【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ．2022abcabc要做這道題，就要知道能被 11 整除的數(shù)的特征是奇數(shù)位上的數(shù)之和減去偶數(shù)位上的數(shù)之和的差是 11 的整數(shù)倍。所以 2+1+8+8+b(8+a+c)= 11+bac 是 11 的倍數(shù)。所以 bac 是 11 的倍數(shù)。要讓 最大。那么 a 要取 b 只能取 c=990例 A 是 11 個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和，則 A 的最小值是 【選自第 22 屆初二希望杯試題】把這 11 個(gè)數(shù)設(shè)為 x5,x4…,x+4,x+ 11 個(gè)數(shù)的和為 。顯然是 11^=121若要對(duì)這題做一個(gè)推廣的話：可以出：設(shè)完全平方數(shù) A 是 a 個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和，則A 的最小值是 推廣：明顯的當(dāng) a 是奇數(shù)的時(shí)候 A 就是 a 的平方。因?yàn)檫@ a 個(gè)數(shù)有一個(gè)中間值為[a/2]+ x，其余的數(shù)為 x+1,x1,x+2,x2…x+[a/2],x[a/2].全部加起來(lái)就等于 A=a 的平方。例 20 的正偶數(shù)分成兩組，使得第一組中數(shù)的乘積能被第二組中數(shù)的乘積整除，則商的最小值是 ． 【選自第 24 屆初二希望杯試題】明顯的 14=2* 7 是除不盡的。所以商的最小值只能是 7 或比 7 大。而18=3*3*2。18 能除盡或說(shuō)能被除盡的話，另一組必須要有 12 和 12 和 6 能分解出 2 個(gè) 3 的質(zhì)因數(shù)。而 20 和 10 也必須分開(kāi)進(jìn)入 2 組。因?yàn)橹挥兴麄冇泄餐馁|(zhì)因數(shù) 使商最小，那就把 20 跟 18 放一組，12, 放一組。明顯后一組是前一組的 2 倍。所以正好把 14 放在前一組。那相除就剩下 7 了。在剩下的 2,4,8,16 中，很明顯的 2*16=4*第一組的數(shù)是 2,14,16,18, 4,6,8,10, 7.例 4 If the product of all digits of a sixdigit number is 1296，among such sixdigit numbers，the smallest is ______________【選自第 24 屆初一希望杯試題】 中文翻譯是：若有一個(gè)六位數(shù)各位數(shù)字的乘積是 1296，在所有的六位數(shù)字中，最小的一個(gè)是___ 將 1296 分解質(zhì)因數(shù)：1296=2*2*2*2*3*3*3*3 .因?yàn)橐钚?。所以第一個(gè)數(shù)字是 1，再后面是 2，剩下三個(gè)就是 8,9,9 所以是 112899 ：例 5Let ， x and y are both positive integers，then the 013????????xylargest value of is ，the smallest value of is yx?【選自第 24 屆初二希望杯試題】 易得 xy= 2022=2*2* x 與 y 就是在這 3 個(gè)中湊。無(wú)疑最大值就是當(dāng) x=2022，y=1 的時(shí)候。答案是 x=4,y=503(反過(guò)來(lái)也可以)。答案為 507。還有例 x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7是自然數(shù)，且 x1x2x3x4x5x6x7，x1?x2=x3， x2?x3=x4， x3?x4=x5， x4?x5=x6， x5?x6=x7，又 x1?x2?x3?x4?x5?x6?x7=2022，那么 x1?x2?x3的值最大是 。 【選自第 21 屆初一希望杯試題】 先把這七個(gè)數(shù) x1， x2， x3， x4， x5， x6， x7都寫(xiě)出來(lái)。= 。假設(shè) ，?????12x?得 。觀察一下就可以的只要 除以 20 所得的值有*.5 就滿足條件了。而且要是60x?x最大，即 最大。而 。所以 越123?12x1212()73 2小，那么 就越大。也就是 最大。因?yàn)?。所以可得 =50，因12 0x??1x初中“希望杯”代數(shù)試題的研究為小于等于 60 除以 20 能出來(lái) 的最大的數(shù)就是 50，那么 =68，所以 =2362x123x?例 ,x2,x3,…,x100是自然數(shù)，且 x1＜x 2＜x 3＜…x 100,若 x1＋x 2＋…＋x 100=7001，那么 x1＋x 2＋…＋x 50的最大值是( ) 【選自第 23 屆初二希望杯試題】 假設(shè)這 100 個(gè)數(shù)是連續(xù)自然數(shù)。那么 *50=。當(dāng)10 ?（ ）=21 時(shí)， *50=7050，當(dāng) =20 時(shí)， *50= 最大的值為1x10x?（ ） 1xx（ ） 1x20。但是這樣的話就少了 51 個(gè)數(shù)都加 1 的話，整個(gè)式子要加 ，然后加次大的。依次類推。所以的最大值為 22（20+20+49）*25+1=22261250xx?＋ ＋ ＋ 縱觀以上關(guān)于最值的題目可以看出沒(méi)有什么規(guī)律可言，內(nèi)容多變豐富，有平方，絕對(duì)值，倍約數(shù)，質(zhì)因數(shù)等知識(shí)點(diǎn)。不難，但很靈活，平時(shí)也要稍加注意 連續(xù)型最值問(wèn)題例 的最小值是 2543210abab???【選自第 23 屆初一希望杯試題】將 化成完全平方式：2所以最小????2225431086410abababb????????