高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)讀復(fù)習(xí)思考題答案(編輯修改稿)
2025-02-07 02:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 rance 問題 ”，并通過數(shù)學(xué)家Pomerance 之口，導(dǎo)出了一個多少有些使人感到意外的數(shù)學(xué)結(jié)果（定理）。我們認為， 這樣的結(jié)果對學(xué)生的啟發(fā)性遠遠勝過案例 4 中所列的一串“數(shù)字運算等式”。自主探究應(yīng)當(dāng)采用生動活潑、真正發(fā)人深思的形式，教師與教材編寫者應(yīng)該不斷研究、不斷改進教學(xué)的思想方法，創(chuàng)建富有個性特點的“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)方法。 7． 以實際的教學(xué)案例分析說明高中數(shù)學(xué)新課程的教學(xué)觀。 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》要求：一方面保持我國重視基礎(chǔ)知識教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)。另一方面，隨著時代的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用、計算機技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)課程設(shè)置和實施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識、基本技能和能力的內(nèi)涵，形成符合 時代要求的新的“雙基”。例如，高中數(shù)學(xué)課程增加“算法”內(nèi)容，把最基本的數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計知識等作為新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能。同時，應(yīng)刪減煩瑣的計算、人為的技巧化難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容，克服“雙基”異化的傾向。 強調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，注意適度形式化。數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，需要學(xué)習(xí)嚴格的、形式化的邏輯推理方式。但是數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅限于形式化數(shù)學(xué)，學(xué)生還必須接觸到生動活潑、靈活多變的數(shù)學(xué)思維過程。要讓學(xué)生追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，體念數(shù)學(xué)的形成過程和數(shù)學(xué)中的思想方法。教師應(yīng)該把高度嚴格的學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生樂于思考的、興 趣盎然的教學(xué)形態(tài)。 《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》要求：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立 8 在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)該激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。” 結(jié)合自己所熟悉的實際的教學(xué)案例對新課標(biāo)的上述教學(xué)理念和要求加以分析。 8． 你能否發(fā)現(xiàn) 歐拉多面體定理 是 三角形內(nèi)角和定理的自然推廣，詳細說 明這樣的推廣方法，并由此了解初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間并不存在絕對的界限。 歐拉多面體定理 V+F=E+2. 多面體的歐拉（ Euler）定理是一個很好的實例。歐拉定理斷言，簡單（單連通）多面體的頂點數(shù) V、邊數(shù) E與面數(shù) F 滿足關(guān)系 V＋ F=E＋ 2。 這個在中學(xué)立體幾何中顯得有些獨特的定理最初是出于什么考慮而獲得的呢？平面幾何中“三角形內(nèi)角和為知”這個定理給我們留下的強烈印象是：它不依賴于三角形的量度性質(zhì)（形狀和大小），可以把它看成三角形的一個特征性質(zhì)。與此相關(guān)的是凸 n邊形的內(nèi)角和：只與邊數(shù)有關(guān)。由此產(chǎn)生的一個自然類比的 問題是：多面體平面角的和是否也具有這種美妙的性質(zhì)呢？答案是肯定的。解法如下：采用兩種不同方法計算（單連通）多面體的平面角總和。 方法 1（立體法）：設(shè)想把多面體壓縮（投影）到它自身的一個面上，這種壓縮可以改變多面體各條邊的長度，但不改變多邊體每個面的邊數(shù)。 單連通多面體平面角的立體算法 設(shè)已知多面體的 F 個面分別是邊數(shù)為 S1， S2，?， SF 的多邊形，于是多面體平面角的和∑ =(S1－ 2)π＋ (S2－ 2)π＋?＋ (SF－ 2)π =( S1＋ S2＋?＋ SF) π 9 － 2π F=2π E－ 2π F=2（ R－ F） π。 方法 2（平面法）：假定底面是一個 r 邊形，則多面體投影在底面內(nèi)部的 V－ r 個頂點的平面角的和為 2（ V－ r）π。底面多邊形內(nèi)角和是（ r－ 2）π，投影后所有面的內(nèi)角總和為 2（ V— r）π＋ 2（ r－ 2）π =2(V－ 2) π。投影過程保持原多面體每一個面的內(nèi)角和不變，因而總和不變，即∑ = 2（ V— 2）π。于是 2（ E－ F）π， V＋ F=E＋ 2。定理得證。 方法 評述 到現(xiàn)在為止我們僅僅求助于簡單的多邊形內(nèi)角和的計算就證明了歐拉定理。證明方法從形式上看是構(gòu)造性的。從這個意義上我們可以把歐拉定理看成三角形內(nèi)角和定理的一個平 行推廣。但是從多面體到其中一個平面的投影方法具有獨特的啟示性。由于上面方法的啟發(fā)性，可以把問題導(dǎo)向一個全新的角度。歐拉定理實際上等價于下面的平面圖 問題。如果把平面圖中的每個因看作平面圖的一個面，那么有下面的 定理 ： 連通的平面圖 V— E＋ F＝ 1。上面這一想法最終將導(dǎo)致代數(shù)拓撲學(xué)中的單復(fù)形概念以及由此衍生出來的同調(diào)群理論。多面體的歐拉定理最終將推廣成為拓撲學(xué)中的極其重要的關(guān)于歐拉特征的 Euler－ Poincar233。定理。 9． 問：三角形邊長定理與勾股定理有什么關(guān)系？從這樣的關(guān)系中你了解到數(shù)學(xué)知識之間存在怎樣的密切關(guān) 系？ 我們首先不難證明下面的定理： 定理 設(shè) ABC 三邊長 ab≥c，則 （ 1） b+ca（ 三角形兩邊之和大于第三邊 ） ； （ 2）存在實數(shù) s1 使 sss cba ?? ； （ 3） ABC 是銳、直、鈍角三角形當(dāng)且僅當(dāng) s s= s2（ 分別 ） 。 證明 （ 2）因為 b/a， c/a1，故指數(shù)函數(shù) ss acab )(,)( 是減函數(shù)，而 ss acabsf )()(1)( ??? 是 增 函 數(shù) 。 0)1( ?f ， 但 當(dāng) s 2log,2logcaba時ss acab )(,)( 1/2， 0)( ?sf 。故存在實數(shù) s1 使 sss cba ?? 。 10 （ 3）若 s2，則 )( 2222 acba s ??? = )()( 222 sss cbcba ???? = 0)()( 222222 ???? ???? ssss cacbab 故 0222 ??? acb ，于是 cosA0, A 是銳角。但 A 是 ABC 的最大角，因此 ABC是銳角三角形。同樣地若 s2，則 ABC 是鈍角三角形。而 s=2 時當(dāng)然 ABC 是直角三角形。 從上面的定理容易發(fā)現(xiàn)三角形邊長定理與勾股定理之間的密切關(guān)系：由定理看到存在實數(shù) s1 使 sss cba ?? 使得 ABC 是銳、直、鈍角三角形當(dāng)且僅當(dāng) s s= s2（ 分別 ） 。這個定理將“三角形兩邊之和大于第三邊”、“勾股定理”及“銳、直、鈍角判定定理”統(tǒng)一起來。 由此可見表面上看起來難以聯(lián)系在一起的兩個數(shù)學(xué)問題之間居然存在如此密切
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