【文章內(nèi)容簡介】 1 0 0 3 Trans ( 4, 3, 7 ) Rot ( y, 90176。 ) Rot ( z, 90176。 ) = 0 1 0 7 （ ） 0 0 0 1 坐標(biāo)系首先繞參考坐標(biāo)系 z 軸旋轉(zhuǎn) 90176。 ， 然后繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 90176。 ， 最后平移 4i－ 3j+7k， 如圖 。 如果以相反次序從左到右來進行這些操作：首先對坐標(biāo)平移 4i― 3j+7k， 然 后將它繞當(dāng)前坐標(biāo)系的 y 軸旋轉(zhuǎn) 90176。 ， 此時當(dāng)前坐標(biāo)系的 y 軸與參考坐標(biāo)系的 y 軸是相同 的 。 然后再繞著新坐標(biāo)系 （ 當(dāng)前的 ） 坐標(biāo)系的 z 軸旋轉(zhuǎn) 90176。 ， 所得結(jié)果與前面的方法相同 （ 見圖 ） 。 ? 0 0 z z z z y y y y x x x x Rot ( y, 90176。 ) Rot ( z, 90176。 ) Trans ( 4, 3, 7 ) 坐標(biāo)原點 圖 相對變換 一般的情況下 ， 如果我們用一個旋轉(zhuǎn)和 /或平移變換矩陣右乘一個坐標(biāo)系的變換 ， 那么產(chǎn)生的平移和 /或旋轉(zhuǎn)是相對于前一個變換的坐標(biāo)系 （ 當(dāng)前坐標(biāo)系 ） 的軸來說的 。 如果我們用一個描述平移和 /或旋轉(zhuǎn)的變換矩陣左乘一個坐標(biāo)系的變換 ，那么產(chǎn)生的平移和 /或旋轉(zhuǎn)是相對于基坐標(biāo)系來說的 。 【 例 】 給一個坐標(biāo)系 C和一個變換 T， T為繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 90176。 ， 并在 x 軸方向上平移 10個單位 ， 當(dāng)變換是相對于基坐標(biāo)系產(chǎn)生時 ， 我們用 T 左乘 C 得到新的位置 x 為 0 1 0 10 1 0 0 20 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 10 1 0 0 20 x = T C = 0 0 1 0 0 1 0 0 ＝ 0 1 0 0 （ ） 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 當(dāng)變換是相對于當(dāng)前坐標(biāo)系 C 軸產(chǎn)生時 ， 我們用 T 右乘 C 得到新的位置 y 為 1 0 0 20 0 1 0 10 0 1 0 30 0 0 1 10 1 0 0 0 0 0 1 10 y = C T = 0 1 0 0 0 0 1 0 ＝ 1 0 0 0 （ ） 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 結(jié)果如圖 。 Y X Trans (10, 0, 0 ) Rot ( z, 90176。 ) 0 z y x x x x x y y y y z z z z Rot ( z, 90176。 ) Trans (10, 0, 0 ) 圖 相對于基坐標(biāo)系和當(dāng)前坐標(biāo)系的變換 物體的描述 （ Object representation） 變換可用來描述物體的位置與方向 （ 方位 ） 。 如圖 楔形 物體用六個角點 來描述 ， 這六個角點是相對于物體所在的參考坐標(biāo)系的 。 如果把物體繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 90176。 ， 然后繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 90176。 ， 接著沿 x 方向平移 4個單位 ， 我們可以描述這個變換為 0 0 1 4 1 0 0 0 Trans ( 4, 0, 0 ) Rot ( y, 90176。 ) Rot ( z, 90176。 ) = 0 1 0 0 0 0 0 1 這個變換表示了對參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)和平移操作 ， 變換后物體的六個角點為 4 4 6 6 4 4 0 0 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 4 4 = 0 1 0 0 0 0 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 變換后該物體在坐標(biāo)上的方位如圖 。 從圖 ， 由于楔形物體的角點與它所在的坐標(biāo)系有固定的關(guān)系 ，因此沒有必要對所有的角點進行變換 ， 只要對物體所在的坐標(biāo)系進行變換 ， 就可得到變換后的各個角點在基坐標(biāo)中的位置 ， 將這些角點用直線連接起來就可得到楔形物體的邊緣 ， 它與逐點變換的結(jié)果完全相同 （ 見圖 ） 。 ( 1, 0, 0 ) ( 1, 0, 2 ) ( 1, 0, 2 ) ( 1, 4, 0 ) ( 1, 4, 0 ) ( 1, 0, 0 ) z y x 0 圖 楔形物體 圖 被變換的楔形物體 ( 4, 1, 0 ) ( 4, 1, 4 ) ( 4, 1, 4 ) ( 6, 1, 0 ) ( 6, 1, 0 ) ( 4, 1, 0 ) y x 0 y x z z 逆變換 （ Inverse transformation) 所謂逆變換就是將被變換的坐標(biāo)系返回到原來的坐標(biāo)系，在數(shù)學(xué)上就是求變換矩陣的逆。 下面我們寫出變換矩陣的一般表達形式 nx ox ax px ny oy ay py T = nz oz az pz （ ） 0 0 0 1 式中 n, o, a 是旋轉(zhuǎn)變換列向量 ， p 是平移向量 ， 其逆是 nx ny nz ox oy oz T1 = ax ay az （ ） 0 0 0 1 式中的 “ . ” 表示向量的點積 。 這個結(jié)果很容易用式 來證明 。 一般性旋轉(zhuǎn)變換（ General rotation transformation） 前面我們介紹的旋轉(zhuǎn)變換都是繞 x， y， z 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換 ， 這些變換都有一個簡單的幾何解釋 。 例如：在繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的情況下 ， 表示 z 軸保持恒定 ， x 軸和 y 軸將如圖 。 圖 繞 z 軸的旋轉(zhuǎn) θ z 0 z y y x x Cos θ － Sin θ Sin θ Cos θ θ 如圖 ， 給出一個變換矩陣 C， 它繞 任意向量 k 旋轉(zhuǎn) ， 我們把 k當(dāng)作 C坐標(biāo)系的 z 軸單 位向量 。 nx ox ax 0 ny oy ay 0 C = nz oz az 0 （ ） 0 0 0 1 k = ax i + ay j + az k （ ） 繞 k 旋轉(zhuǎn)就相等于繞 C 坐標(biāo)系的 z 軸旋轉(zhuǎn) 。 Rot（ k， θ） = Rot（ Cz， θ） （ ） 如果我們給一個坐標(biāo)系 T， 它在參考坐標(biāo) 系里被描述 ， 它在 C坐標(biāo)系里用 X描述 ， 這樣 T = C X （ ） 其中 X描述 T相對 C的位姿 ， 求 X， 我們得到