【文章內容簡介】 將所給條件進行轉化，這種數(shù)學思想叫轉化思想，在解題中經常用到． 典型例題精析 例 1． （ 2022，上海）如圖，直線 y=12 x+2分別交 x， y軸于點 A、 C、 P 是該直線上在第一象限內的一點， PB⊥ x軸， B為垂 足， S△ ABP=9． （ 1）求 P點坐標； （ 2）設點 R與點 P在同一反比例函數(shù)的圖象上，且點 R在直線 PB右側．作 RT⊥ x軸， T 為垂足，當△ BRT與△ AOC相似時，求點 R的坐標． 分析：（ 1）求 P 點坐標，進而轉化為求 PB、 OB 的長度， P（ m， n） 再轉為方程或方程組解，因此是求未知數(shù) m， n值． ∵ S△ ABP=9，∴涉及 AO長，應先求 AO長，由于 A是直線 y=12 x+2與 x軸的交點，∴令 y=0，得 0=12 x+2， ∴ x=4， ∴ AO=4． ∴ (4 )2mn? =9?① 又∵點 P（ m， n）在直線 y=12 x+2上， ∴ n=12 m+2?② 聯(lián)解①、② 得 m=2， n=3， ∴ P（ 2， 3）． （ 2）令 x=0，代入 y=12 x+2中有 y=2， ∴ OC=2，∴△ AOC∽△ BRT， 設 BT=a， RT=b． 分類討論： 15 Byxww sx .co O ①當 24 ba? ?① 又由 P點求出可確定反比例函數(shù) y=6x 又∵ R（ m+a， b）在反比例函數(shù) y=6x 上 ∴ b= 6ma? ??② 聯(lián)解①、②可求 a， b值，進而求到 R點坐 標． ②當 24 ab? 時，方法類同于上． 例 2．（ 2022，南京）已知：拋物線 y1=a（ xt1） 2+t2（ a， t是常數(shù)， a≠ 0， t≠ 0） 的頂點是 A，拋物線 y2=x22x+1的頂點是 B． （ 1）判斷點 A是否在拋物線 y2=x22x+1上，為什么？ （ 2）如果拋物線 y1=a（ xt1） 2+t2 經過點 B， ①求 a 的值；②這條拋物線與 x 軸的兩個交點和它的頂點 A 能否構成直角三角形？ 若能，求出 t的值；若不能，請說明理由． 分析 ：（ 1）∵ y1的頂點為（ t+1， t2），代入 y2 檢驗 x22x+1=（ t+1） 22（ t+1） +1=t2+2t+12t2+1=t2， ∴點 A在 y2=x22x+1的拋物線上． （ 2）①由 y2=x22x+1=（ x1） 2+0， ∴ y2 頂點 B（ 1， 0），因為 y1過 B點， ∴ 0=a（ 1t1） 2+t 2? at2+t2=0． ∵ t≠ 0，∴ t2≠ 0， ∴ a=1． ①當 a=1時， y=（ xt1） 2+t2， 它與 x軸的兩個交點縱坐標為零，即 y1=0，有 0=（ xt1） 2+t2? xt1=177。 t ∴ x1=t+t+1=2t+1， x2=t+t+1=1． 情況一：兩交點為 E（ 2t+1， 0）， F（ 1， 0）． 而 A（ t+1， t2）由對稱性有 AF=AE（如圖） ∴只能是∠ FAE=90176。 ， AF2=AD2+DF2． 而 FD=ODOF=t+11=t， AD=t2， ∴ AF2=t2+t2=AE2， FE=OEOF=2t+11=2t． 令 EF2=AF2+AE2，則有（ 2t） 2=2（ t2+t2）， 4t2=2t4+2t2， ∵ t≠ 0， ∴ t21=0， ∴ t=177。 1． 16 情況二： E（ 1， 0）， F（ 2t+1， 0） 用分析法若△ FAE為直角三角形，由拋物線對稱性有 AF=AE即△ AFE為等腰直角三角形． 且 D為 FE中點，∵ A（ t+1， t2）， ∴ AD=t2， OD=t+1， ∴ AD=DE，∴ t2=OEOD=1（ t+1）， t2=t， ∴ t1=0（不合題意，舍去）， t2=1． 故這條拋物線與 x軸兩交點和它們的頂點 A能夠成直角三角形，這時 t=177。 1． 中考樣題看臺 1．