????????????????????????????400443003320022000)( 41 )( 31)( 21)(xxxxxxxxxxxxx????????????????????????????????????????0333022200303330222001xh31xh21xhxh31xh21xh)(!)(!)()(!)(!)(??????????h2x 31xx 0??? ?????)(（ 8） （ 4） 將 和 分別代入式 (3),得 1xx? 3x240222 2)(0 hy yy???? ??????同理 （ 5） 由（ 4） –（ 5） 由（ 4） +（ 5） 2301xx22h2x 0???? ??????)(（ 6） （ 7） （ 9） hy yy 2)( 420??? ?????將式 （ 7）、（ 9） 代入式（ x0,y0)點(diǎn)的泊松方程 ， 得到 泊松方程的五點(diǎn)差分格式 2022321 )(4 hF????? ?????))((41 2043210 hF????? ?????當(dāng)場(chǎng)域中 ，得到 拉普拉斯方程的五點(diǎn)差分格式 0??04 04321 ????? ????? )(41 43210 ????? ???? 有限差分的網(wǎng)格分割 Fyx ?????? 2222 ??差分格式為： 若場(chǎng)域離散為矩形網(wǎng)格， ? 1 2 ?上式即為泊松方程或拉氏方程的差分表達(dá)式，也叫差分格式， ?場(chǎng)域中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)（也叫內(nèi)點(diǎn)）都有一個(gè)與上幾式相似的差分方程， ?邊界上的點(diǎn)的電位值為已知值， ?于是內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)便是差分方程組方程的個(gè)數(shù)，也是差分方程組未知函數(shù)的個(gè)數(shù)。 ?解這些聯(lián)立的線性代數(shù)方程便可求得內(nèi)節(jié)點(diǎn)上的電位值。 2022321 )(4 hF????? ????? 邊界條件的離散化處理 3. 第二類邊界條件 邊界線與網(wǎng)格線相重合的差分格式： hffhn 2102022 ?????????? ?? ,)(2. 對(duì)稱邊界條件 )( Fh241 24210 ???? ????1. 第一類邊界條件 給邊界離散節(jié)點(diǎn)直接賦已知電位值。 4. 介質(zhì)分界面銜接條件 的差分格式 合理減小計(jì)算場(chǎng)域，差分格式為 ? ,)( 43210 K1 K2K1 241 ???????????baK ??? 其中 圖 介質(zhì)分界面銜接條件 的差分格式推導(dǎo)： h h 0 1 2 3 4 ?a ?b aa FA ??2 02 ?? bA先假設(shè)將媒質(zhì) ?b換成 ?a ，即全部是均勻的媒質(zhì) ?a ,此時(shí)對(duì) 0點(diǎn)應(yīng)用差分格式，有： 0204321 4 aaaaaa FhAAAAA ?????再將媒質(zhì) ?a換成 ?b ，即全部是均勻的媒質(zhì)?b ,此時(shí)對(duì) 0點(diǎn)應(yīng)用差分格式，有： 04 04321 ????? bbbbb AAAAA根據(jù)分界面上矢量位的邊界條件，有： 000 AAA ba ?? 222 AAA ba ?? 333 AAA ba ??? ? ? ?3131001111bbaaaabbaaAAAAnAnA ?????????? ????????? ?? ????,)11 21 2(41 0243210 aab FhKKAAKKAAKA ????????abK ??? 其中 例 5－ 6 圖 5－ 9（ a）是一很長(zhǎng)的接地金屬凹槽，橫截面為正方形，上蓋與地絕緣且電位為 40V，蓋與槽之間間隙處為 20V。求槽內(nèi)電位值。 443210 ????? ????）（ V104 00040 ???? 4010000 20 20 401000 0 00 40 40 40100000 0 0000 2015401030解 槽中心點(diǎn)電位 ）（ 010402021 ?????? bb ??）（ 0010043 ?????? bb ??）（ )2(1 ?????c?上兩網(wǎng)格中心點(diǎn) 電位為 下兩網(wǎng)格中心點(diǎn) 電位為 當(dāng)認(rèn)為內(nèi)節(jié)點(diǎn)足夠時(shí)重新計(jì)算各內(nèi)點(diǎn)電位 第 2次、第 1次計(jì)算的誤差為： ）（＝－＝－ ）（）（ 11 cc ?? 差分方程組的求解方法 1. 高斯 ——賽德爾迭代法 ][ )( ,)( ,)( ,)( ,)( , 2k 1jik j1i1k 1ji1k j1i1k ji Fh41 ????? ??????? ?????式中： ?????????????? ,, 210k21ji ， ? 開始計(jì)算時(shí)先假設(shè)各點(diǎn)電位為某一初始值。 ? 迭代順序可按先行后列，或先列后行進(jìn)行。 ? 