【文章內(nèi)容簡介】 ????)6(21)()6(21)(11222211qqRqqqRq????????????)6(m a xm a x)6(m a xm a x2221222121112211qqqquqqqquqqqq61 反應(yīng)函數(shù) ? q1=R(q2)表示，對于廠商 2的每一個可能的產(chǎn)量，廠商 1的最佳對策產(chǎn)量的計算公式。它是廠商 2 產(chǎn)量的一個連續(xù)函數(shù)，我們稱這個連續(xù)函數(shù)為廠商 1對廠商 2的一個“反應(yīng)函數(shù)”。 ? 同樣， q2=R(q1)表示，對于廠商 1的每一個可能的產(chǎn)量，廠商 2的最佳對策產(chǎn)量的計算公式。它是廠商 1 產(chǎn)量的一個連續(xù)函數(shù)，我們稱這個連續(xù)函數(shù)為廠商 2對廠商 1的一個“反應(yīng)函數(shù)”。 ? 所謂“反應(yīng)函數(shù)”，簡單地說，就是針對其他博弈參與人策略的一個最佳的 策略函數(shù)，使用的是劃線法的思想。 ?????????????)6(21)()6(21)(11222211qqRqqqRq62 反應(yīng)函數(shù) ? 古諾模型的反應(yīng)函數(shù) (3,0) (0,3) (0,6) (6,0) (2,2) 2q1q)( 21 qR)( 12 qR63 反應(yīng)函數(shù) ? 從上頁的反應(yīng)函數(shù)曲線中我們可以做出如下分析 （ 1）首先分析廠商 1的反應(yīng)曲線 R1(q2)： 當(dāng)廠商 2選擇 0產(chǎn)量時 （ 即 q2=0） ， 廠商 1的最佳反應(yīng)為 3（ 即 q1=3） ， 這正是實現(xiàn)市場總利益最大的產(chǎn)量 ， 廠商 1獨自得到市場的總體利益 。當(dāng)廠商 2的產(chǎn)量達(dá)到 6時 ，廠商 1 被迫選擇 0產(chǎn)量 ， 因為此時廠商 1堅持生產(chǎn) 已經(jīng)無利可圖。 （ 2）其次分析廠商 2的反應(yīng)曲線 R2(q1)： 與廠商 1反應(yīng)曲線分析是完全相同的。 64 反應(yīng)函數(shù) （ 3）兩條反應(yīng)函數(shù)曲線的交點是（ 2， 2）是由 相互對對方 的最佳反應(yīng)產(chǎn)量構(gòu)成的產(chǎn)量組合，是納什均衡； （ 4）（ 2， 2）點以外的其他點都僅僅是一方對另一方的最佳反應(yīng)，而不是 “相互” 的最佳反應(yīng)。這與納什均衡的定義是一致的。 65 伯特蘭德寡頭模型（ 1883） ? 背景與假設(shè) 伯特蘭德寡頭模型是 價格 博弈（古諾寡頭模型是產(chǎn)量博弈）。寡頭間生產(chǎn)的產(chǎn)品不同質(zhì)，具有一定的可替代性，因此即使某個寡頭廠商的產(chǎn)品價格較高也會有銷售。 這里仍只考慮兩寡頭的情形。 66 伯特蘭德寡頭模型 ? 寡頭 1與寡頭 2各自的需求函數(shù)為： 其中 d1， d20是兩廠商產(chǎn)品的替代系數(shù)。 假設(shè)廠商生產(chǎn)無固定成本，邊際成本為 c c2。 兩廠商同時決定價格。 211112111 ),( PdPbaPPqq ????122222122 ),( PdPbaPPqq ????67 伯特蘭德寡頭模型 ? 博弈要素分析 （ 1）博弈方：廠商 1，廠商 2； （ 2）策略：廠商 1與廠商 2決定自身產(chǎn)品的價格 P1,P2； （ 3）順序：同時決策； （ 4）得益：各自的利潤 u1,u2 ? ? ? ?m a x22m a x11 ,0,0 PsPs ??68 伯特蘭德寡頭模型 ? 博弈雙方的得益： ),( 2111 PPuu ?1111 qcqP ??111 )( qcP ??))(( 2111111 PdPbacP ???? ))(( 1222222 PdPbacP ????),( 2122 PPuu ?2222 qcqP ??222 )( qcP ??69 伯特蘭德寡頭模型 ? 從自身效用最大化角度求廠商 1和廠商 2的反應(yīng)函數(shù) 對于廠商 1，求如下最大化問題的解。 