【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1222a rc s i n2112xdxx????????=)2( a r c si n2a r c si n1 xdx?=.2ar c s i nln Cx ?=例 13 求 解 .co ss i n 52? ? x d xx? ? xdxx 52 c o ssi n ? ?= )( s i nco ss i n 42 xxdx? ??= )( si n)si n1(si n 222 xdxx? ??= )( si n)si nsi n2( si n 642 xdxxx.si n71si n52si n31 753 Cxxx ???=說(shuō)明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分 . 例 14 求 解 .c o s1 1? ? dxxdxxdxx? ?=?2c o s21c o s112Cx ?=2t a n例 15 dxxx xx? ?? c o ss i n s i nc o sdxxx xx? ?? c o ss i n s i nc o s dxxx xx? ? ??= c o ss i n )c o s( s i n解 ?= )2(2s e c 2 xd)c os(s i nc oss i n 1 xxdxx ??= ?Cxx ??= c o ss i nln例 18. ? xx dtan ?= xxx dc o ss i n )c os(dc os1 xx??=.|c o s|ln Cx ??=例 16. ?xx ds in 2 ? ?= xx d2 2c o s1 xx? ?= )d2c os1(21.)2s i n21(21 Cxx ??=例 17. ? xx dc o s 3 ? ?= xxx d) c o ss in1( 2)( s i n)ds i n1( 2 xx? ?=.s i n31s i n 3 Cxx ??=? 類似可得 Cxxd x ?=? s i nlnc ot例 19. ? xx ds e c?= xx dc o s1 xxx?= dc osc os 2? ?= )s i nd(s i n1 1 2 xx Cxx ???= s i n1 s i n1ln21? xx ds e c ???= xxxxxx dtans e ctans e cs e c 2? ??= )tan(s e cdtans e c 1 xxxx或 = ln|tanx+secx|+C. = ln|tanx+secx|+C. ? Cxxxdx ??=? |c o tc s c|lnc s c 第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法， 不過(guò)如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循， 只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對(duì)被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃?，拼湊出合適的微分因子。 類似可得 問題 ?1 25 =?? dxxx解決方法 改變中間變量的設(shè)置方法 . 過(guò)程 令 tx sin= ,c o s t dtdx =?=?? dxxx 25 1 t d ttt c o ssi n1)( si n 25? ?t d tt 25 c o ssi n?= ??=（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果） 二、第二類換元法 其中 )( x? 是 )( tx ?= 的反函數(shù) .證 設(shè) 為 的原函數(shù) , )(t? )()]([ ttf ?? ?令 )]([)( xxF ??=則 dxdtdtdxF ??=? )( )()]([ ttf ?? ?= ,)(1 t???設(shè) )( tx ?= 是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，? ?)()()]([)(xtdtttfdxxf???=???=則有換元公式 并且 0)( ?? t? ，又設(shè) )()]([ ttf ?? ? 具有原函數(shù)，定理 2 第二類積分換元公式 ? ?=? CxFdxxf )()( ,)]([ Cx ???=? ?)()()]([)(xtdtttfdxxf???=???=)]([ tf ?= ).( xf=說(shuō)明 )( xF 為 )( xf 的原函數(shù) ,例 1. 求下列不定積分 . (1) ,d11??xx解 : 令 ,ux = 則 ? ?= uu d2u1 1 2 ? ?= uuu d12 ? ??= uu )d1 11(2.)1l n (22 Cxx ???=? ? xx d1 1= 2u?2ln|1+u|+C (2) ? ? ,1 dxx x? 解 : 令 ,1 ux =? 則 ,2 u d udx =,2 u d udx =?= uuu d2s i n u ?= us in u d2Cu ??= c o s2 .c o s2 Cx ??=? xx x ds i n ? ? dxxx 1? 解 : 令 ,ux = 則 ,2 u d udx =duuuu? ?= )1(22 ? ?= duu )1(2 2Cuu ??= 232 3 Cxx ????= 12)1(32 23? xx dxs i n)3(說(shuō)明 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，可采用令 （其中 為各根指數(shù)的 最小公倍數(shù) ） lk xx ,? ntx =n例 2 求 .)1( 1 3 dxxx? ?解 令 6tx = ,6 5 dttdx =?dxxx? ? )1( 1 3? ?= dttt t )1( 6 235? ?= dttt 2216? ? ??= dttt 221116 ? ????????= dtt 21116Ctt ??= ]ar c tan[6 .]ar c tan[6 66 Cxx ??=例 3. 求 (其中 a 0). ,d22? ? xxa解 : 令 x = asinu, ,22?? ??? u 則 ? ? xxa d22 ? ?= uuaua dc o sc o s ?= uua dc o s 22? ?= uua d)2c os1(22Cuua ??= )2s i n21(22Cuuua ??= )c oss i n(22.2ar c s i n2222Cxaxaxa ???=? 例 4 求 解 ).0(1 22 ??? adxax令 tax ta n= t dtadx 2s e c=?=?? dxax 22 1 t d tata 2secsec1 ?? ?= td tsecCtt ??= )tanl n (s e ctax22 ax ? .ln22Caaxax ????????? ??=?????? ???? 2,2tCxax ???= )l n ( 22例 5 求 解 ).0(1 22 ??? adxax令 tax se c= ?????? ?? 2,0t t dttadx tans e c==?? dxax 22 1 dtta tta? ?t a nt a nsec?= td tsec Ctt ??= )tanl n (s e ctax22 ax ? .ln22Caaxax ????????? ??=Caxx ???= )l n ( 22注 : 巧用湊微分法 , 可迅速解決上述問題 . 事實(shí)上 , ? ? xxa d1 22 ??????= xxaxaxxax d)( 222222? ????= )(d1 2222 xaxxax .)l n (22 Cxax ???=? ? xax d1 22 ? ?