【文章內容簡介】 ∴四邊形 AEFD 是矩形 。 ：如圖五，在等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC， AB＝ DC， 點 E 為邊 BC 上一點，且 AE＝ DC． （ 1）求證：四邊形 AECD 是平行四邊形； （ 2）當∠ B＝ 2∠ DCA 時，求證：四邊形 AECD 是菱形 ． (2022 閘北區(qū) ) 證：（ 1）∵在等腰梯形 ABCD 中， AD∥ BC， AB＝ DC ∴∠ B＝∠ DCB???????????????????????????? 1 分 ∵ AE＝ DC， ∴ AE=AB ??????????????????????? ? 1 分 ∴∠ B=∠ AEB ???????????????????????????? 1 分 ∴∠ DCB =∠ AEB??????????????????????????? 1 分 ∴ AE∥ DC?????????????????????????????? 1 分 ∴四邊形 AECD 為平行四邊形 ????????????????????? 1 分 （ 2）∵ AE∥ DC，∴∠ EAC＝∠ DCA ?????????????????? 1 分 ∵∠ B＝ 2∠ DCA，∠ B＝∠ DCB ∴∠ DCB＝ 2∠ DC ????????????????????? ????? 1 分 ∴∠ ECA＝∠ DCA ?????????????????????????? 1 分 ∴∠ EAC＝∠ ECA ?????????????????????????? 1 分 ∴ AE＝ C E?????????????????????????????? 1 分 ∵四邊形 AECD 為平行四邊形 ∴四邊形 AECD 為菱形．???????????????????????? 1 分 ，在正方形 ABCD 中，點 E、 F 是對角線 BD 上，且 BE = EF = FD，聯(lián)結 AE、 AF、CE、 CF． 求證：（ 1） AF = CF； （ 2） 四邊形 AECF 菱形． (2022 閔行區(qū) ) (沒有評分標準 ) 三、函數中的圖形 1． 如圖， 二次函數圖像的頂點為坐標原點 O、且經過 點 A（ 3， 3） ，一次函數的圖像經過點A 和 點 B（ 6， 0）． （ 2022 靜安） （ 1）求 二次函數與一次函數的解析式； （ 2） 如果一次函數圖像與 y 相交于點 C，點 D 在線段 AC 上，與 y 軸平行的直線 DE 與二次函數圖像相交于點 E，∠ CDO=∠ OED， 求點 D 的坐標 ． ．解：（ 1）設二次函數解析式為 2axy? ， A B C D E （圖五） F （ 第 23 題圖） D C B A E AB O x y （第 24 題圖） C B DB EB y O N M P B A x y O x ∵點 A（ 3， 3）在二次函數圖像上，∴ a93? ，?????????（ 1 分） ∴31?a，∴二次函數解析式為 231xy?．??????????（ 1 分） 設一次函數解析式為 bkxy ?? ，∵ 一次函數的圖像經過點 A 和 點 B（ 6， 0） ∴??? ?? ?? ,60 ,33 bk bk????????????????????（ 1 分） ∴??? ???6,1bk???????????????????????（ 1 分） ∴ 一次函數解析式為 6??? xy ．???????????（ 1 分） （ 2）∵ DE//y 軸，∴∠ COD=∠ ODE， ∵∠ CDO=∠ OED，∴△ CDO∽△ OED．??（ 1 分） ∴ CODODODE? ，∴ CODEDO ??2 ．?????????????（ 1 分） 設點 D 的坐標為（ 6, ??mm ），∴點 E 的坐標為（ 231, mm ）????（ 1 分） ∴ 36122)6( 2222 ?????? mmmmOD ， 2316 mmDE ???? ．??（ 1 分） ∵點 C（ 0， 6），∴ CO=6．∴ )316(636122 22 mmmm ?????? ，???（ 1 分） ∴ 23,(0,064212 ????? m），mmm 舍去不符合題意．???????（ 1 分） ∴點 D 的坐標為 )29,23( ．???????????????????（ 1 分） 2 。 已知點 P 是函 數 xy 21? （ x0） 圖像上一點， PA⊥ x 軸于點 A，交函數 xy 1? （ x0）圖像于點 M, PB⊥ y 軸于點 B，交函數 xy 1? （ x0） 圖像于點 N.（點 M、 N 不重合） （ 2022 黃浦） （ 1）當點 P 的橫坐標為 2時，求△ PMN 的面積； （ 2）證明： MN‖ AB；（如圖 7） （ 3）試問：△ OMN 能否為直角三角形？若能，請求出此時點 P 的坐標；若不能，請說明理由 . 解：（ 1） ∵點 P 是函數 xy 21? （ x0） 圖像上一個點，當點 P 的橫坐標為 2， ∴點 P 為（ 2， 1） ， —————————————————————— （ 1 分） 由題意可得： M 為（ 2， 21 ）， N 為（ 1， 1） ， ——————————— （ 2 分） ∴ 4121121 ?????P M NS.——————————————————— （ 1 分） （ 2）令點 P 為 ? ?aa,2 ，（ a0） ——————————————— ———— （ 1 分） 則 ? ? ? ? ???????????? aaNaaMaBaA ,1,21,2,0,0,2， ∴211221,212 ??????aaaaPNPMaaPBPA ， ————————————— （ 1 分） 即 PNPMPBPA? ———————————————————————— （ 1 分） ∴ MN‖ AB.————————————————————————— （ 1 分） （ 3）由（ 2）得， 222222 4 14,1 aaOMaaON ????