【文章內(nèi)容簡介】 )22MN? ? ?，又因為 M、N在橢圓上得： 2 163a ? ，橢圓方程為 2216314xy??，拋物線方程為 2 24xy??。 專題： 橢圓 的離心率問題 一 、直接求出 ac， 或求出 a 與 b 的比值 ， 以 求解 e 。 在橢圓中， ace? ，2222222 1aba baacace ?????? 軸長的 2 倍，則橢圓的離心率等于 32 兩條準線間的距離是焦距的 2 倍，則其離心率為 22 ，且焦點為 )0,3(),0,1( 21 FF ,則橢圓的離心率為 21 ABCD， AB＝ 4， BC＝ 3，則以 A、 B 為焦點，且過 C、 D 兩點的橢圓的離心率為12 。 橢圓 )0(,12222 ???? babyax 短軸端點為 P 滿足 21 PFPF ? ，則橢圓的離心率為?e 22 。 6..已知 )(121 ???? nmnm 則當(dāng) mn 取得最小值時，橢圓 12222 ?? nymx 的的離心率為 23 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的焦點為 1F ， 2F ，兩條準線與 x 軸的交點分別為 MN， ，若12MN F F?≤ ，則該橢圓離心率的取值范圍是 212???? ???， F1 為橢圓的左焦點， A、 B 分別為橢圓的右頂點和上頂點， P 為橢圓上的點，當(dāng) PF1⊥ F1A， PO∥ AB（ O 為橢圓中心）時， 橢圓的離心率為 ?e 22 。 是橢圓22ax +22by =1（ a＞ b＞ 0） 上一點， 21 FF、 是橢圓的左右焦點，已知,2, 1221 ?? ???? FPFFPF ,321 ?? PFF 橢圓的離心率為 ?e 13? 21 FF、 是橢圓的兩個焦點， P 是橢圓上一點，若 ?? 75,15 1221 ???? FPFFPF ， 則橢圓的離心率為 36 ，過焦點且垂直于長軸的弦長為 2 ，焦點到相應(yīng)準線的距離為 1，則該橢圓的離心率為 22 2222 byax ? =1（ a＞ b＞ 0）的右焦點為 F1，右準線為 l1，若過 F1 且垂直于 x 軸的弦的長等于點 F1到 l1 的距離，則橢圓的離心率是 21 。 12222 ?? byax （ ab0）的兩頂點為 A（ a,0） B(0,b),若右焦點 F 到直線 AB 的距離等于 21 ∣ AF∣ ， 則橢圓的離心率是 36 。 12222 ?? byax （ ab0）的四個頂點為 A、 B、 C、 D，若四邊形 ABCD 的內(nèi)切圓恰好過焦點， 則橢圓的離心率是 215? L 過橢圓 12222 ?? byax （ ab0）的頂點 A（ a,0）、 B(0,b),如果坐標(biāo)原點到直線 L的距離為 2a ， 則橢圓的離心率是 36 ，橢圓 22xyab??1( ab??0)的焦距為 2，以 O 為圓心， a 為半徑作圓，過點 2,0ac??????作圓的兩切線互相垂直，則離心率 e = 22 17. 設(shè) 橢 圓 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的 離 心 率 為 1e 2? ， 右 焦 點 為 ( 0)Fc， ， 方 程2 0ax bx c? ? ? 的兩個實根分別為 1x 和 2x ，則點 12()P x x， （ A ） Ａ．必在圓 222xy??內(nèi) Ｂ．必在圓 222xy??上 Ｃ．必在圓 222xy??外 Ｄ．以上三種情形都有可能 二 、構(gòu)造 ac， 的齊次式，解出 e 1．已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則 橢圓的離心率是 53 2． 以橢圓的右焦點 F2 為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于 M、 N 兩點，橢圓的左焦點為 F1，直線 MF1 與圓相切， 則 橢圓的離心率是 13? 3． 以橢圓的一個焦點 F 為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心 O 并且與橢圓交于 M、 N 兩點，如果 ∣ MF∣ =∣ MO∣ ， 則 橢圓的離心率是 13? 4． 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為 F 、 F2，過 F2 作橢圓 長軸的垂線交橢圓于點 P，若 △ F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是 21? 