【正文】 ?BAPP。 11 ?? BA PP112 多重均衡博弈和混合策略 混合策略納什均衡為： 廠商 1: (,)。 期望收益 : 廠商 2: (,)。 期望收益 : 相互協(xié)商達(dá)成的純策略的得益也是要大于混合策略均衡下的期望收益。 113 ? 市場機(jī)會(huì)博弈（過程請同學(xué)們自己完成 .） 多重均衡博弈和混合策略 廠商 2 廠 商 1 50， 50 100， 0 0， 100 0， 0 進(jìn) 不進(jìn) 進(jìn) 不進(jìn) 廠商 1: (2/3,1/3)。 期望收益 : 0 廠商 2: (2/3,1/3)。 期望收益 : 0 114 混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 ? 在包括混合策略的情況下，嚴(yán)格下策反復(fù)消去法的結(jié)論仍然成立： （ 1）任何博弈方不會(huì)采用嚴(yán)格下策，不管它們是純策略還是混合策略； （ 2）嚴(yán)格下策反復(fù)消去法不會(huì)消去任何納什均衡，包括純策略納什均衡和混合策略納什均衡； （ 3）如果經(jīng)過反復(fù)消去后留下的策略組合是惟一的，那么一定是納什均衡。 115 混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 ? 博弈方 2采用純策略 L時(shí)，博弈方 1用上述混合策略的期望得益為： ? 博弈方 2采用純策略 R時(shí)，博弈方 1用上述混合策略的期望得益為： ? 博弈方 2采用混合策略 (q,1q)時(shí)，博弈方 1用上述混合策略的期望得益為： 3， 1 0， 2 0， 2 3， 3 1， 3 1， 1 L R U M D 博弈方 2 博 弈 方 1 博弈方 1采取混合策略：以概率（ 1/2,1/2,0） 選擇 （ U,M,D） 時(shí) ，與這個(gè)混合策略相比 ， D一定是博弈方 1的嚴(yán)格下策 ！ 23100213211 ???????eu23103210211 ???????eu233)1(210210)1(213211 ??????????????? qqqqu eq q?121210116 混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 ? 因此，不管博弈方 2采用哪種策略，包括所有可能得純策略和所有混合策略（對應(yīng) q的所有可能值），博弈方 1采用 (1/2,1/2,0)的期望收益始終為 3/2，都要大于采用 D策略時(shí)得到的確定性得益 1。由于我們假設(shè)博弈方是風(fēng)險(xiǎn)中性的， D相對于混合策略 (1/2,1/2,0)是嚴(yán)格下策。 3， 1 0， 2 0， 2 3， 3 1， 3 1， 1 L R U M D 博弈方 2 博 弈 方 1 3, 1 0, 2 0, 2 3, 3 U M L R 博弈方 2 博弈方1 下策消去 117 3， 1 0， 2 0， 2 3， 3 2， 3 1， 1 L R U M D 博弈方 2 博 弈 方 1 混合策略和嚴(yán)格下策反復(fù)消去法 ? 需要注意的是，并不是包括混合策略以后，博弈中一定會(huì)存在可以先行削去的純策略嚴(yán)格下策，如將博弈的得益修改為： ? D就不再是嚴(yán)格下策，（ 13/22，沒有嚴(yán)格的優(yōu)劣）。 118 混合策略反應(yīng)函數(shù) ? 反應(yīng)函數(shù)即一博弈方對另一博弈方每種可能的決策內(nèi)容的最佳反應(yīng)決策構(gòu)成的函數(shù)； ? 在純策略的范疇內(nèi)，反應(yīng)函數(shù)是各博弈方選擇的純策略對其他博弈方純策略的反應(yīng)； ? 在混合策略的范疇內(nèi)，博弈方的決策內(nèi)容為選擇概率分布，反應(yīng)函數(shù)就是一方對另一方的概率分布的反應(yīng)，同樣也是一定的概率分布。 119 混合策略反應(yīng)函數(shù) ? 猜硬幣博弈 正 反 蓋硬幣方： ( r, 1r) 猜硬幣方： ( q, 1q) q1/2時(shí) ,U(蓋正 )U(蓋反 ),r=1 即對方猜正面的概率小，我蓋正面有便宜，所以我傾向于蓋正面，故 r=1，我總蓋正面； q=1/2時(shí) ,U(蓋反 )=U(蓋正 ),r任意 q1/2時(shí) ,U(蓋正 )U(蓋反 ),r=0 r1/2時(shí) , U(猜正 )U(猜反 ), q=0 r1/2時(shí) , U(猜正 )U(猜反 ), q=1 r q 0 1/2 1 r=R1(q) 1/2 1 q=R2(r) 對方猜正面的概率 對方蓋正面的概率 混和策略 NE 蓋 :(1/2,1/2) 猜 :(1/2,1/2) 120 混合策略反應(yīng)函數(shù) ? 