【正文】 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 13 只要 兩邊乘以 分母 的最小公倍數(shù) 2 1x? ， 再合并同類型，求解 即可 得到 答案 例 x的 方程 bbxaxa? ? ?的 解是12, bx a x a??， 那么方程的2211xaxa? ? ???的 解 1x = ， 2x = 【 選自第 22屆 初 二 希望杯試題 】 明顯 當(dāng) x=a 時 方程成立。 帶入 4x+7y 中 得到 26 52 213k? ? 。 解得10 733x? ? ?? 。由題意可得： x1? [x] ? ? ? ? ?6 3 7 6 3 7 6 3 1 7x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?。 所以對 于 2 1 3xx? ? ? 按上述 進(jìn)行分類后可得 x=2 或 x=4/3. 再看 另一 中 整數(shù)求解的題目。就要把 x分成初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 12 x 12和 1x2??。這種類型的題目的話 可以 分成 2類 ：2 1 3xx? ? ? 或 2 1 3xx? ? ? 。 首先 我們 先看方程（ 方程組 ） 的 涉及到解的問題 例 312 ??? xx 的解是 或 ． 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 這道題 的難度相對應(yīng) 大 了。介于 在 涉及到函數(shù)的題目時很多是跟圖像 聯(lián)系 在一起。 方程 的求解 方程 的求解 占的比例 在 整個方程的研究 中 還是占有很大的比例的。 02a b c a c? ? ? ? ?，2 0 2ccaa? ? ? ? ? ? 另一方面 ， ,2b c a b c a c? ? ? ? ? ?。明顯1 2 1 2 1 1x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?是 一個單調(diào)遞增的。 第二道 的話最大公約數(shù) 是 2， 和的最大值的話明顯 當(dāng) 兩個數(shù)為 20xx 和 2 時 ，和是最大的 ， 為 最小的話 ， 我們最大最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)就是就是這兩個 互質(zhì) 的數(shù) 的乘積 ， 為 1005=5*201=5*3* 一個數(shù)為 30， 一個數(shù) 為 為 104 再看 例 4 當(dāng) 1x? 時 ，不等式 1 1 2x x m x? ? ? ? ? ?恒成立 ，那么實數(shù) m 的 最大值是 【初二 22 屆】 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 1 1 2x x m x? ? ? ? ? ?1 2 1x x x m? ? ? ? ? ? ?。例 例 2 當(dāng) | x?2 |?| x?3 |的值最小時， | x?2 |?| x?3 |?| x?1 |的值最大是 ，最小是 。所以 1 2 50x x x?＋ ＋ ＋ 的最大值為 22（ 20+20+49） *25+1=2226 縱觀 以上關(guān)于最值的 題目 可以看出沒 有 什么規(guī)律可言，內(nèi)容多變豐富， 有 平方，絕對值，倍約數(shù) ， 質(zhì)因數(shù)等知識點。 但是這樣 的話就少了 就可以 把 最大的 51 個 數(shù)都加 要是最小的數(shù)加 1的話 ，整個式子要加 只能從最大的數(shù)開始加，然后加次大的。那么 1 100 xx?（ ） *50= 算 得 。因為 1213 2 00 2 10xx?? 。 所以 2x 越小 ，那么 12xx? 就 越大。而且 要是 1 2 3x x x??最大 ，即 12xx? 最大 。 假設(shè) 12xx? ， 得 1 60x? ?！?選自第 21屆 初 一 希望杯試題 】 先 把這七個數(shù) x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7都寫出來 。 答案 為 507。無疑 最大 值就是當(dāng) x=20xx， y=1的 時候。在剩下的 2,4,8,16中， 很明顯 的 2*16=4* 第一組的數(shù)是 2,14,16,18,20.第二組 是 4,6,8,10, 第一組除以第二組為 7. 例 4 If the product of all digits of a sixdigit number is 1296， among such sixdigit numbers， the smallest is ______________ 【 選自第 24屆 初 一 希望杯試題 】 中文 翻譯是 ：若有一個六位數(shù)各位數(shù)字的乘積是 1296，在所有的六位數(shù)字中，最小的一個是 ___ 將 1296 分解 質(zhì)因數(shù)： 1296=2*2*2*2*3*3*3*3 .