值就是58還有是跟知識(shí)點(diǎn)有聯(lián)系，比如自然數(shù)，奇偶數(shù)，絕對(duì)值，質(zhì)數(shù)等相關(guān)。例例 2 當(dāng)| x?2 |?| x?3 |的值最小時(shí)，| x?2 |?| x?3 |?| x?1 |的值最大是 ，最小是 。 【選自第 21 屆初一希望杯試題】例 2022，這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)， 則這兩個(gè)數(shù)的和的最大值是 ，這兩個(gè)數(shù)的差的最小值是 【選自第 21 屆初一希望杯試題】這兩道題目都不難，第一道只要把握 x 的范圍是在 之間然后取極值就可以了。23x?第二道的話最大公約數(shù)是 2，和的最大值的話明顯當(dāng)兩個(gè)數(shù)為 2022 和 2 時(shí)，和是最大的，為 ，我們最大最小公倍數(shù)除以最大公約數(shù)就是就是這兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的乘積，為 1005=5*201=5*3* 30，一個(gè)數(shù)為 104再看例 4 當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，那么實(shí)數(shù) m 的最大值是 1x?12xmx???【初二 22 屆】 2m??。 ,所以當(dāng) ，1??1x??21x?=3+ x2 時(shí)。明顯121xx?是一個(gè)單調(diào)遞增的。所以最小值為 m 的最1x???大值為 3.例 ，則 的最大值是 ，最小值00????acbcba， c是 【選自第 24 屆初二希望杯試題】 這道題重點(diǎn)在運(yùn)用大小關(guān)系 。 ，2abc????202ca????? 另一方面， 。可得 .,2bcac????102ca??所以答案是 4. 方程問(wèn)題的分類 方程在初中代數(shù)中的地位毋庸置疑，所以對(duì)它的研究是必然的。 方程的求解 方程的求解占的比例在整個(gè)方程的研究中還是占有很大的比例的。它涉及到方程（方程組）的求解和與解有關(guān)的運(yùn)算，方程根的相關(guān)運(yùn)算和函數(shù)求值運(yùn)算。介于在涉及到函數(shù)的題目時(shí)很多是跟圖像聯(lián)系在一起。所以就不把它歸到代數(shù)試題的研究的。首先我們先看方程（方程組）的涉及到解的問(wèn)題例 的解是 或 ．312???x初中“希望杯”代數(shù)試題的研究【選自第 24 屆初二希望杯試題】這道題的難度相對(duì)應(yīng)大了。因?yàn)橐婕胺诸愑懻?。這種類型的題目的話可以分成 2 類：或 。若再考慮把 的絕對(duì)值拿掉的話。就要把 x 分成 x213x???213x???21x?和 。對(duì)于 ，將 x 分類后可得： 得? 1232x????????????????x 無(wú)解。所以對(duì)于 按上述進(jìn)行分類后可得 x=2 或 x=4/???再看另一中整數(shù)求解的題目。例 2．用 表示不大于 的最大整數(shù)，如 ．則方程??xx???41253??.， .的解是______________或______________． 【選自第 21 屆初二希望杯試題】6370x???解決這道題目的關(guān)鍵就是能把 x 的范圍定下來(lái)。由題意可得：x1 [x] ?。得到方程組 。解得????6376376317xx?????????63701x???????。所以[x]=3 或 得103x 690127x?????8396x???方程組的關(guān)于解的問(wèn)題例 x,y 的方程組 的解滿足 ，則 k 的取值范圍是 321xyk??????472xy?? 【選自第 22 屆初二希望杯試題】這道題不難，根據(jù)方程組解出 。帶入 4x+7y 中得到 。K 的312813kxy??????26513k??值也就出來(lái)了。為 k3分式方程的解問(wèn)題例 4．分式方程 的解是 ______________．2510xx???x【選自第 21 屆初二希望杯試題】只要兩邊乘以分母的最小公倍數(shù) ，再合并同類型，求解即可得到答案21x?例 x 的方程 的解是 ，那么方程的bax??12,bax?的解 = ， = 21xa??12【選自第 22 屆初二希望杯試題】明顯當(dāng) x=a 時(shí)方程成立。然后對(duì)于方程 可以稍加處理得21xa???。所以就可以找到還有一個(gè)答案就是 x1= ，x= .2211xa??? 21a3? 方程的判別 方程的判別即在于給定條件判定結(jié)論的合理性。一般是選擇題居多。有根的判別，解的判別，方程系數(shù)的判別。例根的判別例 （ ） 【選自第 23 屆初二希望杯試題】3121??x(A)只有一個(gè)根 x=1 (B)只有一個(gè)根 x=2 (C)有兩個(gè)根 x1=l，x 2=2 (D)無(wú)解． 關(guān)于根的判別要注意分母不能為 ：2關(guān)于方程組的判別：例 2．方程組 ( ) 【選自第 23 屆初二希望杯試題】???????40531yxz(A)無(wú)解 (B)有 1 組解 (C)有 2 組解 (D)有無(wú)窮多組解． 原則上說(shuō) 3 個(gè)方程組解三個(gè)未知數(shù)是可以的。前提是三個(gè)方程組沒(méi)有相類同的（即不存在只是在未知數(shù)的系數(shù)上差距 N 倍的方程組） 。明顯的：由第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程得到：xz=30。第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程得到：2x2z=40。所以無(wú)解。關(guān)于系數(shù)的判別初中“希望杯”代數(shù)試題的研究例 3. 若以 x 為未知數(shù)的方程 x?2a?4=0 的根是負(fù)數(shù)，則 (A) (a?1)(a?2)0 (