夫妻之爭 分析妻子：對丈夫的混合策略 (q, 1q)的對策分析。 (1)妻子選擇“宮心計(jì)”的期望收益 U(C)： 3q+0(1q)=3q (2)妻子選擇“世界杯”的期望收益 U(F)： 0q+1(1q)=1q 因此，當(dāng) q1/4時(shí)，有 3q1q，即 U(C)U(F)，故妻子一定選“世界杯”，所以此時(shí) r=0,1r=1；反之依然； 當(dāng)， q=1/4時(shí)，有 3q=1q，即 U(C)=U(F)，即妻子選擇“宮心計(jì)”與“世界杯”無差異，所以 r和 1r的值可以任意。 同理，當(dāng) q1/4時(shí)， r=1,1r=0；丈夫的分析同妻子。 rr?1q q?1121 混合策略反應(yīng)函數(shù) 分析丈夫：對妻子的混合策略 (r, 1r)的對策分析。 (1)丈夫選擇“宮心計(jì)”的期望收益 U(C)： 1r+0(1r)=r (2)丈夫選擇“世界杯”的期望收益 U(F)： 0r+3(1r)=33r 因此，當(dāng) r3/4時(shí)，有 r33r，即 U(C)U(F)，故丈夫一定選“世界杯”，所以此時(shí) q=0,1q=1；反之依然； 當(dāng)， r=3/4時(shí)，有 r=33r，即 U(C)=U(F)，即丈夫選擇“宮心計(jì)”與“世界杯”無差異，所以 q和 1q的值可以任意。 同理，當(dāng) r3/4時(shí)， q=1,1q=0。 rr?1q q?1122 混合策略反應(yīng)函數(shù) ? 夫妻之爭 宮心計(jì) 世界杯 妻子： ( r , 1r ) 丈夫： ( q , 1q ) 妻子： q1/4時(shí) ,U(F)U(C), r=0 q=1/4時(shí) ,U(F)=U(C), r取 [0,1] 任意值； q1/4時(shí) , U(C)U(F), r=1 丈夫： r3/4時(shí) , U(F)U(C), q=0 r=3/4時(shí) , U(F)=U(C), q取 [0,1]任意值； r3/4時(shí) , U(C)U(F), q=1 0 1/4 r 3/4 1 q 1 r=R1(q) q=R2(r) 純策略 NE1 (世界杯 ,世界杯 ) 純策略 NE1 (宮心計(jì) ,宮心計(jì) ) 混和策略 NE 妻 :(3/4,1/4) 丈 :(1/4,3/4) 123 納什均衡的存在性 ? 納什定理（ Nash 1950） 在一個(gè)有 n個(gè)博弈方的博弈 G={S1,…,S n。u1,…,u n}中，如果 n是有限的，其 Si都是有限集（對 i=1,2,…,n ），則該博弈至少存在一個(gè)納什均衡，但可能包括混合策略納什均衡。 ? 每一個(gè)有限博弈都至少有一個(gè)混合策略納什均衡 ? 定理證明： 不動(dòng)點(diǎn)定理。 ? 納什定理的意義： NE存在的普遍性，“一致預(yù)測”，成為博弈問題分析方法。 124 納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 ? 納什均衡是博弈問題最基本的分析概念，是均衡分析概念的基礎(chǔ)。 ? 但納什均衡分析并不一定能徹底解決一個(gè)博弈問題，因?yàn)榧{什均衡的存在性不等于惟一性。在許多博弈中納什均衡是不惟一的，而且不同的納什均衡相之間也沒有明顯的優(yōu)劣關(guān)系，從而博弈方的選擇會(huì)遇到困難。夫妻之爭博弈就是這樣的一個(gè)典型例子。 125 納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 ? 即使一個(gè)博弈的幾個(gè)納什均衡之間存在優(yōu)劣關(guān)系 (帕累托效率意義上的 )，也不能保證博弈方一定會(huì)選擇較優(yōu)的納什均衡。“風(fēng)險(xiǎn)”、“破壞者”、“串通”的存在，使得博弈結(jié)果無法用納什均衡加以解釋。 ? 因此對有些博弈問題僅僅進(jìn)行納什均衡分析是不夠的，必須在納什均衡分析的基礎(chǔ)上再作進(jìn)一步的深入分析。 126 納什均衡的選擇和分析方法擴(kuò)展 ? 帕累托和風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 ——帕累托上策均衡 ——風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 ? 