第21屆希望杯初二第2試試題及答案(編輯修改稿)
2025-02-05 07:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 足2 2 2MN BN AM??，將 ABC△ 繞著 C 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90? 后，點(diǎn) M、 N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 TS、 ． ⑴請(qǐng)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并證明 MCN MCS?△ △ ⑵求 MCN? 的度數(shù)． 圖 7NMCBA rNMSCBA 【解析】 ⑴將 ABC△ 繞著 C 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90? ，如圖． 根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知 45BN AS C N C S N BC SAC? ? ? ? ? ? ?， ， 所以 90M AS M AC S AC? ? ? ? ? ? ?． 由色股定理，得 2 2 2 2 2 2M S AM AS AM BN M N? ? ? ? ?， 所以 MN MS? ． 又因?yàn)? CN CS CM? ， 是公共邊， 所以 MCN MCS?△ △ ． ⑵因?yàn)?CN 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90? 后得到 CS， 所以 90NCS? ? ? ， 上面已證得 MCN MCS?△ △ ， 故 1 452M C N M C S N C S? ? ? ? ? ? ?． 23．（本題滿分 15 分）已知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，將邊長(zhǎng)為 2 的正方形紙片放入長(zhǎng)方形，要求正方形的邊不長(zhǎng)方形的邊平行或重合，且任意兩個(gè)正方形重疊部分的面積為 0，放入的正方形越多越好． ⑴如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 4，寬是 3，那么最多可以放入多少個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形？長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是多少？ ⑵如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 ( 4)nn≥ ，寬是 2n? ，那么最多可以放入多少個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形？長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是多少？ ⑶對(duì)于任意滿足條件的長(zhǎng)方形，使長(zhǎng)方形被覆蓋的面積小于整個(gè)長(zhǎng)方形面積的 55%求長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)的所有可能值．（已知 ? ） 【解析】 ⑴最多可以放入 2 個(gè)正方形，長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是 22 2 2 %4 3 3? ??? ． ⑵當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)， 2n? 也是偶數(shù)，最多可以放入 1 ( 2)4nn?個(gè)正方形，長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是 100%． 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)， 2n? 也是奇數(shù)，最多可以放入 1 ( 1)( 3)4 nn??個(gè)正方形，長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是 ? ?? ?? ?13 100%2nnnn?? ?? ． ⑶設(shè)長(zhǎng)方形的寬不長(zhǎng)分 別是 xy， ． 若 xy， 都是偶數(shù)，則長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的 100%，丌符合題意． 若 xy， 中一個(gè)是偶數(shù) 2a ，一個(gè)是奇數(shù) 21b? （ ab， 是正整數(shù)），則 4 4 2 0 .5 52 ( 2 1 ) 2 1a b a b bxy a b b? ? ???． 解得 ? ． 沒(méi)有滿足此結(jié)果的正整數(shù) b ，這種情況也丌符合題意． 因此， xy， 都是奇數(shù)． 令 2121xayb???? ??? ， a a b≤ b， ，是正整數(shù)， 則有 ? ?? ?4 0 .5 52 1 2aba b a ???． 因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ?24 4 4 2112 1 2 2 12 1 2 2 1 2ab a a aa b a aaaba??? ? ? ??? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以 22 21aa????????． 得 2 0 .7 4 1 .421a aa ??? ，
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