【文章內(nèi)容簡介】 . . . . . .1()32(1)18(53)32(1???????????? 當 n 為正奇數(shù)時， ,1)(95。35)(1 ???? nfnnf 為正偶數(shù)時，當 ∴ )(nf 的 最 大 值 為 35)1( ?f , )(nf 的 最 小 值 為95)2( ?f ,…………………………………… 3 分 于是，由（ 1）式得 ?a59 ??? )18(53 ? .1831853 ??????? abb ? 當 aba 3?? 時，由 18318 ????? ab ，不存在實數(shù)滿足題目要求； ………………… 1分 當 ab 3? 存在實數(shù) ? ，使得對任意正整數(shù) n ，都有 bSa n?? ,且 ? 的取值范圍是)183,18( ???? ab ………………………………………………………………… ..… 1 分 5 （上海市靜安區(qū) 2022 學年高三年級第一次質(zhì)量調(diào)研第 20 題） 已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列 *{ }( )na n N? 的公比為 ( 1)qq? ，有如下真命題：若122nnp? ? ，則 1212()n n pa a a? (其中 12n n p、 、 為正整數(shù) ). (1)若 12 122nn p? ??，試探究1212()nnaa 與 paq、 之間有何等量關系，并給予證明； (2)對 (1)中探究得出的結論進行推廣，寫出一個真命題，并給予證明 . 答案： (1)因為 12 122nn p? ??，所以 1221n n p? ? ? ，又 11 nna aq ?? 12121 1 1 1 122 2 ( 2 2 ) 1 12 2 2 2 21 1 1( ) ( ) ( ) ( )nn ppn n pa a a q a q a q q a q?? ? ? ?? ? ? ? 即121122()n n pa a a q? (2)以下列出推廣命題的評分 建議：命題證明部分的得分，不得超過推廣部分的得分 . 對于命題僅作形式上的變化 (或者不是對 (1)的推廣 )，不得分 . 如：若 122 1,n n p? ? ? 則121122()n n pa a a q? ； 第一層次： (僅對題目所列進行簡單總結或結構簡單變化 ) ┅┅ 1 分 如：①若 *12 ( , , 0 2 )22n n rp p N r N r? ? ? ? ? ? ?，則12122() rn n pa a a q? ； ②若 *12121 ()23nn p n n p N? ? ? ?、 、則 11 32()n n pa a a q? ； ③若 *12121 ()2nn p n n p s Ns? ? ? ?、 、 、則 112() sn n pa a a q? . 以下兩個層次，可以根據(jù)學生的實際答題情況再作劃分 . 第二層次： (對于確定項數(shù) (至少三項 )給出一般性結論或部分推廣常數(shù) 12 )┅┅ 3分 如 ： ① 若 *1 2 31 2 31 ()33n n n p n n n p N?? ? ? ?、 、 、則1 2 31133()n n n pa a a a q?； ②若 *1 2 31 2 3( , , 0 3 )33n n n rp n n n p N r N r?? ? ? ? ? ? ?、 、 、則1 2 3133() rn n n pa a a a q?； ③若 *1212(,2n n tp n n p N s ts? ? ? ?、 、 、互素 )，則1212() tsn n pa a a q? 第三層次： (進行一般化推廣 ) ┅┅ 5 分 若12, , , mn n na a a是公比為 q 的等比數(shù)列 {}na 的任意 m 項，則存在以下真命題： ①若 *12 ( , , 0 )mn n n rp m p N r N r mmm? ? ? ? ? ? ? ? ?、則有 1 2 31() rmmn n n pa a a a q?成立 . ②若 *12 (,mn n n tp m p N s tms? ? ? ? ? ?、 、互素 )，則有 1 2 31() tmsn n n pa a a a q?成立 . 6 （南匯區(qū) 2022 學年度 第一學期期末理科第 20 題） (本題滿分 18 分， 第 1 小題 4 分，第 2小題 6 分，第 3 小題 8 分 ) 已知，數(shù)列 ??na 有 paaa ?? 21 , （常數(shù) 0?p ），對任意的正整數(shù) nn aaaSn ???? ?21, ，并有 nS 滿足 2 )( 1aanS nn ??。 （ 1）求 a 的值； （ 2）試確定數(shù)列 ??na 是不是等差數(shù)列，若是，求出其通項公式。