聚點(diǎn)和相關(guān)均衡 ——聚點(diǎn)均衡 ——相關(guān)均衡 ? 共謀和防共謀均衡 ——多人博弈中的共謀問題 ——防共謀均衡 127 帕累托和風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 ? 帕累托上策均衡： 依據(jù)帕累托效率意義上的優(yōu)劣關(guān)系，某一個(gè)納什均衡給所有博弈方帶來的利益都大于其他所有納什均衡會(huì)帶來的利益，博弈方選擇的傾向性是一致的。 5， 5 10， 8 8， 10 10， 10 戰(zhàn)爭 和平 國家 2 戰(zhàn)爭 和平 國 家 1 戰(zhàn)爭與和平 兩個(gè)純策略納什均衡： (戰(zhàn)爭 ,戰(zhàn)爭 ), (和平 ,和平 ) 在帕累托效率意義上 ,(和平 ,和平 )明顯較好，構(gòu)成一個(gè) 帕累托上策均衡。 如果兩國的決策者都是理性的，那么兩個(gè)國家之間就不應(yīng)該會(huì)發(fā)生戰(zhàn)爭。 128 帕累托和風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 ? 風(fēng)險(xiǎn)上策均衡： 如果所有博弈方在預(yù)計(jì)其他博弈方采用兩種納什均衡的策略的概率相同時(shí)，都偏愛其中某一納什均衡，則該納什均衡就是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)上策均衡。 9， 9 8， 0 0， 8 7， 7 L R 博弈方 2 U D 博 弈 方 1 風(fēng)險(xiǎn)上策均衡（ D， R） 明顯地 (U,L)為帕累托上策均衡，但是選擇這個(gè) NE對雙方都有很大風(fēng)險(xiǎn) ,一旦對方偏離這個(gè)均衡，那么自身的得益損失是非常大的，相對于這種高風(fēng)險(xiǎn)， (D,R)就有了相對優(yōu)勢。 129 帕累托和風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 UpDpLp Rp17809??????? ??DUDUDUpppppp17809??????? ??RLRLRLpppppp81,87 ??DU Pp81,87 ??RL Pp?混合策略納什均衡 。 混合策略納什均衡是博弈方使得對方行為選擇無差異時(shí)，自身行為的概率分布。 博弈方 1：令博弈方 2選擇 L與 R無差異 博弈方 2：令博弈方 1選擇 U與 D無差異 87818781130 帕累托和風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 87?81?8781?檢查博弈方的策略偏好 。 博弈方 1的混合策略（ PU和 PD）與博弈方 2策略 L與 R的偏好性。 當(dāng) PU 7/8， 1 PU =PD1/8時(shí)，有 U(L)U(R)，即此時(shí)博弈方 2對策略R具有偏好。 77)1(878)(90)1(909)(??????????????????????UUUDUUUUDUPppppRUpppppLU131 帕累托和風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 ?檢查博弈方的策略偏好 。 博弈方 2的混合策略（ PL和 PR）與博弈方 1策略 U與 D的偏好性。 當(dāng) PL 7/8， 1 PL =PR1/8時(shí)，有 U(U)U(D)，即博弈方 2對策略 D具有偏好。 77)1(878)(90)1(909)(??????????????????????LLLRLLLLRLpppppDUpppppUU878187?81?132 帕累托和風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 81?87?87? 81?? 如果博弈方 1傾向于策略 D的隨機(jī)概率大于 %，那么博弈方 2的 R策略相對于帕累托均衡策略 L就具有期望得益上的優(yōu)勢，因此博弈方 2偏好于 R；如果博弈方 2傾向于 R的隨機(jī)概率大于 %，那么博弈方 1的 D策略相對于帕累托均衡策略D就具有期望得益上的優(yōu)勢，因此博弈方 1偏好于 D。 133 帕累托和風(fēng)險(xiǎn)上策均衡 ? 總結(jié) ?偏離的概率要求小于 1/8(%)才能保證帕累托上策均衡(U,L)