5． 已知 F F2 是橢圓的兩個焦點，過 F1 且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A、 B 兩點，若△ ABF2 是正三角形，則這個橢圓的離心率是 33 6． 設(shè) 12FF、 分別是橢圓 ? ?22 10xy abab? ? ? ?的左、右焦點， P 是其右準線上縱坐標(biāo)為3c （ c 為半焦距）的點，且 1 2 2FF F P? ，則橢圓的離心率是 22 三 、 尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。 1． 已知 1F 、 2F 是橢圓的兩個焦點，滿足 120MF MF??的點 M 總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是 2(0, )2 2． 已知 21 FF、 是橢圓的兩個焦點， P 是橢圓上一點，且 ?9021 ?? PFF ，橢圓離心率 e 的取值范圍 為 ??????? 1,22 3． 已知 21 FF、 是橢圓的兩個焦點， P 是橢圓上一點，且 ?6021 ?? PFF ，橢圓離心率 e 的取值范圍 為 ?????? 1,21 4． 設(shè)橢圓 12222 ?? byax （ ab0）的兩焦點為 F F2，若橢圓上存在一點 Q，使 ∠ F1QF2=120186。，橢圓離心率 e 的取值范圍 為 3 12 e?? 5． 在 ABC△ 中， AB BC? ， 7cos 18B?? ．若以 AB， 為焦點的橢圓經(jīng)過點 C ，則該橢圓的離心率 e? 38 ． 6． 設(shè) 12FF， 分別是橢圓 221xyab??（ 0ab?? ）的左、右焦點，若在其右準線上存在 ,P 使線段 1PF 的中垂線過點 2F ，則橢圓離心率的取值范圍是 313???? ???， 7． 如圖，正六邊形 ABCDEF 的頂點 A、 D 為一橢 圓的兩個焦點，其余四個頂點 B、 C、 E、F 均在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍是 13? 圓錐曲線中的定值與最值問題 圓錐曲線中的定值與最值問題是近年高考的一個熱點，求解這類問題的基本策略是“大處著眼、小處著手”，從整體上把握問題給出的綜合信息和處理問題的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，并恰當(dāng)?shù)剡\用待定系數(shù)法、相關(guān)點法、B C F EA D 定義法等基本數(shù)學(xué)方法 . 求解定值問題的大體思考方法 —— 若題設(shè)中未告知定值，可考慮用特殊值探求 . 若已告知，可設(shè)參數(shù)（有時甚至要設(shè)兩個參數(shù)），運算推理到最后，參數(shù)必消，定值顯露 . 求解最值問題的大體思考方法 —— 是幾何法，常用工具是圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式或三角函數(shù)的有界性等知識來求解 . 例 1 已知雙曲線 1169 22 ?? yx 的右焦點為 F，點 )2,9( A ，試在此雙曲線上求一點 M，使 ||53|| MFMA ? 的值最小，并求 出這個最小值 . 分析 易知離心率 35?e ， ||53 MF 的最值問題轉(zhuǎn)化為 dMA?|| 的最值問題 . 解析 如圖 1 所示， l 為雙曲線的右準線， M 為雙曲線上任意一點，分別作 MN⊥ l 于 N，AB⊥ l 于 B. ∵離心率 35?e ， ∴由雙曲線的第二定義有35|| || ?? eMNMF， 即 ||53|| MFMN ? . ∴ ||53|| MFMA ? = |||||| ABMNMA ?? . 當(dāng)且僅當(dāng) M 為 AB 與雙曲線右支的交點時， ||53|| MFMA ? 取得最小值 . 點 M 的坐標(biāo)為 )2,253( ，最小值為 5365999 2 ???? ca . 圖 1 評析 求解本例的關(guān)鍵是將所求表達式的最小值問題根據(jù)雙曲線的第二定義轉(zhuǎn)化成求|MA|+|MN|的最小值問題 . 例 2 已知拋物線 yx 42 ? 的焦點為 F， A、 B 是拋物線上 的兩動點，且 FBAF ?? )0( ?? . 過 A、 B 兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為 M. （ 1）證明 ABFM? 