求廠商 1利潤函數(shù)對于廠商 1的決策變量 q1的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為 0。 0))(()(1 1112111111 ?????????? bcPPdPbaPu11211112 cbPdaPb ????)(2 1 2111111 PdcbabP ????))((m a xm a x 2111111111PdPbacPu PP ????70 伯特蘭德寡頭模型 ? 同理，可求得廠商 2的反應(yīng)函數(shù) ? 綜上，兩廠商對對方策略（價格）的反應(yīng)函數(shù) )(2 1 1222222 PdcbabP ???)(21)()(21)(122222122211111211PdcbabPRPPdcbabPRP????????71 伯特蘭德寡頭模型 ? 求解納什均衡 即求兩個反應(yīng)函數(shù)的交點，也就是解方程組： 過程略。 ?????????????)(21)(2112222222111111PdcbabPPdcbabP72 伯特蘭德寡頭模型 ? 納什均衡 ? 多寡頭情形的納什均衡的求解，技術(shù)上就是求 n個反應(yīng)函數(shù)的交點。 ? 實例：彩電價格戰(zhàn) ——囚徒困境的另一個實例。 ?????????????????????)(42)(4)(42)(42222121111121212211121212222212111cbaddbbbcbaddbbdPcbaddbbbcbaddbbdP73 公共資源問題 ? 公共資源 無獨立所有權(quán)，公眾可以自由利用的自然資源或人類生產(chǎn)的供大眾免費使用的設(shè)施。（休謨， David Hume， 1739） 74 公共資源問題 ? 公共草地放牧問題博弈要素分析 （ 1）博弈方： n個農(nóng)戶； （ 2）策略空間：農(nóng)戶可能選擇的養(yǎng)羊數(shù) qi； （ 3）順序：同時決策； （ 4）農(nóng)戶的得益： 其中 V(Q)表示羊只的單位產(chǎn)出； c表示農(nóng)戶養(yǎng)殖每只羊的成本，這里假設(shè) c是個常數(shù)。 cqQVqu iii ?? )(75 公共資源問題 ? 這里一個重要的假設(shè)就是每只羊的產(chǎn)出 是羊只總數(shù) Q的減函數(shù)。 這是因為如果羊太多，那么牧草等養(yǎng)殖資源不足，就會造成羊的質(zhì)量下降。 )()( 1 nqqVQVV ???? ?76 公共資源問題 ? 為了使討論比較簡單和能夠得到直觀的結(jié)論，我們假設(shè)： （ 1）農(nóng)戶數(shù)： n=3； （ 2）單位羊只養(yǎng)殖成本： c=4； （ 3）單位羊只產(chǎn)出函數(shù)： （ 4）那么 3個博弈方，即 3個農(nóng)戶的得益為：收入 成本 ? ?? ?? ?? ?? ?? ??????????????????????????33213323212213211141 0 041 0 041 0 0qqqqquqqqqquqqqqqu),(1 0 01 0 0)( 321 qqqVV ???????????????????3332221114)(4)(4)(qQVquqQVquqQVqu77 公共資源問題 ? 使用得益最大化思想分別求出三個農(nóng)戶各自對其他兩個農(nóng)戶策略的反應(yīng)函數(shù) ? 農(nóng)戶 1： 效用函數(shù)對 q1求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為 0 ： 132111 4)](1 0 0[maxmax 11 qqqqqu qq ?????13121211 4100 qqqqqqq ?????132111 4)](100[ qqqqqu ?????312121196 qqqqqq ????0296 32111 ??????? qqqqu323211 212148),( qqqqRq ?????78 公共資源問題 ? 最終三個反應(yīng)函數(shù)為： ? 