【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 _____.【 選自第 23屆 初 二 希望杯試題 】 由 條件 可知 a,b,c是 聯(lián)系的三個(gè) 遞增 的自然數(shù)。 且 abc= a==3,c=的答案為 1/8. 還有 例 a， b是實(shí)數(shù)，且 abba ????? 11 11 1 ，則 baab ????? 1111 的值時(shí) 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 重點(diǎn) 是知道 ba=b+1(a+1)。 然后 abba ????? 11 11 1 兩邊 都乘以 【 b+1(a+1)】。就可以算出來了 。 最后 看 例 自然數(shù) a,b,c滿足 2 2 2 42 4 4 12a b c a b c? ? ? ? ? ?和 2 20aa? ? ? 。 則 代數(shù)式 1 1 1abc?? 的 值是 【 選自第 22屆 初 二 希望杯試題 】 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 4 2 4 4 1 2 2 2 6 4 4 3 6 4 2 = 2a b c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而 ? ? ? ?2 2 0 a 2 1 0 2a a a a? ? ? ? ? ? ? ?。 所以 a=== 為 1。 對(duì)于該種 提醒的研究和擴(kuò)展，發(fā)現(xiàn)雖然該種題型表面上看應(yīng)該是最難的。實(shí)際 上 出的時(shí)候都不難，所以 在 預(yù)測(cè)上也偏于不會(huì)太難的題目作為 擴(kuò)展 。例 ： 1. 已知 x+3y+5z=0,2x+4y+7z= 2 2 22 2 2352 4 7x y zx y z?? 只要 用一個(gè)未知數(shù)代替其他兩個(gè)未知數(shù)就可以了。 比如 用 聯(lián)立 兩個(gè)方程，用 z 把 x和 y 表示 出來。 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 8 最 值 問題 的 分類 最 值 問題 的 出現(xiàn) 在 1 試 當(dāng)中可以 說 是 涉及面 也比較多比較廣的 。它 涉及 各個(gè)方面，各個(gè)題型 ， 內(nèi)容 豐富 。 涉及到 的 有 ： 直接算 極值，也有跟 質(zhì)數(shù) ， 倍約數(shù) ，絕對(duì)值，不等式等等 知識(shí)點(diǎn) 相結(jié)合 。 在 分類中也可以嘗試分為 離散型 和連續(xù)型的。 最值問題 例 20xx888abc 能被 11整除，則三位數(shù) abc 最大是 ______________． 要 做這道題 ， 就要 知道 能被 11整除 的數(shù)的特征是奇數(shù)位上的數(shù)之和減去偶數(shù)位上的數(shù)之和的差是 11的 整數(shù)倍。 所以 2+1+8+8+b(8+a+c)= 11+bac是 11的 倍數(shù)。所以bac是 11的 倍數(shù)。要 讓 abc 最大 。那么 a 要 取 b 只能 取 c= 結(jié)果就是 990 例 完全平方數(shù) A是 11 個(gè) 連續(xù)整數(shù)的平方和，則 A的 最小值是 【 選自第 22屆 初 二 希望杯試題 】 把 這 11 個(gè) 數(shù)設(shè)為 x5,x4…,x+4,x+5. 那么 11 個(gè) 數(shù)的和為 是一個(gè)數(shù)的完全平方。顯然 是 11^=121 若要 對(duì)這題做 一個(gè) 推廣的話：可以出： 設(shè) 完全平方數(shù) A是 a個(gè) 連續(xù)整數(shù)的平方和，則 A的 最小值是 推廣 ： 明顯 的當(dāng) a是 奇數(shù)的時(shí)候 A就是 a的平方。 因?yàn)檫@ a個(gè) 數(shù)有 一個(gè) 中間值 為 [a/2]+1.所以 這樣以這個(gè)數(shù)為 x， 其余的數(shù) 為 x+1,x1,x+2,x2?x+[a/2],x [a/2].全部 加起來就等于 A=a的 平方 。 例 20的正偶數(shù)分成兩組，使得第一組中數(shù)的乘積能被第二組中數(shù)的乘積整除，則商的最小值是 ． 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 明顯 的 14=2* 7是 除不盡的。所以商的最小值只能是 7 或 比 7大 。而 18=3*3*2。 18能 除 盡或說能被除盡的話 ， 另一組必須要有 12 和 只有 12 和 6能分解 出 2 個(gè) 3 的 質(zhì)因數(shù)。而 20 和 10也 必須分開進(jìn)入 2組 。因?yàn)?只有 他們 有 共同的質(zhì)因數(shù) 使商最小 ，那就 把20 跟 18 放 一組 ， 12, 一組。 明顯 后一組是前一組的 2 倍 。