（ 2022，海南）已知拋物線 y=ax2+bx+c開口向下，并且經過 A（ 0， 1）和 M（ 2， 3）兩點． （ 1）若拋物線的對稱軸為 x=1，求此拋物線的解析式； （ 2）如果拋物線的對稱軸在 y軸的左側，試求 a的取值范圍； （ 3）如果拋物線與 x軸交于 B、 C兩點，且∠ BAC=90176。，求此時 a的值． 2．（ 2022， 南寧）如圖，已知 E是△ ABC的內心，∠ A的平分線交 BC于點 F， 且與△ ABC的外接圓相交于點 D． （ 1）求證：∠ DBE=∠ DEB； （ 2）若 AD=8cm， DF： FA=1： 3，求 DE 的長． 3．（ 2022，山東）如圖是由五個邊長都是 1 的正方形紙片拼接而成的，過 點 A1 的直線分別與 BC BE交于 M、 N，且被直線 MN分成面積相等的上、下兩部分． （ 1）求 1MB + 1NB 的值； （ 2）求 MB、 NB的 長； （ 3）將圖沿虛線折成一個無蓋的正方形紙盒后，求點 MN間的距離． 17 D 2C 2B 1A 1D 1 C 1BC AE Dww w . cz sx . co m . NMF 4．（ 2022，云南）如圖， MN 表示某引水工程的一段設計路線，從 M 到 N 的走向為南偏東 30176。，在 M的南偏東 60176。方向上有一點 A，以 A為圓心， 500 米為半徑的圓形區(qū)域為居民區(qū)，取 MN上另一點 B，測得 BA的方向為南偏東 75176。，已知 MB=400米，通過計算，如果不改變方向，輸水線路是否會穿過居民區(qū)？ 東北ABNM 5．（ 2022，麗水市）如圖，在平面直角坐標系中，已知 OA=12 厘米， OB=6厘米，點 P 從點 O 開始沿 OA邊向點 A以 1厘米 /秒的速度 移動；點 Q從點 B開始沿 BO 邊向點 O以 1厘米 /秒的速度移動，如果 P、 Q同時出發(fā)，用 t（秒）表示移動的時間（ 0≤ t≤ 6），那么 （ 1）設△ POQ的面積為 y，求 y關于 t的函數(shù)解析式； （ 2）當△ POQ 的面積最大時，將△ POQ 沿直線 PQ 翻折后得到△ PCQ，試判斷點 C 是否落在直線 AB上，并說明理由； （ 3）當 t為何值時，△ POQ與△ AOB相似． BAyxQww w . cz sx . co m . PO 考前熱身訓練 1．已知拋物線 y=（ x2） 2m2（常數(shù) m0）的頂點為 P． （ 1）寫出拋物線的開口方向和 P點的坐標； （ 2）若此拋物線 與 x軸的兩個交點從左到右分別為 A、 B，并且∠ APB=90176。，試求△ ABP的周長． 18 2．已知 m， n是關于 x方程 x2+（ 2+ 3 ） x+2t=0的兩個根，且 m2+mn=4+2 3 ，過點 Q（ m， n）的直線L1 與直線 L2 交 于點 A（ 0， t），直線 L1， L2分別與 x 軸的負半軸交于點 B、 C，如圖，△ ABC 為等腰三角形． （ 1）求 m， n， t的值； （ 2）求直線 L1， L2 的解析式； （ 3）若 P為 L2 上一點 ，且△ ABO∽△ ABP，求 P點坐標． l 2Al 1BCyxQO 3．如圖，正方形 ABCD 中， AB=1， BC 為⊙ O 的直徑，設 AD 邊上有一動點 P（不運動至 A、 D）， BP交⊙ O于點 F， CF 的延長線交 AB 于點 E，連結 PE． （ 1）設 BP=x， CF=y，求 y與 x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量 x的取值范圍； （ 2）當 CF=2EF時，求 BP的長； （ 3）是否存在點 P，使△ AEP∽△ BEC（其對應關系只能是 A? B， E? E， P? C）？如果存在， 試求出 AP的長；如果不存在，請說明理由． B CAEDPOF 答案 : 中考樣題看臺 1．（ 1）拋物線解析式是 y=12 x2x+1 （ 2）由題意得： 14 2 3c a b c??? ? ? ? ?? 