【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 m 2 b 2 + n 2 a 2 = a 2 b 2；2令t = sin θ – cos θ，則–≤ t ≤，且f ( θ ) = –t 2 + t += –( t – 1 ) 2 + 1；設(shè)P ( x，y )，則k PF1 ? k PF2 =?= – 1，x 2 + y 2 = c 2，b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2，y 2 =，S = 2 c = b 2；第五屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)第一試1994年3月20日 上午8：30—10：00一、選擇題互不相等的三個(gè)正數(shù)a，b，c依次成等比數(shù)列，則lg a，lg b，lg c（ ）（A）成等比數(shù)列而不成等差數(shù)列 （B）成等差數(shù)列而不成等比數(shù)列（C）既成等比數(shù)列也成等差數(shù)列 （D）既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列已知 x ，設(shè)a = 2 1 – sin x，b = 2 cos x，c = 2 tan x，則（ ）（A）a b c （B）b a c （C）c a b （D）b c a不等式arccos x arccos ( 2 x – 1 ) 的一個(gè)解是（ ）（A）– （B） （C）1 （D）– 1如果函數(shù)f ( x )是奇函數(shù)，那么f ( x ) – f ( – x )，f [ f ( x ) ]，f 2 ( x )，中一定是奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4記S i = 1 i + 2 i + 3 i + … + n i，（i = 1，2，3）那么使S 1，S 2，S 3成等差數(shù)列的自然數(shù)n的值（ ）（A）不存在 （B）有且僅有1個(gè) （C）有且僅有2個(gè) （D）有無(wú)數(shù)多個(gè)直線y = k x – 1與曲線y = –有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）（A）[ 0，1 ] （B）[ 0，] （C）[，1 ] （D）[ 0，]D，E分別是正四面體V – ABC中棱AB，AC的三等分點(diǎn)，AD? :? DB = AE :? EC = 2 :? 1，則通過(guò)D，E且平行于VA的截面是（ ）（A）正方形 （B）矩形但不是菱形 （C）菱形但不是矩形（D）平行四邊形但不是矩形也不是菱形直線x = 6與半拋物線y =交于A點(diǎn)，l是過(guò)此拋物線焦點(diǎn)F的直線，以x軸為棱，將坐標(biāo)平面折成60176。的二面角，此時(shí)點(diǎn)A在另一個(gè)半平面內(nèi)的射影B恰在直線l上，則直線l的傾斜角是（ ）（A）arctan （B）arctan ( –) （C）π – arctan （D）π – arccos設(shè)α∈R，且α ≠（k∈Z），則關(guān)于x，y的方程x 2 + ( sin 2 α – 1 ) y 2 – 2 x + 1 = 0表示的曲線是（ ）（A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線 （D）兩條直線已知曲線C：x 2 += 1，曲線C39。與C關(guān)于直線y = x對(duì)稱，那么C與C39。上的動(dòng)點(diǎn)P與Q間的最短距離是（ ）（A）2 （B）2 （C）– 2 （D）0二、A組填空題1一個(gè)平面與直圓柱面的交線是離心率為的橢圓，則該平面與圓柱底面所成的二面角的銳角等于 。1已知曲線C：( y – 2 ) 2 = 1 – x，曲線C39。與C關(guān)于點(diǎn)M ( – 1，1 )成中心對(duì)稱，則C與C39。的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 。1當(dāng)≤ x ≤時(shí)，函數(shù)y = tan x + cot x的最大值是 。1在3，三個(gè)數(shù)中，最小的是 。1不等式 x – 1的解集是 。1將圓x 2 + y 2 – x +3 y –= 0繞直線x =旋轉(zhuǎn)弧度，所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是 。1使關(guān)于x的方程sin x = log( 2 a 3 – 3 ) 有解的實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。1使++ … +成立的最小的自然數(shù)是 。1與四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)等距離的平面的個(gè)數(shù)是 ?！鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列，2 A，2 B，2 C的正割也成等差數(shù)列，則cos ( 2 B – 2 A )的值等于 。三、B組填空題 2函數(shù)y = –的圖像是（用語(yǔ)言描述） 。2設(shè)f ( x ) =，則適合f ( n ) 的最小的自然數(shù)是 。2方程x lg 3 x – 5 lg x = 。2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線log x y = log y x與直線x – 2 y + 1 = 0的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 。2設(shè)函數(shù)f ( x ) = A sin ( ω x + φ )（A 0，φ 0），則f ( 0 ) = 0是f ( x )為奇函數(shù)的 條件。2設(shè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度分別是x，y，則最大邊與最小邊的夾角θ = 。2已知a，b為不相等的正數(shù)，且b =，將，a，b，四個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，應(yīng)是 。2在數(shù)列{ a n }中，a 1 = 13，a 2 = 56，對(duì)所有自然數(shù)n，都有a n + 1 = a n + a n + 2，則a 1994 = 。2三棱錐O – ABC的錐頂在半徑為6的球O的球心，其余各頂點(diǎn)在球O的表面上，三棱錐的高為3，則此三棱錐體積V的最大值是 。球冠與它所在的球的面積之比為1 :? 