[理學(xué)]高等代數(shù)基礎(chǔ)習(xí)題答案(編輯修改稿)
2025-02-05 01:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 立 .總之有)(xp )(xf 與 )(xp )(xg 同時成立 . 若 )(xp 可約 ,上述結(jié)論不成立 .事實上取 ,)(,)(,)( 22 xxxgxxfxxp ???? 則)()()( xgxfxp 且 )(xp ( )(xf + )(xg ),但 )(xp 即不整除 0(xf 也不整除 )(xg . 3. )(xp 是不可約多項式 . 證明如下 : 若 )(xp 可約 ,則存在 )2,1)(()(0),( ????? ixpxpxp ii ,使 )()()( 21 xpxpxp ? ,利用題設(shè)可以得出 ( )(xp , )(xpi )=1 或者 )()( xpxp i ,而事實上 ,這兩種結(jié)果都不能成立 .因此 )(xp 可約的假設(shè)不正確 . :必要性 .設(shè) )()( xpxf m? ( )(xp 為不可約多項式 ),顯然對任意的 )(xg ,若1))(),(( ?xgxp ,則 1))(),(())(),(( ?? xgxpxgxf m,若 )()( xgxp ,則 )() xgxp mm ,即存在正整數(shù) m ,使 )()( xgxf m . 充分性 : 設(shè) )1))()((,0)()()(()()( 1111 ???? xfxpxfxpxfxpxf k 不可約，, 取)()( 1 xpxg ? ,則 ( )(xf , )(xg )=1 不成立 , 且對任意正整數(shù) m , )()( xgxf m 不成立 .故)1))()((,0)()()(()()( 1111 ???? xfxpxfxpxfxpxf k 不可約，不成立 .即 )(xf 是不可約多項式的方冪 . 167。 6 重因式 一、 填空題 1. 3?x , 2?x 與 2?x , 4 與 3。 2. )(xf? 。 3. )()(2 xfxf ? 。 4. ))(),(( )( xfxf xf ? 。 5. 1?k . 二、 判斷題 。 。 . 三、 解答題 1. 解 : (1) 利 用 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 容 易 求 出 1))(),(( ?? xfxf , 所以)(xf = 354 23 ??? xxx 無重因式 . (2)同 (1). 2. 解 ：容易計算 )1())(),(( ??? xxfxf ，所以 1?x 是 )(xf 的二重因式，又)1())(),(( )( ??? xxxfxf xf ，故 )(xf = 2)1( ?xx xxx ??23 2 . 3. 證明 : 12 )!1( 1!211)( ???????? nxnxxxf ? , 1))!1( 11,!1())(),()(())(),(( 1 ??????????? ?nn xnxxnxfxfxfxfxf ?. 故無重因式 . : 顯然當 0ab?? 時， baxx ??33 有三重因式 x ，當 0, 0ab??時 baxx ??33無重因式；當 0a? 時，當 2 04ba a??時， 2( ( ) , ( ) ) 22bf x f x x x aa? ? ? ? ?， baxx ??33有二重因式 22xa? . 167。 7 多項式函數(shù) 一、 填空題 1．零多項式； , 0(二重 ),3,1, 0,2。 3. 4?k 。 4. ? 是 )(xf 的根 。 二、判斷題 1． F； 。 。 . 三、解答題 1．解 利用拉格朗日插枝公式 13231))1(3)(23( ))1()(2(2)31)(21( )3)(2(2)32))(1(2( )3))(1((1)( 2 ?????? ????????? ???????? ????? xxxxxxxxxf ： )!1()2)(1()1()( 221 ?????????? ??? nxnnnxnnnxxf nnn ?，所以 ?????? ))()(),(())(),(( xfxfxfxfxf ),)!1()2)(1()1(( 321 nnnn xnxnnnxnnnx ???????? ??? ?=1. 所以 )!1()2)(1()1()( 21 ????????? ?? nxnnnxnnnxxf nnn ?無重根 . 167。 8 復(fù)數(shù)域與實數(shù)域上多項式的因式分解 一、 填空題 1 ． 一 次 多 項 式 ， 一 次 與 部 分 二 次 不 可 約 多 項 式 ；2. 22 )74)(2)(1( ???? xxxxx ； a2? ， biabia ?? , ；4. )2)(2)(2)(2( ixixxx ???? ， )2)(2)(2( 2 ??? xxx . 二、解答題 1． 解： 在復(fù)數(shù)域上 )21)(21()1()( 2 ixixxxf ?????? , 在實數(shù)域上 )32()1()( 22 ???? xxxxf . 2 .證明 : 若無實根 ,則該多項式全是虛根 ,而實系數(shù)多項式的虛根成對出現(xiàn) ,因此與多
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