【文章內容簡介】 rance 問題 ”，并通過數學家Pomerance 之口，導出了一個多少有些使人感到意外的數學結果（定理）。我們認為， 這樣的結果對學生的啟發(fā)性遠遠勝過案例 4 中所列的一串“數字運算等式”。自主探究應當采用生動活潑、真正發(fā)人深思的形式，教師與教材編寫者應該不斷研究、不斷改進教學的思想方法，創(chuàng)建富有個性特點的“發(fā)現法”教學方法。 7． 以實際的教學案例分析說明高中數學新課程的教學觀。 《普通高中數學課程標準（實驗）》要求：一方面保持我國重視基礎知識教學、基本技能訓練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)。另一方面，隨著時代的發(fā)展，特別是數學的廣泛應用、計算機技術和現代信息技術的發(fā)展，數學課程設置和實施應重新審視基礎知識、基本技能和能力的內涵，形成符合 時代要求的新的“雙基”。例如，高中數學課程增加“算法”內容，把最基本的數據處理、統(tǒng)計知識等作為新的數學基礎知識和基本技能。同時，應刪減煩瑣的計算、人為的技巧化難題和過分強調細枝末節(jié)的內容，克服“雙基”異化的傾向。 強調數學的本質，注意適度形式化。數學課程教學中，需要學習嚴格的、形式化的邏輯推理方式。但是數學教學，不僅限于形式化數學，學生還必須接觸到生動活潑、靈活多變的數學思維過程。要讓學生追尋數學發(fā)展的歷史足跡，體念數學的形成過程和數學中的思想方法。教師應該把高度嚴格的學術形態(tài)的數學轉化為學生樂于思考的、興 趣盎然的教學形態(tài)。 《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》要求：“數學教學活動必須建立 8 在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應該激發(fā)學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。” 結合自己所熟悉的實際的教學案例對新課標的上述教學理念和要求加以分析。 8． 你能否發(fā)現 歐拉多面體定理 是 三角形內角和定理的自然推廣，詳細說 明這樣的推廣方法，并由此了解初等數學與高等數學之間并不存在絕對的界限。 歐拉多面體定理 V+F=E+2. 多面體的歐拉（ Euler）定理是一個很好的實例。歐拉定理斷言，簡單（單連通）多面體的頂點數 V、邊數 E與面數 F 滿足關系 V＋ F=E＋ 2。 這個在中學立體幾何中顯得有些獨特的定理最初是出于什么考慮而獲得的呢？平面幾何中“三角形內角和為知”這個定理給我們留下的強烈印象是：它不依賴于三角形的量度性質（形狀和大?。?，可以把它看成三角形的一個特征性質。與此相關的是凸 n邊形的內角和：只與邊數有關。由此產生的一個自然類比的 問題是：多面體平面角的和是否也具有這種美妙的性質呢？答案是肯定的。解法如下：采用兩種不同方法計算（單連通）多面體的平面角總和。 方法 1（立體法）：設想把多面體壓縮（投影）到它自身的一個面上，這種壓縮可以改變多面體各條邊的長度，但不改變多邊體每個面的邊數。 單連通多面體平面角的立體算法 設已知多面體的 F 個面分別是邊數為 S1， S2，?， SF 的多邊形，于是多面體平面角的和∑ =(S1－ 2)π＋ (S2－ 2)π＋?＋ (SF－ 2)π =( S1＋ S2＋?＋ SF) π 9 － 2π F=2π E－ 2π F=2（ R－ F） π。 方法 2（平面法）：假定底面是一個 r 邊形，則多面體投影在底面內部的 V－ r 個頂點的平面角的和為 2（ V－ r）π。底面多邊形內角和是（ r－ 2）π，投影后所有面的內角總和為 2（ V— r）π＋ 2（ r－ 2）π =2(V－ 2) π。投影過程保持原多面體每一個面的內角和不變，因而總和不變，即∑ = 2（ V— 2）π。于是 2（ E－ F）π， V＋ F=E＋ 2。定理得證。 方法 評述 到現在為止我們僅僅求助于簡單的多邊形內角和的計算就證明了歐拉定理。證明方法從形式上看是構造性的。從這個意義上我們可以把歐拉定理看成三角形內角和定理的一個平 行推廣。但是從多面體到其中一個平面的投影方法具有獨特的啟示性。由于上面方法的啟發(fā)性，可以把問題導向一個全新的角度。歐拉定理實際上等價于下面的平面圖 問題。如果把平面圖中的每個因看作平面圖的一個面，那么有下面的 定理 ： 連通的平面圖 V— E＋ F＝ 1。上面這一想法最終將導致代數拓撲學中的單復形概念以及由此衍生出來的同調群理論。多面體的歐拉定理最終將推廣成為拓撲學中的極其重要的關于歐拉特征的 Euler－ Poincar233。定理。 9． 問：三角形邊長定理與勾股定理有什么關系？從這樣的關系中你了解到數學知識之間存在怎樣的密切關 系？ 我們首先不難證明下面的定理： 定理 設 ABC 三邊長 ab≥c，則 （ 1） b+ca（ 三角形兩邊之和大于第三邊 ） ； （ 2）存在實數 s1 使 sss cba ?? ； （ 3） ABC 是銳、直、鈍角三角形當且僅當 s s= s2（ 分別 ） 。 證明 （ 2）因為 b/a， c/a1，故指數函數 ss acab )(,)( 是減函數，而 ss acabsf )()(1)( ??? 是 增 函 數 。 0)1( ?f ， 但 當 s 2log,2logcaba時ss acab )(,)( 1/2， 0)( ?sf 。故存在實數 s1 使 sss cba ?? 。 10 （ 3）若 s2，則 )( 2222 acba s ??? = )()( 222 sss cbcba ???? = 0)()( 222222 ???? ???? ssss cacbab 故 0222 ??? acb ，于是 cosA0, A 是銳角。但 A 是 ABC 的最大角，因此 ABC是銳角三角形。同樣地若 s2，則 ABC 是鈍角三角形。而 s=2 時當然 ABC 是直角三角形。 從上面的定理容易發(fā)現三角形邊長定理與勾股定理之間的密切關系：由定理看到存在實數 s1 使 sss cba ?? 使得 ABC 是銳、直、鈍角三角形當且僅當 s s= s2（ 分別 ） 。這個定理將“三角形兩邊之和大于第三邊”、“勾股定理”及“銳、直、鈍角判定定理”統(tǒng)一起來。 由此可見表面上看起來難以聯(lián)系在一起的兩個數學問題之間居然存在如此密切