【文章內(nèi)容簡介】 2 2 4 2nmD E F E? ? ? ? 廣東省 2022年數(shù)學高考試題解法研究（理科） 14 得 0 , 0 ,A D D E A D F E? ? ? ? AD⊥ DE, AD⊥ FE, 而 DE∩FE=E, ∴ AD⊥ 平面 DEF. (2)∵ 13( , , ) , ( , 0 , ) ,22P A n m P B n m? ? ? ? ? ? ∴ 2 2 2 2132 , ( ) 2 ,42m n n m? ? ? ? ? ? 解之得 31, 2mn??. 設平面 PAD的法向量 2 ( , , )n a b c? ， 由于 2 0PA n??，得 3 022bac? ? ?，由 2 0PD n??，得 3 022bac? ? ?， 取2 3(1,0, ).2n ? 取平面 ABD的法向量 1 (0,0, 1)n ??， ∴ 1212123212c os ,7714nnnnnn??? ? ? ? ? ??? 證法 7：（ 1） ∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。， ABCD是邊長為 1的菱形 . ∴△ ABD， △ CBD均為邊長為 1的正三角形 ∵ E為 BC的中點， ∴ BC⊥ DE 又 ∵ AD∥ BC ∴ AD⊥ DE 取 PB的中點 H，連結(jié) AH， DH HG EFPD CBA 廣東省 2022年數(shù)學高考試題解法研究（理科） 15 在 △ APB中， PA= 2 ， AB=1， PB=2 由三角形的中線長公式得 AH= 22 ，同理可得 DH= 22 取 AD的中點 G ∵ DH=AH= 22 ， ∴ GH⊥ AD ∵ E、 F、 G、 H分別是 BC、 PC、 AD、 PB的中點 △ ABD、 △ CBD均為邊長為 1的正三角形 ∴ GDBEHF //// HG EFPD CBA ∴ HGDF是平行四邊形， GH∥ DF ∴ AD⊥ DF ∵ AD⊥ DE， AD⊥ DF、 DF∩DE=D ∴ AD⊥ 平面 DEF (2)連接 PG、 BG、則 PG⊥ AD， BG⊥ AD. ∠ PGB為二面角 PADB的平面角 設 ∠ PGH為 ? ，則 GHPG PHGHPG ? ??? 2c os 222? 7722127214147 ?????? ??? 20 c os1s i n)90c os (c os ???????? P G B 721741 ????? 證法 7中（ 2）問的向量法 1： 廣東省 2022年數(shù)學高考試題解法研究（理科） 16 由（ 1）問知 HG⊥ AD，由勾股定理得 GH=21 ， 由勾股定理逆定理得 GH⊥ GB ， ∴ GH⊥ 平面 ABCD 延長 BG至點 K，使 KG=BG，連接 PK， ∵ H、 G分別為 PB、 KB的中點 ∴ PK∥ HG PK=2HG=221 =1 ∴ PK⊥ 平面 ABCD 以 G 為坐標原點， ,GA GB GH 的方向分別為 x 軸， y軸， z 軸的正方向建立空間直角坐標系，則 G(0,0,0）， A(21 ,0,0）， P(0， 32? ,1)， H(0,0， 12 ) KzyxHG EFPDCBA 于是 3 1 3( 0 , , 1 ) , ( , , 1 )2 2 2G P A P? ? ? ? ? 設平面 PAD的法向量 ( , , )n a b c? 則由??????? ?? 00APn GPn 得 ??????????????0232023cbacb 取 3c? ，則 b=2， a=0 ∴ 0 (0,2, 3)n ? 是平面 PAD的一個法向量 取平面 ABD的一個法向量1 1(0,0, )2n ??， 廣東省 2022年數(shù)學高考試題解法研究（理科） 17 0101011 3212c os ,1 772nnnnnn???? ? ? ? ? ??? 證法 7中（ 2）問的向量法 2： 由（ 1）問知 HG⊥ AD，由勾股定理得 GH=21 ， 由勾股定理逆定理得 GH⊥ GB ， ∴ GH⊥ 平面 ABCD 由（ 1）問知 FD∥ GH， ∴ FD⊥ 平面 ABCD 延長 CD至 M，使 MD=CD. 連接 PM， ∵ F、 D分別為 PC、 MC的中點 ∴ PM∥ FD， PM=2FD=2HG=2 21? =1 ∴ PM⊥ 平面 ABCD 以 D為坐標原點， ,DA DE DF 的方向分別為 x 軸， y軸， z軸的正向建立空間直角坐標系， 則 D(0,0,0 ）， A(1,0,0 ）， 13( , ,1)22P ? ， F(0,0 ， 12 ) ，于是1 3 1 3( , , 1 ) , ( , , 1 )2 2 2 2D P A P? ? ? ? ? zyMxHG EFPD CBA 設平面 PAD的法向量 2 ( , , )n a b c? ，于是 由??????? ?? 0022 APn DPn 得??????????????02320|232cbacba 廣東省 2022年數(shù)學高考試題解法研究（理科） 18 取 32c? ，則有2 3(0,1, )2n ?. 