因為 要最 小 。所以正好把 14放在 前一組。因為 只有 他們 有 共同的質(zhì)因數(shù) 使商最小 ，那就 把20 跟 18 放 一組 ， 12, 一組。 18能 除 盡或說能被除盡的話 ， 另一組必須要有 12 和 只有 12 和 6能分解 出 2 個 3 的 質(zhì)因數(shù)。所以商的最小值只能是 7 或 比 7大 。 因為這 a個 數(shù)有 一個 中間值 為 [a/2]+1.所以 這樣以這個數(shù)為 x， 其余的數(shù) 為 x+1,x1,x+2,x2?x+[a/2],x [a/2].全部 加起來就等于 A=a的 平方 。那么 a 要 取 b 只能 取 c= 結(jié)果就是 990 例 完全平方數(shù) A是 11 個 連續(xù)整數(shù)的平方和，則 A的 最小值是 【 選自第 22屆 初 二 希望杯試題 】 把 這 11 個 數(shù)設(shè)為 x5,x4…,x+4,x+5. 那么 11 個 數(shù)的和為 是一個數(shù)的完全平方。所以bac是 11的 倍數(shù)。 最值問題 例 20xx888abc 能被 11整除，則三位數(shù) abc 最大是 ______________． 要 做這道題 ， 就要 知道 能被 11整除 的數(shù)的特征是奇數(shù)位上的數(shù)之和減去偶數(shù)位上的數(shù)之和的差是 11的 整數(shù)倍。 涉及到 的 有 ： 直接算 極值，也有跟 質(zhì)數(shù) ， 倍約數(shù) ，絕對值，不等式等等 知識點 相結(jié)合 。 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 8 最 值 問題 的 分類 最 值 問題 的 出現(xiàn) 在 1 試 當(dāng)中可以 說 是 涉及面 也比較多比較廣的 。例 ： 1. 已知 x+3y+5z=0,2x+4y+7z= 2 2 22 2 2352 4 7x y zx y z?? 只要 用一個未知數(shù)代替其他兩個未知數(shù)就可以了。 對于該種 提醒的研究和擴(kuò)展，發(fā)現(xiàn)雖然該種題型表面上看應(yīng)該是最難的。 則 代數(shù)式 1 1 1abc?? 的 值是 【 選自第 22屆 初 二 希望杯試題 】 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 4 2 4 4 1 2 2 2 6 4 4 3 6 4 2 = 2a b c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?而 ? ? ? ?2 2 0 a 2 1 0 2a a a a? ? ? ? ? ? ? ?。就可以算出來了 。 且 abc= a==3,c=的答案為 1/8. 還有 例 a， b是實數(shù)，且 abba ????? 11 11 1 ，則 baab ????? 1111 的值時 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 重點 是知道 ba=b+1(a+1)。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 7 我們 看關(guān)于 有條件 運(yùn)算的另 一塊，即條件和 我們 所要求的式子都很重要， 即我們 既要對條件進(jìn)行分析也要對我們所 要 求的式子進(jìn)行分析。 先 觀察這個式子，看能不能分解成 2個 式子的乘積。 但是 像初二 23屆 的 19,13題。 化簡 ： 32 3 3 2 3 21 3 3 1( 2 1 ) 8 ( x 1 ) ( x ) 8 ( x 3 x 3 x 1 ) ( x x x )2 2 4 8xx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 類似 的還有 例 4. 若 66554433221032 xaxaxaxaxaxaa)1xx2( ????????? ，則??? 531 aaa ， ??? 642 aaa ； 【 選自第 22屆 初 一 希望杯試題 】 這道題 很明顯的要展開多項 式。 【 選自第 21屆 初 一 希望杯試題 】 這道 題目很簡單，只要把握 二次 多項式的定義就可以 了 。 另外初一 24 屆 19 題 也是類似的。 得到 x+2y=6， 2x3y=10， 3x+4y=14。所以 只能 根據(jù)這兩個初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 6 等式 ，對他們進(jìn)行放縮，讓他們之和 正好 就是我們要的 6 10 14a b c??。明顯把握兩點。 