【正文】 1 1 23 3 2 22 2 25 5 53 3 1( 0 ) ( ) , ( 1 ) ( ) , ( 2 ) ( ) .1 0 5 1 0C C C CP P PC C C? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? 的分布列為： ? 0 1 2 P 310 610 110 故 ? 的均值為 3 3 10 1 21 0 5 1 0E ? ? ? ? ? ? ? =4/5. 解法 2： ? 的取值為 0， 1， 2. 3 2 6 3 2 2 3 1 2 2 1 2( 0 ) , ( 1 ) , ( 2 ) .5 4 2 0 5 4 5 4 2 0 5 4 2 0P P P? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? 的分布列為： 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 7 ? 0 1 2 P 故 ? 的均值為 0 0. 3 1 0. 6 2 0. 1E ? ? ? ? ? ? ? ? . 18.(本小題滿(mǎn)分 13分 ) 如圖 5，在錐體 PABCD 中， ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的菱形，且 ∠ DAB=60176。，PA=PD= 2 ， PB=2， E,F分別是 BC,PC的中點(diǎn)． (1)證明： AD⊥ 平面 DEF； (2)求二面角 PADB的余弦值． EFPD CBA 證法 1： (1) ∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。， ABCD是邊長(zhǎng)為 1的菱形 . ∴△ ABD， △ CBD均為邊長(zhǎng)為 1的正三角形 . ∵ E為 BC的中點(diǎn)， ∴ BC⊥ DE. 又 ∵ AD∥ BC， ∴ AD⊥ DE. 取 AD的中點(diǎn) G，連結(jié) PG， BG， BD. G EFPD CBA 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 8 ∵ PA=PD= 2 ， G為 AD的中點(diǎn)， ∴ PG⊥ AD. ∵ AB=AD=1， G為 AD的中點(diǎn)， ∴ BG⊥ AD. 而 PG∩BG =G， ∴ AD⊥ 平面 PBG.. ∴ AD⊥ PB. ∵ E、 F分別是 BC、 PC的中點(diǎn) .∴ EF∥ PB. ∴ AD⊥ EF. 由 AD⊥ DE， AD⊥ EF、 EF∩DE=E 知 AD⊥ 平面 DEF. （ 另一方法： 從 AD⊥ 平面 PBG之后開(kāi)始 …… 由于 E、 F分別為 BC、 PC的中點(diǎn)，則 DE∥ BG,EF∥ PB. 并且 DE∩DF=D， BG∩PB=B， ∴ 面 DEF∥ 面 PBG. 知 AD⊥ 平面 DEF. (2) 由 (1)的證明知 PG⊥ AD， BG⊥ AD。又 ∵ PG?平面 PAD， BG?平面 BAD. 平面 PAD?平面 BAD=AD. ∴∠ PGB為二面角 PADB的平面角 . 在 Rt△ PAG中， 2722 ??? AGPAPG , 在 Rt△ ABG中， 3s in 6 0 2B G A B? ? ?， ∴ 2 2 2c o s 2P G B G P BPBG P G B G???? ? . 73 42144773222??? ? ???. 證法 2： (1)∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。， ABCD是邊長(zhǎng)為 1的菱形 . ∴△ ABD， △ CBD均為邊長(zhǎng)為 1的正三角形 . ∵ E為 BC的中點(diǎn)， ∴ BC⊥ DE. 又 ∵ AD∥ BC， ∴ AD⊥ DE. 21c os|||| ?????? A D CDCDADCDA . 在 △ ADP中，221221c o s ??? P DA . 2122 121c os|||| ???????? A D PDPDADPDA. 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 9 ∴ 0)(21)(21 ????????? DPDADCDADPDCDADFDA . ∴ AD⊥ DF. 由 AD⊥ DE， AD⊥ EF、 EF∩DE=E 知 AD⊥ 平面 DEF. (2)與證法 1的證明 相同。 證法 3： （向量法） ∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。， ABCD是邊長(zhǎng)為 1的菱形 . ∴△ ABD， △ CBD均為邊長(zhǎng)為 1的正三角形 . ∵ E為 BC的中點(diǎn)， ∴ BC⊥ DE. 又 ∵ AD∥ BC， ∴ AD⊥ DE. 以 D 為原點(diǎn)， ,DA DE 的方向分別為 x 軸， y 軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。 zyxG EFPD CBA 則有 D（ 0， 0， 0）， C（ 0,23,21? ）， (1, 0, 0) A . 取 AD的中點(diǎn) G，連 PG， GB. 