迭代過(guò)程遇到邊界節(jié)點(diǎn)時(shí)，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié) 點(diǎn)電位滿足 為止。 ??? ??? )(,)(, kji1kji ? 該方法在網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目很大時(shí)，收斂很緩慢。 2022321 )(4 hF????? ?????))((41 2043210 hF????? ?????i j 5 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 72 2 2 9355 82 6994 42 2 069 95 742 03 67 1 0 76 3 87 88 5))((41 2043210 hF????? ?????443210 ????? ????][ )( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( ,)( , k ji2k 1jik j1i1k 1ji1k j1ik ji1k ji 4Fh4 ???????? ??????? ???????式中： )( 21 ???? ——加速收斂因子 ?最佳 ?因子的確定與具體總是有關(guān)，要憑借經(jīng)驗(yàn)取值，沒(méi)有一般規(guī)律。 ?根據(jù)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，正方形場(chǎng)域由正方形網(wǎng)絡(luò)劃分，每邊的節(jié)點(diǎn)數(shù)若為 p+1，最佳收斂因子為： p?? sin120??2201122qp ??? ??超松弛迭代法 ][41~ 2)( 1,)( ,1)1( 1,)1( ,1, Fhk jik jik jik jiji ????? ?????? ?????]~[ )(,)(,)1(, k jijik jik ji ????? ????i j ]~[~ )(,)1(, kjijikji ??? ??? ?]~[ )(,)1(, k jijik ji ???? ??? ??當(dāng)矩形域正方形網(wǎng)絡(luò)劃分時(shí)，若兩邊分別為 ph和qh，且 p,q很大，則最佳收斂因子為： ? 迭代 收斂的速度 與 有明顯關(guān)系： ? 收斂因子（ ） 迭代次數(shù)（ N） 1000 269 174 143 122 133 171 發(fā)散 ?最佳收斂因子的經(jīng)驗(yàn)公式： )s in ( p120 ???? （正方形場(chǎng)域、正方形網(wǎng)格） 220 q1p122 ??? ?? （矩形場(chǎng)域、正方形網(wǎng)格） ? 迭代收斂的速度與 電位初始值的給定 及 網(wǎng)格剖分精細(xì) 有關(guān)； ? 迭代收斂的速度與 工程精度 要求有 。 ??? ??? )(,)(, Nji1Nji借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，其 程序框圖 如下： 啟動(dòng) 賦邊界節(jié)點(diǎn)已知電位值 賦予場(chǎng)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)電位初始值 累計(jì)迭代次數(shù) N=0 N=N+1 按超松弛法進(jìn)行一 次迭代，求 所有內(nèi)點(diǎn) 相鄰二次迭代值的最大誤差 是否小于 打印 停機(jī) )(, 1Nji ???),( jiN ?，N Y 圖 迭代解程序框圖 上機(jī)作業(yè)要求： 1. 試用超松弛迭代法求解接地金屬槽內(nèi)電位的分布 。 已知： 給定邊值：如圖示； 給定初值 誤差范圍 選取 計(jì)算 ：迭代次數(shù) N=? 分布。 已知： 給定邊值：如圖示； 給定初值 誤差范圍 計(jì)算 ： N=? 分布； 畫出槽中等位線分布圖。 mm104ahcm4a ??? ，mm14040hcm4a ??? ，00ji ?)(,????510???ji,?ji,?)()(. 1j401001jp 12ji ????? ???510???10???2. 按對(duì)稱場(chǎng)差分格式求解電位的分布 0??V100??0??0??圖 接地金屬槽的網(wǎng)格剖分 圖 接地金屬槽內(nèi)半場(chǎng)域的網(wǎng)格剖分 三 .選做題 已知：無(wú)限長(zhǎng)矩形屏蔽空腔中長(zhǎng)直矩形導(dǎo)體的橫截面如圖示，且給定參數(shù)為 V100MIMINJNV100NJNJMI I1I10NJ1JMI12121212????????????????????????, , ,M0M, N,J, ,1或或或或圖 無(wú)限長(zhǎng)矩形屏蔽空腔中長(zhǎng)直矩形導(dǎo)體的橫截面 要求 : 1. 用超松弛選代法求解無(wú)限長(zhǎng)矩形屏蔽空腔中長(zhǎng)直矩形導(dǎo)體周 圍的電位分布 。 2. 畫出屏蔽腔中矩形導(dǎo)體周圍等位線分布 。 3. 畫出屏蔽腔中矩形導(dǎo)體周圍電位分布曲面。 利用有限差分法能否計(jì)算上述問(wèn)題電容近似值？