8，則球冠軸截面的弧所對(duì)的中心角等于 。答案：一、B、A、B、B、B、A、B、C、D、D；二、1arccos；12；13；14；1– 1 ≤ x 2 +；114 π；1≤ a ≤；1249；17；1或–；三、2以( 1，0 )為中心，以( 1 177。，0 )為焦點(diǎn)的雙曲線在x軸下邊的部分；29；2{，10，100 }；20；2充要；260176。； 256；29；arccos。21 b a或a b 1 +或a 1 + b 3；簡(jiǎn)解：1 – sin x cos x 1 tan x；由– 1 ≤ 2 x – 1 ≤ 1，且x 2 x – 1，得0 ≤ x 1；S 1 =，S 2 =，S 3 =，n = 1或（舍去）；1y = x +，x∈[ 1，]單調(diào)遞增；1= ( 2) ( 2 3 ) ( 3 2 )= 3，= ( 2) ( 2)= 2；1S = 4 π R 2 2 + π R 2 2；1( 1 –) ，n ；A + C = 2 B = 120176。，+== – 4，cos 2 A + cos 2 C = – 4 cos 2 A cos 2 C，2 cos 2 B cos ( A – C ) = – 2 [ cos 4 B + cos 2 ( A – C ) ]，– cos ( A – C ) = 1 – 2 cos 2 ( A – C )，4 cos 2 ( A – C ) – cos ( A – C ) – 3 = 0，cos ( 2 B – 2 A ) = cos ( A – C ) = 1或 –；2f ( n ) = 1 –，() n 2 n + 1；2a n + 6 = a n；2R = 6，h = 3，r = 3，S ≤r 2 =，V =S h ≤；S 球冠 = 2 π R h，S 球 = 4 π R 2，h =R，h 39。 =R，cos=，cos α = 2 cos 2– 1 =。第六屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(高二)第一試1995年3月19日 上午8：30—10：00一、選擇題“| x | ≤ 1”是“| x + 1 | ≤ 2”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件設(shè)0 x ，α = arcsin x，β = arcsin ( 1 – x )，γ = arcos ( x – 1 )，則（ ）（A）α β γ （B）α γ β （C）β γ α （D）β α γ若a 1995 a 1994 a 1996，則一定有（ ）（A）a 1 （B）a – 1 （C）– 1 a 0 （D）0 a 1使三條直線4 x + y = 4，m x + y = 0，2 x – 3 m y = 4不能?chē)扇切蔚膍的值最多有（ ）（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P ( x，y )的坐標(biāo)使2 x – y，x + 2 y成等比數(shù)列，則P點(diǎn)組成的圖形是（ ）在arctan，sin ( arcsin)，arcsin ( sin)，tan ( arctan)中，值為的有（ ）（A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)等差數(shù)列{ a n }的首項(xiàng)a 1 = – 5，它的前11項(xiàng)的平均值為5，若從中抽去一項(xiàng)，余下的10項(xiàng)的平均值為4，則抽去的是（ ）（A）a 8 （B）a 9 （C）a 10 （D）a 11設(shè)R中的集合：A = { x | x 2 + a x + b ≤ 0 }，B = { x | ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x – 3 ) 0 }，則滿足A∪B = { x | x – 1 }，A∩B = { x | 3 x ≤ 4 }的實(shí)數(shù)a，b的值是（ ）（A）a = 5，b = 4 （B）a = 4，b = 5 （C）a = 5，b = 4 （D）a = 4，b = 5將直角坐標(biāo)平面內(nèi)由三條直線y = 3，y = – 3 x + 6，y = 3 –x所圍成的三角形，繞y軸旋轉(zhuǎn)弧度所得到的幾何體的體積是（ ）（A）2 π （B）π （C）2 （D）1方程cos ( π cos x ) = 0的解集是（ ）（A）{ x | x = k π 177。，k∈Z } （B）{ x | x = 2 k π 177。，k∈Z }（C）{ x | x = k π 177。，k∈Z } （D）{ x | x = 2 k π 177。，k∈Z }二、A組填空題1若實(shí)數(shù)x，y滿足方程x 2 + y 2 – x + 3 y = 0，則x的取值范圍是 。1若f ( x ) = log a ( x + 1 ) + log a ( 3 – x )，( – 1 x 3 )的最小值是– 2，則a = 。1已知關(guān)于x的方程2 sin x = | a – 1 |有解，則在a的取值范圍內(nèi)所有整數(shù)的和是 。1平行于直線3 x + 4 y – 2 = 0，并且與它的距離為1個(gè)單位的直線的方程是 。1函數(shù)y = | log 2 | x + 1 | | 的遞減區(qū)間是 。1點(diǎn)P在圓C1：x 2 + y 2 – 8 x – 4 y + 11 = 0上，點(diǎn)Q在圓C2：x 2 + y 2 + 4 x + 2 y – 1 = 0上，則| PQ |的最小值是 。1若3，sin x + cos x，依次成等比數(shù)列，x∈[ 0，2 π ]，則x = 。1已知cos α =，則sin 2 α + sin 6 α + sin 8 α = 。1已知關(guān)于x的方程x 2 – a x + a 2 – 4 = 0有兩個(gè)不等實(shí)根，其中有一個(gè)是正數(shù)，則a的取值范圍是 。過(guò)橢圓+= 1的下焦點(diǎn)，且與圓x 2 + y 2 – 3 x + y += 0相切的直線的斜率k = 。三、B組填空題2函數(shù)y = log( x +)的值域是 。2動(dòng)點(diǎn)P從棱長(zhǎng)為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱運(yùn)動(dòng)，對(duì)于每一條棱，點(diǎn)P最多經(jīng)過(guò)一次，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最大距離是 。2設(shè)地球半徑為R，在離地面的空中有一衛(wèi)星，衛(wèi)星上的照相機(jī)可以拍攝到的地球表面的面積與地球表面積的比是 。2如圖，在△ABC中，AB = a，AC