取平面 ABD的一個法向量 1 1(0 , 0 , )2n D F? ? ? ?. ∴ 121212132122c o s ,713124nnnnnn???? ? ? ? ? ???? . G EFPD CBA 證法 8： （ 1） ∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。， ABCD是邊長為 1的菱形 . ∴△ ABD， △ CBD均為邊長為 1的正三角形 . ∵ E為 BC的中點， ∴ BC⊥ DE. 又 ∵ AD∥ BC， ∴ AD⊥ DE. 取 AD的中點 G，連結(jié) PG， BG， BD， GC. ∵ PA=PD= 2 ， G為 AD的中點， ∴ PG⊥ AD. 設 GC交 DE于 H，連結(jié) FH. ∵ 四邊形 DGEC是平行四邊形， ∴ H為 GC的中點 . 又 ∵ F是 PC的中點 . ∴ FH∥ PG. ∴ AD⊥ FH. 由 AD⊥ DE， AD⊥ FH、 FH∩DE=H 知 AD⊥ 平面 DEF. (2)與證法 1的證明相同。 證法 9： （ 1） ∵ ABCD是菱形， ∴ AC⊥ BD 如圖建立空間直角坐標系 oxyz H 廣東省 2022年數(shù)學高考試題解法研究（理科） 19 zyxO EFPD CBA ∵ 邊長為 1， ∠ DAB=60176。 ∴ BD=1 AC= 3 A )0,0,23( ,C )0,0,23(? , B )0,21,0( , D )0,21,0( ? 設 P（ x,y,z）則 3( , , )2A P x y z?? 1( , , )2DP x y z?? 1( , , )2DP x y z?? ????????????????????????????????2)21(2)21(223222222222222zyxDPzyxDPzyxAP ∴???????????1123zyx ∴ P（ )1,1,23( ? ∴ E )0,41,43(? F )21,21,0( ? DE = )0,43,43(? DF = )21,0,0( DA = )0,21,23( 0??DEDA 0??DFDA ∴ AD⊥ 平面 DEF (2) 設平面 PAD的法向量 ( , , )m a b c? DA = )0,21,23( DP = )1,21,23( ? ????????????????0212302123cbaDPmbaDAm ∴(1, 3, 3 )m ? ? ? 平面 ABD的一個法向量 (0,0,1)n? 廣東省 2022年數(shù)學高考試題解法研究（理科） 20 3 21c os , 71 3 3 1mnmnmn??? ?? ? ? ?? ? ?? ∴ 面 PADB的平面角的余弦為 217? 19. (本小題滿分 14分 ) 設圓 C 與兩圓 ? ? ? ?22225 4 , 5 4x y x y? ? ? ? ? ?中的一個內(nèi)切 ,另一個外切 . (1) 求 C 的 圓心軌跡 L 的方程 。 (2) 已知點 ? ?3 5 4 5, , 5 , 055MF??????,且 P 為 L 上的動點 .求 | | | |MP FP? 的最大值及此時點 P 的坐標 . (本小題主要考查兩圓的位置關系、雙曲線的定義等基礎知識 ,考查推理論證和運算求解能力 ,以及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法 .) (1) 解 ：設 C 的圓心的坐標為 (, )xy ,由題設條件知 ? ? ? ?22225 5 4 ,x y x y? ? ? ? ? ? 化簡得 L 的方程為 2 2 y?? 4 3 2 1 1 2 3 4x32 . 521 . 510 . 50 . 511 . 522 . 5yPMFOT 1T 2 (2) 解 ：過 ,MF的直線 l 的方程為 : ? ?2 5 ,yx?? ? 將其代入 L 的 方程得 215 32 5 84 ? ? ? 解得126 5 1 4 5,5 1 5xx??故 l 與 L 的交點為126 5 2 5 1 4 5 2 5, , , .5 5 1 5 1 5TT? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 因 1T 在線段 MF 外 , 2T 在線段 MF 內(nèi)，所以11 | | 2M T F T M F? ? ?,22T FT? | | 2MF??.若 P 不在直線 MF上 ,則在 MFP? 中有 | | P F P M F? ? ? 廣東省 2022年數(shù)學高考試題解法研究（理科） 21 故 | | | |MP FP? 只在 1T 點取得最大值 2. (1)解法一 設 C 的圓心的坐標為 (, )xy ,由題設條件知 ? ? ? ?22225 5 4 ,x y x y? ? ? ? ? ? 化簡得 L 的方程為 2 2 y?? 解法二 由題設條件可知 ,兩圓 4)5( 22 ??? yx 和 4)5( 22 ??? yx 的圓心分別為1( 5,0)F? 和 ( 5,0)F ,其半徑均為 2. 設 C 的圓心為 ( , )Pxy ,則 P 到 1,FF的距離分別為 : ? ? ? ?22221| | 5 , | | 5P F x y P F x y? ? ?