若不是，說明理由； （ 3）對于數(shù)列 ??nb ，假如存在一個常數(shù) b 使得對任意的正整數(shù) n 都有 bbn? 且 bbnn ???lim，則稱 b 為數(shù)列 ??nb 的 “ 上 漸 進 值 ”， 令2112???? ??nnnnn SSSSp ，求數(shù)列? ?nppp n 221 ???? ? 的“上漸進值”。 答案： 解：（ 1）由已知，得 aaaas ?????11 2 )(1， ∴ 0?a ?????????? 4分 （ 2）由 01?a 得 ,2nn naS ?則 2)1( 11 ?? ?? nn anS，∴ nnnn naanSS ???? ?? 11 )1()(2 ，即 nnn naana ??? ?? 11 )1(2 ，于是有 nn naan ?? ?1)1( ，并且有 12 )1( ?? ?? nn anna ， ∴ ,)1()1( 112 nnnn naananna ????? ??? 即 )()( 112 nnnn aaaan ??? ??? ， 而 n 是正整數(shù)，則對任意 Nn? 都有 nnnn aaaa ??? ??? 112 ， ∴數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列，其通項公式是 pnan )1( ?? 。?????? 10 分 （ 3）∵( 2 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) 2 222 2( 1 ) ( 2 ) ( 1 )22nnn n p n n pn n pSp n n p n n p nn? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ∴ npppp n 2321 ????? ? 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 21 3 2 4 2 nnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 221212 ?????? nn ；由 n 是正整數(shù)可得 3221 ????? nppp n? ， 并且有 3)2(lim21 ??????? nppp nn ?， ∴ 數(shù)列 ? ?nppp n 221 ???? ? 的“上漸進值”等于 3。???????? 18 分 7. （浦東新區(qū) 2022 學年度第一學期期末質(zhì) 量抽測卷數(shù)學理科第 21 題） （滿分 20 分） 本題共有 4小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 5 分，第 3 小題滿 分 5 分，第 4 小題滿分 6 分． 對于給定數(shù)列 {}nc ，如果存在實常數(shù) ,pq使得 1nnc pc q? ??對于任意 *nN? 都成立，我們稱數(shù)列 {}nc 是 “M 類數(shù)列 ”． （ 1） 若 nan 2? ， 32nnb ?? ， *nN? ，數(shù)列 {}na 、 {}nb 是否為 “M 類數(shù)列 ”？ 若是 ， 指出它對應的實常數(shù) ,pq ， 若不是 ， 請說明理由 ； （ 2） 證明：若數(shù)列 {}na 是 “M 類數(shù)列 ”，則數(shù)列 }{ 1?? nn aa 也是 “M 類數(shù)列 ”； （ 3） 若數(shù)列 {}na 滿足 1 2a? ， )(23 *1 Nntaa nnn ???? ? ， t 為常數(shù) ． 求 數(shù)列 {}na 前 2022項的和．并判斷 {}na 是 否為 “M 類數(shù)列 ”， 說明理由 ； （ 4） 根 據(jù)對（ 2）（ 3）問題的研究， 對數(shù)列 {}na 的相鄰兩項 na 、 1?na ， 提出一個條件 或 結論與 “M 類數(shù)列 ”概念相關 的 真命題，并探究 其 逆命題的真假． 答案： [解 ]（ 1） 因為 2,nan? 則有 1 2,nnaa? ?? *nN? 故數(shù)列 {}na 是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ， 對應的實常數(shù) 分別為 1,2 ． …………………………… 2 分 因為 32nnb ?? ， 則有 1 2nnbb? ? *nN? 故 數(shù)列 {}nb 是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ， 對應的實常數(shù) 分別為 2, 0 ． …………………………… 4 分 （ 2）證明：若數(shù) 列 {}na 是 “M 類數(shù)列 ”， 則 存在實常數(shù) ,pq， 使得 1nna pa q? ??對于任意 *nN? 