【文章內容簡介】 （ 2）求 △ ABC 外接圓的半徑及外心的坐標； （ 3）若點 P 是第一象限內拋物線上一動點，求四邊形 ACPB 的面積最大值． 變式練習： 如圖，已知拋物線 y=a（ x﹣ 2） 2+1 與 x 軸從左到右依次交于 A、 B 兩點，與 y軸交于點 C，點 B 的坐標為（ 3， 0），連接 AC、 BC． （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）若 P 為拋物線的對稱軸上的一個動點，連接 PA、 PB、 PC，設點 P 的縱坐標表示為 m． 試探究 ： ①當 m 為何值時， |PA﹣ PC|的值最大？并求出這個最大值． ②在 P 點的運動過程中， ∠ APB 能否與 ∠ ACB 相等？若能，請求出 P 點的坐標；若不能，請說明理由． 19 中考題訓練： （ 2022?黔南州）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（ 4，﹣ 1）的拋物線交 y軸于 A 點，交 x 軸于 B， C 兩點（點 B 在點 C 的左側），已知 A 點坐標為（ 0， 3）． （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）過點 B 作線段 AB 的垂線交拋物線于點 D，如果以點 C 為圓心的圓與直線 BD 相切，請判斷拋物線的對稱軸 l 與 ⊙ C 有怎樣的位置關系，并給出證明； （ 3）已知點 P 是拋物線上的一個動點，且位于 A， C 兩點之間，問：當點 P 運動到什么位置時， △ PAC 的面積最大？并求出此時 P 點的坐標和 △ PAC 的最大面積． 蘇州中考題：（ 2022 年● 27 題） 如圖，已知二次函數 ? ?2 1y x m x m? ? ? ?（其中 0＜ m＜ 1）的圖像與 x 軸交于 A、 B 兩點 （點 A 在點 B 的左側） ，與 y 軸交于點 C，對稱軸為直線 l． 設P 為 對稱軸 l 上的點，連接 PA、 PC， PA =PC． （ 1） ∠ ABC 的度數為 ▲ 176。； （ 2）求 P 點坐標（用含 m 的代數式表示）； （ 3） 在坐標軸上是否存在點 Q（與原點 O 不重合），使得以 Q、 B、 C 為頂點的三角形與 △ PAC相似，且線段 PQ 的長度最小 ？如果存在，求出所有滿足條件的點 Q 的坐標；如果不存在，請說明理由． 20 十、其它（如新定義型題、面積問題等）： 例 10. 定義：若拋物線的頂點與 x 軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為： “美麗拋物線 ”．如圖，直線 l： y= x+b 經過點 M（ 0， ），一組拋物線的頂點 B1（ 1， y1）， B2（ 2， y2）， B3（ 3， y3）， …Bn（ n， yn） （ n 為正整數），依次是直線 l 上的點，這組拋物線與 x 軸正半軸的交點依次是： A1（ x1， 0）， A2（ x2， 0）， A3（ x3， 0）， …An+1（ xn+1，0）（ n 為正整數）．若 x1=d（ 0＜ d＜ 1），當 d 為（ ）時，這組拋物線中存在美麗拋物線． A． 或 B． 或 C． 或 D． 變式練習： ，拋物線 y=x2+2x﹣ 3 與 x 軸交于 A、 B 兩點，（點 A 在點 B 左側）．與y 軸交于點 C，頂點為 D，直線 CD 與 x 軸交于點 E． （ 1）請你畫出此拋物線，并求 A、 B、 C、 D 四點的坐標； （ 2）將直線 CD 向左平移兩個單位，與拋物線交于點 F（不與 A、 B 兩點重合），請你求出F 點坐標； （ 3）在點 B、點 F 之間的拋物線上有一點 P，使 △ PBF 的面積最大，求此時 P 點坐標及 △ PBF的最大面積； （ 4）若平行于 x 軸的直線與拋物線交于 G、 H 兩點，以 GH 為直徑的圓與 x 軸相切，求該圓半徑． （第 1 題） （第 2題） 2. 練習： （ 2022 河池）我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數的圓稱為 “ 整圓 ” ．如圖，直線 l： 43y kx?? 與 x 軸、 y 軸分別交于 A、 B， ∠ OAB=30176。 ，點 P 在 x 軸上， ⊙ P與 l 相切，當 P 在線段 OA 上運動時，使得 ⊙ P 成為整圓的點 P 個數是（ ） A． 6 B． 8 C． 10 D． 12。 