由 GB∥ DE， AD⊥ BG，可得 B（ 13, ,022 ）， G（ 0,0,21 ） . ∵ PA=PD ∴ PG⊥ AD， ∴ 可設(shè) P（ zy,21 ） . G EFPD CBA 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 10 于是， 31( 0 , , ) , ( , , )22P B y z D P y z? ? ? ?（或用 1( , , ),2PA y z? ? ?） ∴ 2 2 23| | ( ) 42P B y z? ? ? ? ① 2 2 21| | 24P D y z? ? ? ? ② 解得 P（ 1,23,21 ? ） . 又 C（ 0,23,21? ）， ∴ F（ 21,0,0 ） . (1,0,0),DA? ∴ 13( 0 , 0 , ) , ( 0 , , 0 )22D F D E?? ∵ 0 , 0D A D F D A D E? ? ? ?， ∴ DA⊥ DF， DA⊥ DE. ∴ AD⊥ 平面 DEF. (2) 由（ 1）得 13( , ,1)22DP ?? ， (1,0,0)DA? 設(shè)面 PAD的法向量為 ( , , )n x y z? 由于 13 022D P n x y z? ? ? ? ?，且 0n DA x? ? ? ， 所以取 3(0, 1, ).2n ? ? ? 又 ∵ 面 ABD的法向量 (0,0,1)m? ， ∴||||,c os nm nmnm ???? ( 或323114??? ) = 217? . 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 11 證法 4： （ 1） ∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。， ABCD是邊長(zhǎng)為 1的菱形 . ∴△ ABD， △ CBD均為邊長(zhǎng)為 1的正三角形 . ∵ E為 BC的中點(diǎn)， ∴ BC⊥ DE. 又 ∵ AD∥ BC， ∴ AD⊥ DE. 過(guò)點(diǎn) P作 PO⊥ 平面 O 連接 OA、 OD. OHG EFPD CBA 取 AD的中點(diǎn) G，連接 OG、 GB， 則由 PA=PD 2? ? OA=OD ∴ OG⊥ AD ∵ BG⊥ AD ∴ OB⊥ AD 又 PO⊥ AD， PO∩OB =O， ∴ AD⊥ 平面 PBO ∴ AD⊥ PB .又 EF∥ PB ∴ AD⊥ EF ∵ AD⊥ DE， AD⊥ EF， DE∩EF =E ∴ AD⊥ 平面 DEF. （ 2）連接 PG后，與證法 1的（ 2）相同 證法 5： ∵ AD=AB=1， ∠ DAB=60176。， ABCD是邊長(zhǎng)為 1的菱形 ∴△ ABD， △ CBD均為邊長(zhǎng)為 1的正三角形 . ∵ E為 BC的中點(diǎn)， ∴ BC⊥ DE 又 ∵ AD∥ BC ∴ AD⊥ DE 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 12 OHG EFPD CBA 取 PB的中點(diǎn) H，連結(jié) AH， DH 在 △ APB中， PA= 2 ， AB=1， PB=2 由三角形的中線(xiàn)長(zhǎng)公式得 AH= 22 ，同理可得 DH= 22 . 取 AD的中點(diǎn) G 則 HG⊥ AD ∵ AD⊥ BG AD⊥ HG ∴ AD⊥ 平面 HGB AD⊥ PB 又 EF∥ PB ∴ AD⊥ EF 由 AD⊥ DE AD⊥ EF得 AD⊥ 平面 DEF OHG EFPD CBA （證 FD⊥ AD的另法： ∴ 1)232(2 2222 ?????? OBPBPO ∴ 5)11(1 2222 ?????? OCPOPC ∴ FD=21 PO=21 廣東省 2022年數(shù)學(xué)高考試題解法研究（理科） 13 在 △ APC中， ∵ PA= 2 ， AC= 232? = 3 ， PC= 5 ， F為 PC的中點(diǎn) ∴ 由三角形的中線(xiàn)長(zhǎng)公式，得 AF= 25 。 在 △ ADF中，由 AD=1， DF=21， AF= 25 知 AD⊥ DF 由 AD⊥ DE， AD⊥ DF， DE? DF=D 知 AD⊥ 平面 DEF. （ 2）連接 PG后，與證法 1的（ 2）相同 證法 6： (1) 取 AD中點(diǎn)為 G， 因?yàn)?PA=PD， 所以 PG⊥ AD， 又 AB=AD, ∠ DAB=60176。,△ ABD為等邊三角形，因此， BG⊥ AD, 從而 AD⊥ 平面 PBG 延長(zhǎng) BG到 O且使得 PO⊥ OB, 又 PO?平面 PBG, PO⊥ AD, AD∩OB=G, 所以， PO⊥ 平面 ABCD. 以點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 1為單位長(zhǎng)度， ,OB OP AD 的方向分別為 x軸， z軸， y軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 . 設(shè) P(0,0,m） ,G(n,0,0) 則 11( , , 0 ), ( , , 0 )22A n D n? GyzxOEFPD CBA ∵ 3s in 6 0 2G B A B??, ∴ 3 3 3 1 3 1( , 0 , 0 ) , ( , 1 , 0 ) , ( , , 0 ) , ( , , )2 2 2 2 2 4 2 2nmB n C n E n F? ? ? ? 于是， 33( , 0 , 0 ) , ( , 0 , ) ,