所以正好把 14放在 前一組。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 那 相除 就剩下 7了 。在剩下的 2,4,8,16中， 很明顯 的 2*16=4* 第一組的數(shù)是 2,14,16,18,20.第二組 是 4,6,8,10, 第一組除以第二組為 7. 例 4 If the product of all digits of a sixdigit number is 1296， among such sixdigit numbers， the smallest is ______________ 【 選自第 24屆 初 一 希望杯試題 】 中文 翻譯是 ：若有一個(gè)六位數(shù)各位數(shù)字的乘積是 1296，在所有的六位數(shù)字中，最小的一個(gè)是 ___ 將 1296 分解 質(zhì)因數(shù)： 1296=2*2*2*2*3*3*3*3 .因?yàn)?要最 小 。所以 第一個(gè) 數(shù)字是 1， 再后面是 2， 剩下三個(gè) 就是 8,9,9 所以 是 112899 ： 例 5Let 20xx1 ??????? ? xyx， x and y are both positive integers， then the largest value of yx? is ， the smallest value of yx? is 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 易得 xy= 20xx=2*2* x與 y就是 在這 3個(gè) 中湊。無疑 最大 值就是當(dāng) x=20xx， y=1的 時(shí)候。答案 是 的話是 x=4,y=503(反過來 也可以 )。 答案 為 507。 還有 例 x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7是自然數(shù)，且 x1x2x3x4x5x6x7， x1?x2=x3， x2?x3=x4， x3?x4=x5， x4?x5=x6， x5?x6=x7，又 x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7=20xx，那 么 x1?x2?x3的值最大是 ?！?選自第 21屆 初 一 希望杯試題 】 先 把這七個(gè)數(shù) x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7都寫出來 。 1 2 3 4 5 6 7x x x x x x x? ? ? ? ? ?= 1 2 1 2132 0 1 0 1 0 0 . 5213 020x x x x? ? ???。 假設(shè) 12xx? ， 得 1 60x? 。 觀察 一下 就可以的只要 1x 除以 20 所得 的值有 *.5 就 滿足 條件 了。而且 要是 1 2 3x x x??最大 ，即 12xx? 最大 。而 1 2 1 2 21 3 ( ) 7 23 101 2 0 0x x x x x??? ? ?。 所以 2x 越小 ，那么 12xx? 就 越大。也就是 1x 最大 。因?yàn)?1213 2 00 2 10xx?? 。 所以可得 1x =50， 因?yàn)樾∮?等于 60 除以 20 能 出來 的 最大的數(shù)就是 50， 那么 2x =68， 所以 1 2 3x x x??=236 例 ,x2,x3,? ,x100 是自然數(shù)，且 x1＜ x2＜ x3＜? x100,若 x1＋ x2＋?＋ x100=7001，那么x1＋ x2＋?＋ x50的最大值是 ( ) 【 選自第 23屆 初 二 希望杯試題 】 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 10 假設(shè) 這 100個(gè) 數(shù)是連續(xù)自然數(shù)。那么 1 100 xx?（ ） *50= 算 得 。當(dāng) 1x =21時(shí) ， 1 100 xx?（ ） *50=7050， 當(dāng) 1x =20 時(shí) ， 1 100 xx?（ ） *50= 1x 最大 的值為 20。 但是這樣 的話就少了 就可以 把 最大的 51 個(gè) 數(shù)都加 要是最小的數(shù)加 1的話 ，整個(gè)式子要加 只能從最大的數(shù)開始加，然后加次大的。 依次 類推。所以 1 2 50x x x?＋ ＋ ＋ 的最大值為 22（ 20+20+49） *25+1=2226 縱觀 以上關(guān)于最值的 題目 可以看出沒 有 什么規(guī)律可言，內(nèi)容多變豐富， 有 平方，絕對(duì)值，倍約數(shù) ， 質(zhì)因數(shù)等知識(shí)點(diǎn)。不難 ， 但很靈活 ，平時(shí) 也要稍加注意 型 最值問題 例 225 5 4 32 4 10a b ab a b? ? ? ? ?的 最小值是 【 選自第 23屆 初 一 希望杯試題 】 將 225 5 4 32 4 10a b ab a b? ? ? ? ?