例 32 ??x ，且 ? ?861 48 ??? yxx ，則 y的值是（ ） 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 明顯 要化簡得 6y+8= 2424211 2 1 0 0 2 9 8xxxx??? ? ? ? ? ? ?????。 看 一道 有 代表性的題目 ： 例 a=20xx， b= 20xx? ，則 ??? ab3b2a 22 ； 【 選自第 22屆 初 一 希望杯試題 】 能 化出 ??? ab3b2a 22 （ a+b） (a+b+b)。 具體 的題目可以參考 初一 1 式 有： 22 屆 12題 ， 24 屆 13題 。 這方面 的題目不多。 而現(xiàn)在 式的運(yùn)算一般是 關(guān)于 有 條件 運(yùn)算 。 寧波大學(xué)理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 5 . 式的 運(yùn)算 之前 講過 代數(shù) 式 包 括有理式和 無理式 ，有理式包括整式和 分式 ，整式有多項式和單項式之分。 例如 ： 1. 計算 ： 1 1 1 1 1 1 1 11 2 8 2 4 4 8 8 0 1 2 0 1 6 8 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ?的 值。所以 在 擴(kuò)展此種類型的題目時可以抓住這兩點。底數(shù) 為 2，冪 按 公差為 1 的 方式遞減排列， 答案 就是 1. 根據(jù)上面的研究，可以發(fā)現(xiàn)， 題目 雖然不一定很難，但是有一種 越來越活的趨勢。 所以 原式 可以直接得出為 1. 這類試題 的推 廣很顯然：按冪的遞減方式做減法。 要是 學(xué)過等差數(shù)列的求和公式，那么答案很快就出來了 。不管 最大 的數(shù)是 1000， 還是 要 分子 中 的最大數(shù)跟分母中的最大數(shù)一樣。那分子 部分 就可以化簡為? ?1 1 2 3 4 .. . 97 98 99 10 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.答案 為 1 也 就馬上出來了。而且是跟平方搭干。 也 只能從分子著手。 比如 初一 25 屆 1試 題目1. 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 01 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 0? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?。運(yùn)算符號變得單一了。沒什么 難點可言 。但是從 出題的靈活性 可以 看 出 ： 早年 是 純粹 算一下關(guān)于一些有理數(shù) 運(yùn)算 符號 的互相運(yùn)用，穿插。 運(yùn)算 例 1. 計算： )(1|2|3 3)1()1(3 ???? ???? 【 選自第 24屆 初 一 希望杯試題 】 例 計算： ????????????? ])2()5()83(3[})2(])(163[1{ 342 ； 【 選自第 22屆 初 一 希 望杯試題 】 例 3. If m=2， then )](31[)41(])1([|12|)1()(22243mmmm??????????????? = 【 選自第 21屆 初 一 希望杯試題 】 例 4. 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 01 2 3 4 . . . 9 7 9 8 9 9 1 0 0? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?= 【 選自第 25屆 初 一 希望杯試題 】 初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 4 例 ： ??????? 122222 220xx20xx20xx ? ． 【 選自第 24屆 初 二 希望杯試題 】 結(jié)合 以上 試題 可看出， 幾乎每年 都要考關(guān)于 代數(shù) 運(yùn)算的題目。 關(guān)于數(shù)與式的運(yùn)算，包含很多。 數(shù)與式 問題的分類 數(shù)與式的運(yùn)算包含了有理數(shù)的運(yùn)算，還有有理式的運(yùn)算（包括，整式，分式的運(yùn)算），還有科學(xué)計數(shù)。按照題目的性質(zhì) 數(shù)與式 也 可以 分為有條件式和無條件式。 代數(shù) 式可以看成有理式和無理式，有理式又包括整式，分式 。 對于數(shù)與式 我們 可以 從數(shù)，式兩方面去看。 研究方法 上網(wǎng)查閱近幾年的希望杯試題，結(jié)合查考文獻(xiàn)和資料，并在老師同 伴 的幫助下 搜集各種需要代數(shù)信息，進(jìn)行分類，整理，解決，歸納 。 本文主要從以下方面展開研究： 初一 和 初二 1 試