三個反應(yīng)函數(shù)的交點即為納什均衡： ?????????????????????212133313122323211212148),(212148),(212148),(qqqqRqqqqqRqqqqqRq24*3*2*1 ??? qqq72* ?Q576*3*2*1 ??? uuu 1728* ?u79 公共資源問題 ? 總體利益最大的情況 ? 與個體理性決策進(jìn)行比較 2964)100( Qu ?????2304480296 ???????? uQu17285767224**3*2*1**3*2*1????????uuuuQqqquu ?? **個體理性 : 80 公共資源問題 ? 結(jié)論 過度放牧，資源浪費，農(nóng)戶沒有獲得更好的效益。 這也是一類囚徒困境問題。 81 公共資源問題 ? 這個例子再一次證明了納什均衡，或者說非合作博弈的結(jié)果可能是低效率的。 ? 公共資源悲劇的現(xiàn)實例子：冬蟲草；和田玉；公共網(wǎng)絡(luò)；公共交通；防護(hù)林的保護(hù)。 ? 公共設(shè)施問題：公共設(shè)施搭便車者總是比提供者合算的，公共設(shè)施供給不足。 ? 公共資源利用、公共設(shè)施提供，政府的組織、協(xié)調(diào)和制約是非常必要的。 82 反應(yīng)函數(shù)的問題和局限性 ? 在許多博弈中，博弈方的策略是有限且非連續(xù)時，其得益函數(shù)不是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，無法求得反應(yīng)函數(shù)，從而不能通過解方程組的方法求得納什均衡。 83 圖 b 圖 a 反應(yīng)函數(shù)的問題和局限性 ? 即使得益函數(shù)可以求導(dǎo)，也可能各博弈方的得益函數(shù)比較復(fù)雜，因此各自的反應(yīng)函數(shù)也比較復(fù)雜，并不總能保證各博弈方的反應(yīng)函數(shù)有交點（圖 a）， 特別是不能保證有唯一的交點（圖 b） 。 84 混合策略和混合策略納什均衡 ? 嚴(yán)格競爭博弈和混合策略的引進(jìn) ? 多重均衡博弈和混合策略 ? 混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 ? 混合策略反應(yīng)函數(shù) 85 ? 嚴(yán)格競爭博弈： 各博弈方的利益和偏好始終不一致 ，在通常策略上沒有納什均衡的博弈問題 ? 猜硬幣博弈 ? 純（確定性）策略下，沒有納什均衡。但博弈方仍不能隨意決策。 猜硬幣方 1， 1 1， 1 1， 1 1， 1 正 面 反 面 正 面 反 面 蓋硬幣方 嚴(yán)格競爭博弈和混合策略的引進(jìn) 86 嚴(yán)格競爭博弈和混合策略的引進(jìn) ? 首先，對蓋硬幣方進(jìn)行分析。 ? 這個博弈中各博弈方?jīng)Q策的第一個原則：自己的策略選擇不能預(yù)先被另一方知道或猜測到，否則，對方就會利用這點來選擇策略，從而在博弈中獲勝； ? 其次：自己選擇策略要避免規(guī)律性。選擇策略如果出現(xiàn)規(guī)律性，比如一次正面、一次反面、一次正面 …… ，那么對方也會利用這個規(guī)律獲勝； ? 更進(jìn)一步：如果蓋硬幣方已經(jīng)使用隨機(jī)策略，隨機(jī)地選擇蓋正面或反面，但總體上出某個策略的概率更大，那么對方仍然會有機(jī)可乘。 87 嚴(yán)格競爭博弈和混合策略的引進(jìn) ? 因此，如果蓋硬幣方以 1/2的概率隨機(jī)選擇自身的策略，那么對方就無法從選擇策略的偏好中占得任何便宜。 ? 也就是說，博弈方必須保證自身策略選擇的隨機(jī)性，以及重視各個策略的概率分布，以防止其他博弈方猜到自己的策略、或利用自己對策略選擇的偏好獲利。 88 嚴(yán)格競爭博弈和混合策略的引進(jìn) ? 混合策略 (Mixed Strategies)(一套出招的隨機(jī)概率 ) 在博弈 G={S1,S2,…,S n。 u1,u2,…,u n}中，博弈方 i的策略空間為 Si={Si1,…,S ik}，則博弈方 i以概率分布 pi=(pi1,…,p ik)隨機(jī)在其 k個可選策略中選擇的“策略”，稱為“混合策略”，其中 0≤pik ≤1對 j=1,2,…,k 都成立，且 pi1+…+p