21 蘇州中考題：（ 2022 年● 26 題） 如圖，已知 AD 是 △ ABC 的角平分線， ⊙ O 經過 A、 B、 D三點，過點 B 作 BE∥ AD，交 ⊙ O 于點 E，連接 ED． （ 1）求證： ED∥ AC；（ 2）若 BD=2CD，設 △ EBD 的面積為 1S ， △ ADC 的面積為 2S ，且21216 4 0SS? ? ?，求 △ ABC 的面積． 模擬試題： 如圖 所示 ，在平面直角坐標系中， ⊙ M 過點 O 且與 y 軸、 x 軸分別交于 A、 B兩點，拋物線 y=x2+bx+c 經過 A、 B 兩點，點 C 與點 M 關于 x 軸對稱，已知點 M 的坐標為（ 2，﹣ 2）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）判斷直線 OC 與 ⊙ M 的位置關系，并證明； （ 3）若點 P 是拋物線上的動點，點 Q 是直線 OC 上的動點，判斷是否存在以點 P、 Q、 A、O 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出相應的 Q 點的坐標；若不存在，請說明理由． 22 參考答案： 例 1． 【考點】二次函數綜合題．【分析】（ 1）根據 x 等于零時，可得 C 點坐標，根據 y 等于零時，可得 A、 B 的坐標，根據待定系數法，可得直線 BC 的斜率，根據平行線的斜率相等，可得平行 BC 的直線的斜率，根據直線與拋物線有一個交點，可得直線與拋物線聯立所得的一元二次方程有一對相等的實數根，可得判別式等于零；（ 2）根據待定系數法，可得直線AD 的解析式，根據 E 點在線段 AB 上，可設出 E 點坐標，根據 EF∥ y 軸， F 在拋物線上，可得 F 點的坐標，根據兩點間的距離，可得二次函數，根據二次函數性質，可得答案． 【解答】解：（ 1）當 y=0 時， x2﹣ 2x﹣ 3=0，解得 x1=﹣ 1， x2=3，即 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）． 當 x=0 時， y=﹣ 3，即 C（ 0，﹣ 3）．設直線 BC 的解析式為 y=kx+b，直線 BC 經過點 B，點C，得 ： ，解得 ，設平行于 BC 且與拋物線只有一個交點的直線解析式為y=x+b，由題意，得 ： ， ②﹣ ①，得 ： x2﹣ 3x﹣ 3﹣ b=0，只有一個交點，得 ： △=（﹣ 3） 2﹣ 4（﹣ b﹣ 3） =0，解得 b=﹣ ，與直線 BC 平行且與拋物線只有一個交點的直線解析式 y=x﹣ ； （ 2） y=x2﹣ 2x﹣ 3，當 x=﹣ =﹣ =1 時， y= ==﹣ 4， 即 D（ 1，﹣ 4），設直線 AD 的解析式是 y=kx+b， AD 的圖象過點 A、 D，得 ， 解得 ，直線 AD 的解析式是 y=﹣ 2x﹣ 2，線段 AD 上有一動點 E，過 E 作平行于 y軸的直線交拋物線于 F，設 E 點坐標是（ x，﹣ 2x﹣ 2）， F 點坐標是（ x， x2﹣ 2x﹣ 3），﹣ 1≤x≤1， EF 的長是： y=（﹣ 2x﹣ 2）﹣（ x2﹣ 2x﹣ 3） =﹣ x2+1。 當 x=0 時， EF 最大 =1，即點 E 的坐標是（ 0，﹣ 2），當線段 EF 取得最大值時，點 E 的坐標是（ 0，﹣ 2）． 【點評】本題考查了二次函數的綜合題，利用了直線與拋物線相切，利用了一元二次方程的判別式，兩點間的距離公式，二次函數的性質，綜合性較強． 變式練習： 【考點】二次函數綜合題 。 【專題】壓軸題． 【分析】（ 1）將 A 的坐標代入拋物線 y=a（ x﹣ 1） 2+3 （ a≠0）可得 a 的值，即可得到拋物線的解析式；（ 2）易得 D 的坐標，過 D 作 DN⊥ OB 于 N；進而可得 DN、 AN、 AD 的長，根據平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質，用 t 將其中的關系表示出來，并求解可得答案；（ 3）根據（ 2）的結論，易得 △OCB 是等邊三角形，可得 BQ、 PE 關于 t 的關系式，將四邊形的面積用 t 表示出來，進而分析可得最小值及此時 t 的值，進而可求得 PQ 的長．（ 4）分別利用當 △AOD∽△ OQP 與當 △AOD∽△ OPQ，得出對應邊比值相等，進而求出即可． 【解答】解：（ 1） ∵ 拋物線 y=a（ x﹣ 1） 2+3 （ a≠0）經過點 A（﹣ 2， 0）， ∴ 0=9a+3 ， ∴ a=﹣ ， ∴ y=﹣ （ x﹣ 1） 2+3 ； （ 2）） ①∵ D 為拋物線的頂點， ∴ D（ 1， 3 ），過 D 作 DN⊥ OB 于 N，則 DN=3 ，AN=3， 23 ∴ AD= =6， ∴∠ DAO=60176。． ∵ OM∥ AD， ①當 AD=OP 時，四邊形 DAOP 是平行四邊形， ∴ OP=6， ∴ t=6． ②當 DP⊥ OM 時，四邊形 DAOP 是直角梯形，過 O 作 OH⊥ AD 于 H， AO=2，則 AH=1（如果沒求出 ∠ DAO=60176。