【文章內(nèi)容簡介】 s p????(c) *21 2 3( ) ( )( ) ( ) ( )KG s H ss s p s p s p????(d) 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 147 法則七、根軌跡的起始角和終止角 根軌跡的終止角 是指終止于某開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平正方向的夾角。 根軌跡的起始角 是指根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 148 起始角與終止角計算公式 ? 起始角計算公式： 終止角計算公式： )()()12(11jmkjjkniikz zzpzkk ???????? ???????11( 2 1 ) ( ) ( )kmnp k j k ijiikk p z p p?????? ? ? ? ? ? ? ???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 149 例 4－ 5 * ( 2 ) ( 2 )( ) ( )( 1 2 ) ( 1 2 )K s j s jG s H ss j s j? ? ? ??? ? ? ??設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。 ?解 將開環(huán)零、極點畫在根平面上，逐步畫圖： 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 150 ① n=2，有兩條根軌跡 ② 兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點 P1=(1+j2) , p2=(1j2)； 終于開環(huán)零點 z1=(2+j) , z2=(2j) ③ 確定起始角 。 ???????????? ))pp(()zp()zp( 212111???? 180)90( ????? ?? 207153 ????④ 確定終止角 。 ???????????? ))pz()pz(()zz( 211121???? 180)108135(90 ?????? ?63??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 151 例 4－ 5根軌跡的起始角和終止角 圖 4－ 13 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 152 圖 4－ 12 例 4－ 5根軌跡 * ( 2 ) ( 2 )( 1 2 ) ( 1 2 )K s j s js j s j? ? ? ?? ? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 153 例 4－ 6 *2( 1 )( ) ( )3 3 .2 5KsG s H sss?????已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標(biāo) d，并概略繪制出根軌跡圖。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 154 解： 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點 12 1 , 1p j p j? ? ? ? ? ?按步驟： ① n=2,m=1,有兩條根軌跡 ② 兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠(yuǎn)零點 ③ 實軸上根軌跡位于有限零點－ 1和無窮零點之間，因此判斷有分離點 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 155 ④ 離開復(fù)平面極點的 初始角 為 11 1 2 12180180 116 .57 90 206 .57206 .57p z p p pp? ? ??? ? ?? ? ? ???425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 156 1. 5 1 1. 5 1 1221( 2 1 )21aajjk????? ? ? ? ?? ? ??????⑤ 漸近線 121 1 1 1 1 1 2 , 2d j d j ddd??? ? ? ? ?? ? ?（舍去） 求分離點坐標(biāo) d 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 157 此系統(tǒng)根軌跡如圖 415所示 圖 4－ 15 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 158 八、根軌跡與虛軸的交點 ?如根軌跡與虛軸相交，則交點上的 值和 值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的 ，然后分別令其實部和虛部為零求得。 *K ?sj ??425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 159 例 4－ 7 ? 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。 *2( ) ( )( 3 ) ( 2 2 )KG s H ss s s s?? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 160 解 ： 按步驟畫圖 ① 有 4條根軌跡 ② 各條根軌跡分別起于開環(huán)極點 0， 3， 1+j1, 1j1 ；終于無窮遠(yuǎn) ③ 實軸上的根軌跡在 0到 3之間 ④ 漸 近 線 00( 2 1 )45 , 13 540 3 1 1 1 14aakjj????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 161 ⑤ 確定分離點 d 4110idp???1 2 , 32 .3 , 0 .9 2 0 .3 7d d j? ? ? ? ?解方程得 （舍去） 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 162 3 1 3 2 3 4 3400 0 0 000180180 135 90p p p p p p pp? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ????⑥ 確定起始角 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 163 ⑦ 確定根軌跡與虛軸的交點。 2*( ) ( 3 ) ( 2 2) 0D s s s s s K? ? ? ? ? ?* 5 , ? ? ? ?sj??令 代入上式 解得 閉環(huán)系統(tǒng)的 特征方程 為 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 164 圖 4－ 17 例 4－ 7根軌跡 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 165 九、根之和與根之積 *1 1 1121 2 1( ) ( ) ( )n m ni j ii j in n nnns p K s z s ss a s a s a s a? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式 ① 閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項系數(shù) 。若 根之和與開環(huán)根軌跡增益 無關(guān)。 1a ( ) 2nm??*K425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 166 Tips ?在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，nm?2的系統(tǒng)，當(dāng)增益Ｋ的變動使某些閉環(huán)極點在 s平面上 向左 移動時，則必有另一些極點 向右 移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。 ( 1) n?② 閉環(huán)特征根之積乘以 ，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 167 例 4－ 8 2() ( 0 . 0 5 1 ) ( 0 . 0 5 0 . 2 1 )KGss s s s?? ? ??已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 0K ? ? ?KK? 臨試畫出 時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出 時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 168 解； 根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算： ① n=4，有四條根軌跡； ② 起始于開環(huán)極點 0， 20， 2j4, 2+j4，終于無窮遠(yuǎn)處； ③ 實軸上的根軌跡在（ 0， 20）區(qū)間； ④ n=4,m=0,則有 4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)，它們的漸近線與實軸的交點和夾角為 425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 169 20 2 4 2 464( 2 1 ) ( 2 1 )4aajjkknm????? ? ? ? ?? ? ???????4ii=1p＝nm取 0 , 4 5 。 1 , 4 51 , 1 3 5 。 2 , 1 3 5aakk??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?425130 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 170 ⑤ 根軌跡的起始角。 3 1 3 2 3 4 3400 0 0 0 0018018 0 11 6. 5 12 .5 90 3939p p p p p p pp? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ???解得 ⑥ 分離點坐標(biāo) d。 1 1 1 1 02 0 2 4 2 4d d d j d j? ? ? ?? ? ? ? ?1231 5 . 1 ,1 . 4 5 2 . 0 7 , 1 . 4 5 2 . 0 7dd j d j???