第一二章概率論及答案(編輯修改稿)
2025-02-05 08:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ????????????????? A B CPBCPACPABPCPBPAPCBAP 12個(gè)乒乓球中 9個(gè)新、 3個(gè)舊，第一次比賽取出了 3個(gè)，用完了放回去，第二次比賽又取出 3個(gè)，求第二次取出的 3 個(gè)球中有 2個(gè)新球的 概率。 分析： 該題是一個(gè)條件概型，用分類思想較清晰的將解答出 . 詳解 1： 該題可分為 4種情況考慮： ① 若第一次取出 3 個(gè)新球，發(fā)生的概率為 ? ?31203391 C CCAP ??,當(dāng)?shù)诙稳〉脮r(shí)候，就只有 6 個(gè)新球， 6 個(gè)舊球，因此在第一次的條件下 ,第二次取出 2 個(gè)新球 1 個(gè)舊球的概率為 ? ? 312 1616312 03391| C CCC CCABP ???? ② 若第一次取出 2 個(gè)新球 1 個(gè)舊球，發(fā)生的概率為 ? ?31213292 C CCAP ??,當(dāng)?shù)诙稳〉脮r(shí)候，就只有 6 個(gè)新球， 6 個(gè)舊球，因此在第一次的條件下 ,第二次取出 2 個(gè)新球 1個(gè)舊球的概率為 ? ? 312 1527312 13292| C CCC CCABP ???? ③ 若第一次取出 1 個(gè)新球 2 個(gè)舊球，發(fā)生的概率為 ? ?31223193 CCCAP ??,當(dāng)?shù)诙稳〉脮r(shí)候，就只有 6 個(gè)新球， 6 個(gè)舊球，因此在第一次的條件下 ,第二次取出 2 個(gè)新球 1個(gè)舊球的概率為 ? ? 312 1428312 23193| C CCC CCABP ???? ④ 若第一次取出 3 個(gè)舊球，發(fā)生的概率為 ? ?31233091 C CCAP ??,當(dāng)?shù)诙稳〉脮r(shí)候，就只有 6 個(gè)新球， 6 個(gè)舊球，因此在第一次的條件下 ,第 二次取出 2 個(gè)新球 1 個(gè)舊球的概率為 ? ? 312 1329312 33094| C CCC CCABP ???? 因此，其發(fā)生的總概率為 ? ? ? ? ? ? ? ? ||||)( 4321 ????? ABPABPABPABPBP 詳解 2： 解：分析在“第一次取出的 3 個(gè)球中有 k 個(gè)球是新的 ? ?3,2,1,0?k ”背景下劃分，設(shè)事件 A表示“第二次比賽時(shí)取出的 3個(gè)球中有 2個(gè)新球”，事件 kB 表示“第一次比賽時(shí)用了 k個(gè)新球 ? ?3,2,1,0?k ，所以 ???30k kABA。 由古典概型和排列組合知： ? ? 3,2,1,0,312339 ??? kBPCCCkkk 如果第一次比賽時(shí)用了 k 個(gè)新球，則盒子中還有 k9 個(gè)新球，有? ? )3,2,1,0(,| 3121329 ?? ?? kBAP C CC kkk 于是按全概率公式得，所求概率 ? ? ? ? ? ?kk k BAPBPAP |30??? ? CCCCCCCCCCCCCCCC 16260339152713291428231913293309 ??? ? 小小說： 其實(shí)這兩種解法的思想是一樣的，不過還是建議大家用第二種解法答題，較為專業(yè)，同時(shí)也較為簡(jiǎn)便。 已知一個(gè)母雞生 k 個(gè)蛋的概率為 ?? ?ekk! ? ?0?? ，而每一個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為 p ，證明：一個(gè)母 雞恰有 r 個(gè)下一代（即小雞）的概率為 ? ? pr erp ?? ?! 。 分析： 該考查了 k 重伯努利試驗(yàn)，直接其蓋面解答 . 詳解： 令 ?kA “母雞生 k 個(gè)蛋”， A ? “母雞恰有 r 個(gè)下一代”，則在 kA 發(fā)生的條件下，這 k 個(gè)蛋能否孵化成小雞相當(dāng)于做了一個(gè) k 重伯努利試驗(yàn)：? ? ? ? ? ?rkppAAP rkrrkk C ??? ?1，顯然 ...., 210 ， AAA 構(gòu)成一個(gè)完備事件，所以由全概率公式可得： ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????? ??? ?? ekppAPAAPAP krkrrk rkkk k C !10? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? prprrkrkr erper eprk perp ???? ???? ??????? ????? ? !!!1! 1 小小說： 大家注意，其中 ? ?? ?? ? ? ?prkrk erk p ???? ???? 1!1 ??是利用到泰勒公式來化簡(jiǎn)的，即為 xkk ekx ????0 !，希望大家有空查閱一下下泰勒展式的幾個(gè)經(jīng)典例子 . 在某工廠里有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占 25%， 35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有 5%， 4%， 2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？ 分析： 該題考查了全概型和貝葉斯概型的定義 . 詳解： 設(shè) ? 表示“次品”， 1A , 2A , 3A , 4A 分別表示“該次品由甲、乙、丙間生產(chǎn)”，那么依題意可知： ? ? %251 ?AP ? ? %352 ?AP ? ? %403 ?AP ? ? %5| 1 ?ABP ? ? %4| 2 ?ABP ? ? %2| 3 ?ABP 由全概率公式可得： ? ??BP ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?332211 ||| ABPAPABPAPABPAP ?? = %2%40%4%35%5%25 ????? = 由貝葉斯公式知該產(chǎn)品由甲車間生產(chǎn)的概率為： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?BP ABPAPBP BAPBAP 1111 || ?? % %5%25 ?? =6925 同理：由乙車間生產(chǎn)的概率： ? ? ? ? ? ?? ?BP ABPAPBAP 222 || ?= 6928% %4%35 ?? 由丙車間生產(chǎn)的概率： ? ? ? ? ? ?? ?6916% %2%40|| 333 ???? BP ABPAPBAP 有朋友自遠(yuǎn)方來訪，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來的概率分別是 、 、 、 。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是 ，， 1213141 而乘飛機(jī)不會(huì)遲到。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？ 詳解： 設(shè) B 表示“遲到”，
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