， 222224 5552112 aaaaaaMN ????????? ???????? ??， 易知 ??? 90MON . ∴當 ??? 90ONM 時， 有222222 4 55514 14 aaaaaa ??????， 解得 22,221 ?? aa(舍去 )，即點 P 為 ? ?2,22 .—————— （ 2 分） 同理當 ??? 90OMN 時，點 P 為 ???????? 42,22 .—————————— （ 2 分） 綜上所述，當點 P 為 ? ?2,22 與 ???????? 42,22 時，能使 △ OMN 為直角三角形 . 3． 已知：如圖，在平面直角坐標系中，點 B 在 x 軸上，以 3 為半徑的⊙ B 與 y 軸相切，直線 l 過點 ? ?2,0A? ,且和⊙ B 相切，與 y 軸相交于點 C． （ 2022 徐匯） （ 1）求直線 l 的解析式； （ 2）若拋物 線 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ?經過點 O 和Ｂ，頂點在⊙ B 上，求拋物線的解析式； (3) 若點 E 在直線 l 上，且以 A 為圓心， AE 為半徑的圓與⊙ B 相切，求點 E 的坐標． 1）過 B 作 BD 垂直 l 交于點 D， ∵⊙ B 與 l 相切， ∴ BD=3??????????????? 1 在 ADBRt? 中， AB=5， ? ? ? ? 435 22 ???AD ??? ??????????? 1 在 ACORt? 、 ADBRt? 中， ??CAOcot 34?? DBADCOAO ， ∵ AO=2，∴ CO=。 ???????????????????????? 1 設直線 l 的解析式為 ??kxy ， ? ?2,0A? 代入得 43?k ， ∴ ?? xy ?????????????????????????? 1 （ 2）過 OB 的中點 F 作 HF 垂直于 x 軸交⊙ B 于點 H，聯(lián)結 BH。 ∵在 HFBRt? 中， BH=3， BF=， ? ? ? ? 22 ???HF ????? 1 ∴ )323,23( ?H ???? ?????????????????????? 1 將 )0,0(O 、 )0,3(B )323,23( ?H 代入 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ? xxy 32332 2 ?? ??????????????????????? 2 （ 3）當兩圓外切時， AE=2， )56,52(?E ?????????????????? 2 當兩圓內切時， AE=8， )524,522(E ?????????????????? 2 4． 已知等腰 OAB? 在 平面 直角坐標系中 的位置如圖 9， 點 A 坐標為 (2 3,2) ，點 B 坐標為(4,0) ． （ 2022 虹口 ） （ 1） 若將 OAB? 沿 x 軸向 左 平移 m 個單位，此時點 A 恰好落在反比例函數 23y x??的圖像上，求 m 的值； （ 2）若 將 OAB? 繞點 O 順 時針旋轉 30? ，點 B恰好落在反比例函數 ky x? 的圖像上，求 k 的值； （ 3） 若 將 OAB? 繞點 O 順 時針旋轉 ? 度（ 0＜ ?＜ 180） 到 OAB??? 位置，當 點 A? 、 B? 恰好 同時落在lyxOCA B O B A y x 圖 9 （ 2） 中 所確定 的反比例函數的圖像上 時，請直接寫出經過點 A? 、 B? 且以 y 軸為對稱軸的拋物線解析式 ． 1)設點 A 平移后落在 反比例函數 23y x?? 圖像 上的點記為： 1( , )Aab , ∵ (2 3,2)A , ∴ b =2???????????????????????（ 1分） 代入 23y x?? ,求得 3a?? ???????????????????（ 2分） ∴ 2 3 ( 3 ) 3 3m ? ? ? ??????????????????????（ 2分） (2) 將 點 B 恰好落在反比例函數 ky x? 圖像上 的點記為 1B ， 可求得： 1B (2 3, 2)? ???????? ???????????????（ 2分 ） ∴ 2 3 ( 2) 4 3k ? ? ? ? ???????????????????????（ 2分 ） 5 。 如圖 8，已知點 A (2， 4) 和點 B (1， 0)都在拋物線 2 2y m x m x n? ? ?上． （ 1）求 m 、 n； （ 2）向右平移上述拋物 線，記平移后點 A 的對應點為 A′，點 B 的對應點為 B′，若 四邊形 A A′B′B 為菱形，求平移后拋物線的表達式； （ 3）記平移后拋物線的對稱 軸與直線 AB′ 的 交點為點 C，試在 x 軸上找點 D，使得以點 B′、 C、 D 為頂點的三角形與 ABC△ 相似． （ 2022 寶山） 解：（ 1）根據題意，得：??? ??? ??? 02 444 nmm nmm?????（ 2 分） 解得????????434nm ??????????????（ 2 分） （ 2） 四邊形 A A′B′B 為菱形，則 A A′=B′B= AB=5??（ 1 分） ∵ 43834 2 ???? xxy = ? ? 316434 2 ??? x ??????（ 1 分） ∴ 向右平移 5 個單位的拋物線解析式為 B A O 1 1 － 1 － 1 x y (圖 8) B A O 1 1 － 1 － 1 x y A′ B′ ? ? 316434 2, ???? xy ????（ 2 分） （ 3）設 D（ x， 0）根據題意，得： AB=5， 539。,10,53 ??? CBBCAC ∵ ∠ A=∠ B B′A ????（ 1 分） ⅰ ) △ ABC∽△ B′CD 時 ， ∠ ABC=∠ B′CD ∴ BD=6x 由 得x??6 5355 解得 x=3 ∴ D（ 3， 0） ⅱ）△ ABC∽ △ B′DC 時， CBACDBAB 39。39。 ? ∴5536 5 ??x 解得 313?x ∴ )0,313(D ?????