【文章內(nèi)容簡介】 擬 合 誤 差 。 總 體 最 小 二 乘 擬 合 就 是 使 各 個 已 知 數(shù) 據(jù) 點 到 直 線 方 程00( ) ( ) 0a x x b y y? ? ? ?的距離平方和最小化。 點 ( , )pq 到直線 0ax by c? ? ? 的距離 d 由 222 002 2 2 2[ ( ) ( ) ]() a p x b q ya p b q cd a b a b? ? ??????? 確定。于是，已知的 n 個數(shù)據(jù)點到直線 ( ) ( ) 0a x x b y y? ? ? ?的距離平方和為 2221 [ ( ) ( ) ]( , , , )n iiia x x b y yD a b x y ab?? ? ?? ?? D 可以 寫成 21? 單位向量 122 2( ) [ , ]Ta b a b???t 與 2n? 矩陣 M 的乘積，即 1122221( , , , )nnx x y yx x y y aD a b x ybabx x y y???????? ???? ??? ????????Mt (2) 其中， 1122nnx x y yx x y yx x y y???????????????M 總體最小二乘方法歸納如下： 1. 計算均值點 ( , )xy ，11 n iixxn ?? ?，11 n iiyyn ?? ?； 2. 按照（ 2）式構(gòu)造 2n? 矩陣 Μ 。 3. 計算 22? 矩陣 TΜM的最小特征值及其對應(yīng)的特征向量 [ , ]Tab ； 第 11 頁 則 由法方程 ( ) ( ) 0a x x b y y? ? ? ?確定的直線可以使得距離平方和 ( , , , )D a b x y達到最小。 2 1 0 1 2 3 4 521012345X1X4 2 1 0 1 2 3 4 54321012345X4X5 圖 7 油石比和 VMA 的關(guān)系圖 圖 8 VMA 和 VFA 的關(guān)系圖 采用總體最小二乘方法進行擬合，部分結(jié)果見圖 7 和圖 8，可見部份 因素 指標(biāo)間的線性相關(guān)性比較明顯。擬合出的各因素間的關(guān)系如下： 2141518710 9 574 5 125 603 3 15 903 109xxxxxx??? ???????? ? ? ??? ?? (3) 需要說明的是 由于 受到噪聲和隨機因素的影響，上述關(guān)系式并不一定嚴(yán)格成立，而只是指標(biāo)間的一種近似關(guān)系。 方差分析 前面通過相關(guān)分析 的方法，將主要影響指標(biāo)縮減為 5 個， 即 1 3 6 7 9, , , ,x x x x x ?？梢哉J(rèn)為如果質(zhì)量指標(biāo) y 和因素 1x 有關(guān)，則根據(jù)圖 6 知 y 也和 2x 、 4x 和 5x 有關(guān)。簡化指標(biāo)的好處有兩點：一是質(zhì)量監(jiān)測部門 不需要同時測量 10 個指標(biāo)，只需測量5 個就可以達到相同的測試目的，而信息含量基本不變；另外一點好處是便于進行方差分析。本題中如果直接對 10 個因素和 4 個質(zhì)量指標(biāo)進行方差分析，必須考慮因素與因素之間交互的情況，這樣會導(dǎo)致數(shù)據(jù)量的不足 和 造成各總體方差水平的不一致性 ，而縮減為 5 個指標(biāo)后，處理相對容易些。 考慮到 4 個質(zhì)量指標(biāo)同時受到多個因素指標(biāo)的影響，因此采用單因子方差分析法進行分析是不適宜的，而采用多因子方差分析法檢驗各因素指標(biāo)對質(zhì)量指標(biāo)的影響能力。 進行 多因子 方 差 分析的目的是 檢驗?zāi)硞€因素指標(biāo) 或某幾個因素指標(biāo) 對某個評價指標(biāo)是否具有顯著影響。 為了充分利用數(shù)據(jù)，使結(jié)果更具有可信性， 前面 我們第 12 頁 已對各因素指標(biāo)的試驗水平 分為兩個等級“高”和“低”。 下面 首先 描述 多 因子 方差分析的基本 原理。 為方便起見，以雙因子方差分析為例 [4]。 設(shè)因子 A 有 r 個試驗水平 1A ， 2A ，因子 B 有 s 個試驗水平 1B ， 2B 。將 ijAB 條件下所考察的指標(biāo)看成是一個總體，共有 rs 個總體，假定其服從 2( , )ijN ?? 。為檢驗假設(shè)：一切 ij? 彼此相等，需從每一總體中獨立抽取樣本，記其試驗結(jié)果為12, , ,ij ij ijny y y ，其中 n 是試驗次數(shù)。