化成 完全平方式：? ? ? ? ? ?2 2 2225 5 4 3 2 4 1 0 2 2 8 6 4 2 4 1 0a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 最小值就是 58 還有 是跟知識(shí)點(diǎn) 有 聯(lián)系，比如 自然數(shù) ， 奇偶 數(shù)，絕對(duì)值， 質(zhì)數(shù) 等 相關(guān) 。例 例 2 當(dāng) | x?2 |?| x?3 |的值最小時(shí)， | x?2 |?| x?3 |?| x?1 |的值最大是 ，最小是 。【 選自第 21屆 初 一 希望杯試題 】 例 倍 數(shù)為 20xx，這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)， 則這兩個(gè)數(shù)的和的最大值是 ，這兩個(gè)數(shù)的差的最小值是 【 選自第 21屆 初 一 希望杯試題 】 這 兩道題目都不難 ， 第一道只要把握 x的 范圍是在 23x??之間 然后取極值就可以了。 第二道 的話最大公約數(shù) 是 2， 和的最大值的話明顯 當(dāng) 兩個(gè)數(shù)為 20xx 和 2 時(shí) ，和是最大的 ， 為 最小的話 ， 我們最大最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)就是就是這兩個(gè) 互質(zhì) 的數(shù) 的乘積 ， 為 1005=5*201=5*3* 一個(gè)數(shù)為 30， 一個(gè)數(shù) 為 為 104 再看 例 4 當(dāng) 1x? 時(shí) ，不等式 1 1 2x x m x? ? ? ? ? ?恒成立 ，那么實(shí)數(shù) m 的 最大值是 【初二 22 屆】 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 1 1 2x x m x? ? ? ? ? ?1 2 1x x x m? ? ? ? ? ? ?。 1x? ,所以 當(dāng) 21x??，1 2 1x x x? ? ? ? ?=3+ 1x?? 當(dāng) x2 時(shí) 。明顯1 2 1 2 1 1x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?是 一個(gè)單調(diào)遞增的。所以 最小 值為 m的最大值 為 3. 例 00 ?????? acbacba ， ，則ac的最大值是 ，最小值是 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 這道題 重點(diǎn)在運(yùn)用 大小 關(guān)系 abc??。 02a b c a c? ? ? ? ?，2 0 2ccaa? ? ? ? ? ? 另一方面 ， ,2b c a b c a c? ? ? ? ? ?。 可 得 120 2cac a? ? ? ? ?. 所 以答案是 4. 方程 問題的分類 方程 在初中代數(shù)中的地位毋庸置疑，所以對(duì) 它 的研究是必然的。 方程 的求解 方程 的求解 占的比例 在 整個(gè)方程的研究 中 還是占有很大的比例的。它 涉及 到 方程 （ 方程組 ） 的 求解 和與 解有關(guān)的運(yùn)算 ， 方程根的相關(guān)運(yùn)算和 函數(shù)求值 運(yùn)算。介于 在 涉及到函數(shù)的題目時(shí)很多是跟圖像 聯(lián)系 在一起。所以 就 不把它歸到代數(shù)試題的研究的。 首先 我們 先看方程（ 方程組 ） 的 涉及到解的問題 例 312 ??? xx 的解是 或 ． 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 這道題 的難度相對(duì)應(yīng) 大 了。 因?yàn)?要涉及分類討 論。這種類型的題目的話 可以 分成 2類 ：2 1 3xx? ? ? 或 2 1 3xx? ? ? 。 若 再 考慮把 21x? 的 絕對(duì)值拿掉的話。就要把 x分成初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 12 x 12和 1x2??。對(duì)于 2 1 3xx? ? ? ， 將 x分類 后可得：12 1 3212 1 32x x xx x x? ??? ? ? ? ????? ? ?? ??? ? ? ? ? ???? ??? 得 x無解。 所以對(duì) 于 2 1 3xx? ? ? 按上述 進(jìn)行分類后可得 x=2 或 x=4/3. 再看 另一 中 整數(shù)求解的題目。 例 2．用 ??x 表示不大于 x 的最大整數(shù)，如 ? ? ? ?4 1 4 2 5 3? ? ? ?. ， . ．則方程 ? ?6 3 7 0xx? ? ?的解是 ______________或 ______________． 【 選自第 21屆 初 二 希望杯試題 】 解決這道 題目的關(guān)鍵就是能把 x的 范圍定下來。由題意可得： x1? [x] ? ? ? ? ?6 3 7