都成立， 且有 21nna pa q????對于任意 *nN? 都成立 ， ………………………………………… 6 分 因此 ? ? ? ?1 2 1 2n n n na a p a a q? ? ?? ? ? ?對于任意 *nN? 都成立 ， 故 數(shù)列 ? ?1nnaa?? 也是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ． ………………………………………… 8 分 對應的實常數(shù) 分別為 ,2pq． …………………………………………………………… 9 分 （ 3） 因為 *1 3 2 ( )nnna a t n N?? ? ? ? 則有 22332a a t? ? ? ， 445 32a a t? ? ? ， 202220 06 20 07 32a a t? ? ?， 202220 08 20 09 32a a t? ? ? 故 數(shù)列 {}na 前 2022 項的和 2022S ? 1a + ? ?23aa? +? ?45aa??+? ?2022 2022aa? +? ?2022 2022aa? ? ?2 4 2 0 0 6 2 0 0 8 2 0 1 02 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 4t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?……………… 11 分 若數(shù)列 {}na 是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ， 則 存在實常數(shù) ,pq 使得 1nna pa q? ??對于任意 *nN? 都成立， 且有 21nna pa q????對于任意 *nN? 都成立 ， 因此 ? ? ? ?1 2 1 2n n n na a p a a q? ? ?? ? ? ?對于任意 *nN? 都成立 ， 而 *1 3 2 ( )nnna a t n N?? ? ? ?，且 *1 3 2 ( )nnna a t n N?? ? ? ? 則有 13 2 3 2 2nnt t p q?? ? ? ?對于任意 *nN? 都成立 ，可以得到 ( 2) 0, 0t p q? ? ?， （ 1） 當 2, 0pq??時， 1 2nnaa? ? ， 2nna? ， 1t? ，經(jīng)檢驗滿足條件。 （ 2）當 0 , 0tq?? 時， 1nnaa? ?? ， 12( 1)nna ??? ， 1p?? 經(jīng)檢驗滿足條件。 因此當且僅當 1t? 或 0t? ，時， 數(shù)列 ? ?na 也是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． 。 對應的實常數(shù) 分別為 2,0 , 或 1,0? ． ……………………………………………………………… 14 分 （ 4） 命題一： 若數(shù)列 {}na 是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ，則數(shù)列 ? ?1nnaa?? 也是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ． 逆命題 ： 若數(shù)列 ? ?1nnaa?? 是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ，則數(shù)列 {}na 也是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ． 當且僅當 數(shù)列 ? ?1nnaa?? 是常數(shù)列、等比數(shù)列時， 逆命題 是正確的． 命題二： 若數(shù)列 {}na 是 等比數(shù)列， 則數(shù)列 ? ?1nnaa?? 、 ? ?1nnaa?? 、 ? ?1nnaa?? 、1nnaa??????? 是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． 逆命題 ： 若數(shù)列 ? ?1nnaa?? 、 ? ?1nnaa?? 、 ? ?1nnaa?? 、1nnaa???????是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． 則數(shù)列 {}na 是 等比數(shù)列． 逆命題 是正確的． 命題三： 若數(shù)列 {}na 是 “． M． 類數(shù)列 ． ． ． ”． ， 則 有 1 nnna a k A B?? ? ? ?或 1nna a An B?? ? ?． 逆命題 ： 若 1 nnna a k A B?? ? ? ?或 1nna a An B?? ? ?， 則數(shù)列 {}na 是 “．