于是有數(shù)據(jù)構(gòu)造式 , 1 , 。 1 , , 。 1 ,ijk ij ijky i r j s k n??? ? ? ? ? 這里 2~ (0, )ijk N??。令111 rs ijijrs????? ??，**11 ,si ij i ij as? ? ? ??? ? ??，**11 ,rj ij j ji br? ? ? ??? ? ??，則 （ 1） A 與 B 有交互作用的情況下，檢驗的假設(shè)為 0 1 20 1 20:0:0ArBsABH a a aH b b bH ?? ? ? ?? ? ? ??ij一切(ab ) (4) （ 2） A 與 B 有交互作用的情況下，檢驗的假設(shè)僅為 0AH 和 0BH 。 檢驗的統(tǒng)計量分別為； / / /,/ / /A A B B A B A BA B A Be e e e e eS f S f S fF F FS f S f S f?????? (5) 其中 ( 1)ef rs n??， 1Afr?? ， 1Bfs??， ( 1)( 1)ABf r s? ? ? ?，拒絕域分別為 1 1 1{ ( , ) }, { ( , ) }, { ( , ) }A A e B B e A B A B eF F f f F F f f F F f f? ? ?? ? ? ? ?? ? ? (6) 采用 Matlab 的 統(tǒng)計 工具箱 ，我們對每個 質(zhì)量 指標(biāo)做了 多因素 方差分析。 因為已經(jīng)提取了縮減成了 5 個關(guān)鍵指標(biāo)，另外高速公路的建設(shè)主要是物理變 化，因此可以 基本上不用考慮 指標(biāo) 互相交互的情況 。 結(jié)果見 圖 9~12 以及 表 3。 圖中最右邊一列表示各因子的 p 值，倒數(shù)第二列表示檢驗的 F 值。理論上 p 值越小， F 值越大，則影響越顯著。 一般認(rèn)為 ??? 表示 拒絕原假設(shè)，即該因素指標(biāo)對質(zhì)量指標(biāo)有顯著影響。表 3 給出了影響因素與指標(biāo)體系兩兩間因子分析的結(jié)果。 圖 9 五個關(guān)鍵因素 對 TSR 的 圖 10 五個關(guān)鍵因素對 S0 的 方差分析結(jié)果 方差分析結(jié)果 第 13 頁 圖 11 五個關(guān)鍵因素對車轍的 圖 12 五個關(guān)鍵因素對彎拉應(yīng)變的 方差分析結(jié)果 方差分析結(jié)果 表 3 單因素方差的分析結(jié)果（ 〇表示影響顯著，表示不顯著 ） (1)油石比 (3)VV (6)DP (7)毛體 積密度 (9)GMM最初 TSR 〇 S0 車轍 〇 〇 〇 〇 彎拉 〇 1 234 567891 0T S R S 0 車 轍 彎 拉 圖 13 因素與質(zhì)量指標(biāo)間的關(guān)系 根據(jù)檢驗數(shù)據(jù)，還可以畫出因素與質(zhì)量指標(biāo)之間的關(guān)系圖，見圖 13。圖中比較粗的 連線表示顯著性也相對強一些。 根據(jù)前面指標(biāo)間的相關(guān)分析和因子分析的結(jié)果，可以得出一些結(jié)論： 1）影響抗水損害性能的關(guān)鍵指標(biāo)為 9x 和 10x ； 2）影響路面高溫性能的主要指標(biāo)有除了 3x 以外的其他 9 個指標(biāo)，其中 1x （油石比）的影響性最大； 3）影響路面低溫性能的指標(biāo)有 1 2 4 5,x x x x 。 因素與指標(biāo)間的數(shù)學(xué)模型 前面通過多因子分析法，已經(jīng)找出了影響 四個質(zhì)量指標(biāo)的關(guān)鍵因素，雖然通過檢驗已經(jīng)知道它們之間有某種關(guān)系，但究竟是什么關(guān)系，關(guān)系 明 不明顯還需要進行線性 擬合 。 部分線性 擬合 結(jié)果見 圖 14， 15。 由圖可以看出，指標(biāo)和因素間的關(guān)系還是不是很明顯。 第 14 頁 2 1 0 1 2 3 4 512345678X1Y43 4 5 6 7 8 910002022300040005000600070008000900010000x1Y3 圖 14 X1 和 Y4 的擬合圖 圖 15 X1 和 Y3 的擬合圖 結(jié)論： 10 個影響因素指標(biāo)存在較大的冗余性，部分因素指標(biāo)之間存在較大的相關(guān)性（圖 6），因此可以縮減 為 5 個關(guān)鍵因素指標(biāo) 。采用 多 因素方差分析可以對因素與指標(biāo)間的關(guān)系 作顯著性檢驗。