可由 Rt△OHA∽ Rt△DNA（求 AH=1） ∴ OP=DH=5， t=5， ③當 PD=OA 時，四邊形 DAOP 是等腰梯形，易證： △AOH≌△ CDP， ∴ AH=CP， ∴ OP=AD﹣ 2AH=6﹣ 2=4， ∴ t=4． 綜上所述：當 t= 4 時，對應四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形； （ 3） ∵ D 為拋物線的頂點坐標為： D（ 1， 3 ），過 D 作 DN⊥ OB 于 N，則 DN=3 ，AN=3， ∴ AD= =6， ∴∠ DAO=60176。， ∴∠ COB=60176。， OC=OB， △OCB 是等邊三角形．則 OB=OC=AD=6， OP=t， BQ=2t， ∴ OQ=6﹣ 2t（ 0＜ t＜ 3） 過 P 作 PE⊥ OQ 于 E，則 ， ∴ SBCPQ= 63 ﹣ （ 6﹣ 2t） t， =，當 時， SBCPQ 的面積最小值為 ， （ 4）當 △AOD∽△ OQP，則 = ， ∵ AO=2， AD=6， QO=6﹣ 2t， OP=t， ∴ = ， 解得： t= ，當 △AOD∽△ OPQ，則 = ，即 = ，解得： t= ， 故 t= 或 時以 O， P， Q 為頂點的三角形與 △OAD 相似． 【點評】本題考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質、平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的判定等知識，將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題是考查重點． 蘇州中考題： 解：（ 1）如圖 ① ，點 P 從 A→ B→ C→ D，全程共移動了 a+2bcm（用含 a、 b的代數式表示）； （ 2） ∵ 圓心 O 移動的距離為 2（ a﹣ 4） cm，由題意，得 ： a+2b=2（ a﹣ 4） ① ， ∵ 點 P 移動 2 秒到達 B，即點 P2s 移動了 bcm，點 P 繼續(xù)移動 3s 到達 BC 的中點， 即點 P3 秒移動了 acm． ∴ = ② 由 ①② 解得 ， ∵ 點 P 移動的速度為與 ⊙ O 移動速度相同， ∴⊙ O 移動的速度為 = =4cm（ cm/s）． 24 這 5 秒時間內 ⊙ O 移動的距離為 54=20（ cm）； （ 3）存在這種情況， 設點 P 移動速度為 v1cm/s， ⊙ O2 移動的速度為 v2cm/s，由題意，得 = = = ， 如圖： 設直線 OO1 與 AB 交于 E 點，與 CD 交于 F 點， ⊙ O1 與 AD 相切于 G 點， 若 PD 與 ⊙ O1 相切，切點為 H，則 O1G=O1H． 易得 △DO1G≌△ DO1H， ∴∠ ADB=∠ BDP． ∵ BC∥ AD， ∴∠ ADB=∠ CBD， ∴∠ BDP=∠ CBD， ∴ BP=DP． 設 BP=xcm，則 DP=xcm， PC=（ 20﹣ x） cm，在 Rt△PCD 中，由勾股定理，得 PC2+CD2=PD2，即（ 20﹣ x） 2+102=x2，解得 x=，此時點 P 移動的距離為 10+ = （ cm）， ∵ EF∥ AD， ∴△ BEO1∽△ BAD， ∴ = ，即 = ， EO1=16cm， OO1=14cm． ① 當 ⊙ O 首次到達 ⊙ O1 的位置時， ⊙ O 移動的距離為 14cm， 此時點 P 與 ⊙ O 移動的速度比為 = ， ∵ ≠ ， ∴ 此時 PD 與 ⊙ O1 不能相切； ② 當 ⊙ O 在返回途中到達 ⊙ O1 位置時， ⊙ O 移動的距離為 2（ 20﹣ 4）﹣ 14=18cm， ∴ 此時點 P 與 ⊙ O 移動的速度比為 = = ，此時 PD 與 ⊙ O1 恰好相切． 點評： 本題考查了圓的綜合題，（ 1）利用了有理數的加法，（ 2）利用了 P 與 ⊙ O 的路程相等，速度相等得出方程組是解題關鍵，再利用路程與時間的關系，得出速度，最后利用速度乘以時間得出結果；（ 3）利用了相等時間內速度的比等于路程的比，相似三角形的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，利用相等時間內速度的比等于路程的比是解題關鍵． 例