消去 c，得 b=2a2， 19 又∵拋物線開口向下，對稱軸在 y軸左側， ∴ 002aba???????? ∴ b0，∴ b=2a20，解得 a1， ∴ a的取值范圍是 1a0 （ 3）由拋物線開口向下，且經過點 A（ 0， 1）知： 它與 x軸的兩個交點 B、 C分別在原點的兩旁， 此時 B、 C兩點的橫坐標異號 OA=c=1， 又∠ BAC=90176。，∴點 A必在以 BC 為直徑的圓上； 又∵ OA⊥ BC 于 O，∴ OA2=OB178。 OC， 又∵ b=2a2， c=1， ∴拋物線方程變?yōu)椋?y=ax22（ a+1） x+1， 設此拋物線與 x軸的兩個交點分別為 B（ x1， 0）， C（ x2， 0）， 則 x x2是方程 ax22（ a+1） x+1=0的兩根， ∴ x1178。 x2=1a ，∴ OB178。 OC=│ x1│178。│ x2│ =│ x1x2│ =x1x2，（∵ x1178。 x20）， ∴ OB178。 OC=1a ， 又∵ OA2=OB178。 OD， OA=1， ∴ 1=1a ，解得 a=1， 經檢驗知：當 a=1時，所確定的拋物線符合題意，故 a的值為 1． 2．（ 1）證明，由已知∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4， ∵∠ BED=∠ 3+∠ 1，∠ 5=∠ 2，∴∠ 4+∠ 5=∠ 3+∠ 1，即∠ EBD=∠ BED． （ 2）△ BFD∽△ ABD，∴ BD2=AD178。 FD． ∵ DF： FA=1： 3， AD=8，∴ DF： AD=1： 4， ∴ 184DF? ， DF=2cm，∴ BD2=16，∴ DE=BD=4cm． 3．（ 1）∵1 1 1NB MBAB MB? ，即 11NB MBMB? ? ， 得 MB+NB=MB178。 NB，兩邊同除以 MB178。 NB 得 1MB + 1NB =1． （ 2） 12 MB178。 NB=52 ，即 MB178。 NB=5， 又由（ 1）可知 MB+NB=MB178。 NB=5， ∴ MB、 NB 分別是方程 x25x+5=0的兩個實數(shù)根， x1=552? ， x2=552? ， ∵ MBNB，∴ MB=552? ， NB=552? ． 20 BCAyxPO（ 3） B1M=3 52 ， EN=3 52 ，∴ MN=1． 4．解：過 A 作 AC⊥ MN于 C，設 AC長為 x米，由題意可知，∠ AMC=30176。，∠ ABC=45176。， ∴ MC=AC178。 cot30176。 =3x， BC=AC=x， ∵ MCBC=MB=400， 3 xx=400．解得 x=200（ 3+1）（米）． ∴ x500，∴不改變方向，輸水線路不會穿過居民區(qū)． 5．解：（ 1）∵ OA=12， OB=6，由題意，得 BQ=1179。 t=t， OP=1179。 t=t． ∴ OQ=6t，∴ y=12 179。 OP179。 OQ=12 179。 t（ 6t） =12 t2+3t（ 0≤ t≤ 6） （ 2）∵ y=12 t2+3t，∴當 y有最大值時， t=3， ∴ OQ=3， OP=3，即△ POQ是等腰三角形． 把△ POQ沿 PQ翻折后，可得四邊形 OPCQ是正方形， ∴點 C的坐標是（ 3， 3），∵ A（ 12， 0）， B（ 0， 6）， ∴直線 AB的解析式為 y=12 x+6， 當 x=3時， y=92 ≠ 3， ∴點 C不落在直線 AB 上． （ 3）△ POQ∽△ AOB時， ①若 OQ OPOB OA? ，即 66 12tt? ? ， 122t=t， ∴ t=4．②若 OQ OPOA OB? ，即 612 6tt? ? ， 6t=2t，∴ t=2， ∴當 t=4或 t=2時，△ POQ與△ AOB相似． 考前熱身訓練 1．（ 1）開口向上， P（ 2， m2）． （ 2）設對稱軸與 x軸交于點 C，令（ x2） 2m2=0，得 x1=m+2，