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正文內(nèi)容

第21屆希望杯初二第2試試題及答案(編輯修改稿)

2025-02-05 07:26 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 足2 2 2MN BN AM??,將 ABC△ 繞著 C 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90? 后,點(diǎn) M、 N 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 TS、 . ⑴請(qǐng)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,并證明 MCN MCS?△ △ ⑵求 MCN? 的度數(shù). 圖 7NMCBA rNMSCBA 【解析】 ⑴將 ABC△ 繞著 C 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90? ,如圖. 根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可知 45BN AS C N C S N BC SAC? ? ? ? ? ? ?, , 所以 90M AS M AC S AC? ? ? ? ? ? ?. 由色股定理,得 2 2 2 2 2 2M S AM AS AM BN M N? ? ? ? ?, 所以 MN MS? . 又因?yàn)? CN CS CM? , 是公共邊, 所以 MCN MCS?△ △ . ⑵因?yàn)?CN 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90? 后得到 CS, 所以 90NCS? ? ? , 上面已證得 MCN MCS?△ △ , 故 1 452M C N M C S N C S? ? ? ? ? ? ?. 23.(本題滿分 15 分)已知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)都是整數(shù),將邊長(zhǎng)為 2 的正方形紙片放入長(zhǎng)方形,要求正方形的邊不長(zhǎng)方形的邊平行或重合,且任意兩個(gè)正方形重疊部分的面積為 0,放入的正方形越多越好. ⑴如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 4,寬是 3,那么最多可以放入多少個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形?長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是多少? ⑵如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 ( 4)nn≥ ,寬是 2n? ,那么最多可以放入多少個(gè)邊長(zhǎng)為 2 的正方形?長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是多少? ⑶對(duì)于任意滿足條件的長(zhǎng)方形,使長(zhǎng)方形被覆蓋的面積小于整個(gè)長(zhǎng)方形面積的 55%求長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)的所有可能值.(已知 ? ) 【解析】 ⑴最多可以放入 2 個(gè)正方形,長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是 22 2 2 %4 3 3? ??? . ⑵當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí), 2n? 也是偶數(shù),最多可以放入 1 ( 2)4nn?個(gè)正方形,長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是 100%. 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí), 2n? 也是奇數(shù),最多可以放入 1 ( 1)( 3)4 nn??個(gè)正方形,長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的百分比是 ? ?? ?? ?13 100%2nnnn?? ?? . ⑶設(shè)長(zhǎng)方形的寬不長(zhǎng)分 別是 xy, . 若 xy, 都是偶數(shù),則長(zhǎng)方形被覆蓋的面積占整個(gè)長(zhǎng)方形面積的 100%,丌符合題意. 若 xy, 中一個(gè)是偶數(shù) 2a ,一個(gè)是奇數(shù) 21b? ( ab, 是正整數(shù)),則 4 4 2 0 .5 52 ( 2 1 ) 2 1a b a b bxy a b b? ? ???. 解得 ? . 沒(méi)有滿足此結(jié)果的正整數(shù) b ,這種情況也丌符合題意. 因此, xy, 都是奇數(shù). 令 2121xayb???? ??? , a a b≤ b, ,是正整數(shù), 則有 ? ?? ?4 0 .5 52 1 2aba b a ???. 因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ?24 4 4 2112 1 2 2 12 1 2 2 1 2ab a a aa b a aaaba??? ? ? ??? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 所以 22 21aa????????. 得 2 0 .7 4 1 .421a aa ??? ,
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