雖然部分因素指標(biāo)對質(zhì)量指標(biāo)起顯著作用（ 圖13），但影響質(zhì)量指標(biāo)的因素太多，并不能完整建立起指標(biāo)和主要因素間的數(shù)學(xué)表達式。 5 問題 三求解 問題 剖 析 1. 路面壓實度的上界的理解 顯然對于任何一個大于等于 100 的數(shù)而言，都是路面壓實度的一個上界，但是這樣考慮問題，在實際中是沒有什么意義的。從出題專家的角度看，這里所謂數(shù)學(xué)意義下，路面壓實度的上界應(yīng)該是希望我們探討路面壓實度的上確界，或者求解一個壓實度的上界，使之盡可能的接近上確界。事實上，我們可以證明經(jīng)過無限次碾壓，路面壓實度會達到其上確界 。 定理 2 經(jīng)過無限次碾壓，路面壓實度數(shù)列 ??nd 是收斂的，收斂極限就是其上確界。 證明： 設(shè)路面碾壓次數(shù)為 n ，第 n 次碾壓后的路面壓實度為 nd ，試件的體積隨著 n 的增大而遞減，而路面壓實度＝試件密 度 /最大理論密度 100＝試件質(zhì)量 /試件體積 /最大理論密度 100，故路面壓實度隨 n 的增大而單調(diào)遞增，即 1nndd? ? 。同時，路面壓實度不可能超過 100，所以由單調(diào)有界定理，數(shù)列 ??nd 的極限 d 一定存在。由極限的定義和確界原理， sup{ }nd 就等于極限 d 。也就是說經(jīng)過無限次的碾壓，路面壓實度最終會達到其上確界。 第 15 頁 在實際中，我們不可能對路面進行無限 次碾壓，而且工程中達到或略超過設(shè)計壓實度后，就會停止碾壓，理論上的上確界在實際中很難達到。所以只能從理論的角度去分析路面壓實度的上界和篩孔通過率的關(guān)系。 2. 篩孔通過率與路面壓實度的上界的關(guān)系。 篩孔通過率是指即集料中能夠通過直徑大小不同的各種篩孔的各部分的質(zhì)量占集料總質(zhì)量的比例，是反映集料粗細(xì)程度及大小搭配情況的指標(biāo)。集料顆粒大小分布概率的差別決定了碾壓到極限時試件的顆粒排列結(jié)構(gòu)，從而引起空隙大小的不同以及壓實度上確界的差異。所以篩孔通過率和路面壓實度的上界是有必然聯(lián)系的。我們將建立數(shù)學(xué)模型描述它們的數(shù) 量關(guān)系。 3． 求解思路 我們假設(shè)集料顆粒為球體，而公路的形狀看成一個裝滿球體的容器。由定理 1，經(jīng)過無限次碾壓路面，可以使路面壓實度達到上確界。因此，我們就將求解路面壓實度的上界問題轉(zhuǎn)化為了球體裝箱問題，即尋找一種方法使得公路的試件密度達到上確界，并討論不同直徑球體的配置比例和這個上界之間的關(guān)系。這個問題比普通的裝箱問題復(fù)雜很多。普通的裝箱問題是給定了所裝不同物體的特征，從而將注意力集中在求解如何是箱子的利用率最大上，這個問題本身就是 NP 問題，在有效時間內(nèi)，人們只能求出近似解。而我們這個問題比普通的裝箱 問題更復(fù)雜之處在于不同直徑的球體概率密度函數(shù)是隨著篩孔通過率變化的，同時公路的體積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于球體的體積，要裝的“箱子”可以看成是無限大的，球體的個數(shù)也可以看成是無限多的，這給尋找合適的裝箱方法帶來了巨大的困難。若要在此基礎(chǔ)上討論篩孔通過率和路面壓實度上界的關(guān)系將更加困難，所以必須將問題根據(jù)實際情況進行簡化，從而找到篩孔通過率和路面壓實度上界的內(nèi)在關(guān)系。 我們的模 型首先 給出一般的理論推導(dǎo)公式，然后 根據(jù) 附件中給的篩孔通過率，畫出不同直徑集料顆粒的概率分布圖，跟據(jù)該圖特點及工程背景將集料分為大直徑的粗料和小直徑的細(xì) 料兩類，然后采用化學(xué)上一種非常密集的晶體原子的排列方式對球體進行排列得到上確界的近似解。最后分析了這兩種集料的比例與路面壓實度的上確界的數(shù)值關(guān)系，并根據(jù)附件中的數(shù)據(jù)通過計算驗證了我們所給出的關(guān)系的合理性。 基本模型 根據(jù)壓實度定義，路面壓實度 =試件 密度 /最大理論密度 100。而實際路面混合料密度與路面實際空隙率密切相關(guān)。因此，路面壓實度的上界問題可以歸結(jié)為路面實際空隙率的極小化問題。 以下，我們稱本文推導(dǎo)的集料密度、混合料密度為“計算密度”，以區(qū)別與“最大理論密度”、“表觀密度”等。 第 16 頁 基本模型建立如下： 1 擬合集料的概率密度分布函數(shù)。 假設(shè)篩孔通過率分別為 1k 、 2k