為定值； （ 2）設(shè) ABM? 的面積為 S，寫出 )(?fS? 的表達式，并求 S 的最小值 . 分析 （ 1）如圖 2 所示，設(shè)出 A、 B 的坐標(biāo)， 利用已知條件將 M 的坐標(biāo)用 A、 B 的坐標(biāo)表示出來，計算出 ABFM? 并確定 其為定值即可 . （ 2）將 ABM? 的面積 S 用 ? 表示， 注意到（ 1）中的結(jié)論 ABFM? =0 故 ||||21 FMABS ?? . 再利用求函數(shù)最小值的基本方法來解， 本題可采用均值不等式來求 . 解析 （ 1）由已知條件，得 0,)1,0( ?? F . 圖 2 設(shè) ),(,),( 2211 y x B y x . 由 FBAF ?? ， 即得 )1,()1,( 2211 ???? y xy x ?，∴??? ??? ?? ②.)1(1 ①,2121 yy xx ?? 將①式兩邊平方并把 222211 41,41 x y xy ??代入得 221 yy ?? ， ③ 解②、③式得 ?? 1,21 ?? y y，且有 44 22221 ?????? yxxx ?? . 拋物線方程為 241xy? . 求導(dǎo)得 xy 21?? . 所以過拋物線上 A、 B 兩點的切線方程分別是 222111 )(21,)(21 yxxx y yxxxy ??????， 即 222211 4121,4121 xxx y xxxy ????. 解出兩條切線的交點 M 的坐標(biāo)為 ?????? ????????? ? 1,24,2 212121 xxxx xx . 所以 ),(2,2 121221 y y xx xxABFM ????????? ???? 041412)(21 21222122 ??????? ???? xxxx . 所以 ABFM? 為定值，其值為 0. （ 2）由（ 1）知在 ABM? 中， ABFM? ，因而 ||||21 FMABS ?? . .1214)4(214214141)2()2(||212122212221 yy xxxxxxFM???? ??????????????????? 因為 ||,|| BF AF 分別等于 A、 B 到拋物線準線 1??y 的距離，所以 221 1212|||||| ???????? ?????????? ????yyBFAFAB. 于是 3121||||21 ???????? ???? ??FMABS， 由 21 ????，可知 4?S ，且當(dāng) 1?? 時， S 取得最小值 4. 評析 本例將向量與解析幾何結(jié)合在一起，考查綜合運用知識解決數(shù)學(xué)問題的能力 . 主要考 查拋物線的定義與幾何性質(zhì)，曲線切線的求法，弦長公式的應(yīng)用，向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)表示，均值不等式及函數(shù)的最值，同時考查了設(shè)而不求的數(shù)學(xué) . 解決這類問題，關(guān)鍵要理清知識順序，弄明白未知與已知的關(guān)系，在計算也變形的過程中逐步展開思維，尋找突破口，提高自己分析問題、解決問題的能力 . 例 3 一般地，我們稱離心率 2 15??e 的橢圓為“黃金橢圓” . 已知橢圓 )0(1: 2222 ???? babyaxE 的一個焦點為 )0)(0,( ?c c F ， P， Q 為橢圓 E 上的任意兩點，M 為 線段 PQ 的中點， O 為坐標(biāo)原點 . （ 1）試證：若 a， b， c 不是等比數(shù)列，則橢圓 E 一定不是“黃金橢圓”； （ 2）設(shè) E 為黃金橢圓，問：是否存在過點 F、 P 的直線 l，使 l 與 y 軸的交點 R 滿足PFRP 2?? ？若存在，求直線 l 的斜率 k；若不存在，請說明理由 . （ 3）設(shè) E 為黃金橢圓，若直線 PQ 和 OM 的斜率分別為 PQk 和 OMk ，證明 PQk OMk 為定值； （ 4）已知橢圓 E 的短軸長是 2，點 )2,0( S ，求使 2SP 取最大值時 P 點的坐標(biāo) . 解析 （ 1）假設(shè) E 為“黃金橢圓”，則 2 15 ??? ace ，即 ac 2 15?? . ∴ acacab ????? 2222 2 15. ∴ a， b， c 成等比數(shù)列，這與已知條件 a， b， c 不是等比數(shù)列相矛盾 . 故原命題成立 . （ 2）依題意，設(shè)直線 l 的方程為