【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =e222)11 ) 1 , 0xxdx ccey c e y???? ? ? ?22 =x故方程的通解為： (x 且 也是方程的解。 16 22212111( ) ( )222l n 11 2 .( l n 2 )4 2 4l n 2l n 2l n 22 l n2 l n( ) , ( )( ( ) )l n 1( ( ) ) (P x d x P x d xd x d xxxcxy x y d x x d y xd y x yyd x x xyd y x yy d x x xd y x yd x x xyzd z xzd x x xxP x Q xxxz e e Q x d x cxz e e d x c xx??????? ? ? ??????????? ? ???????? ? ? ???解： 兩邊除以 令方程的通解為：222ln( ) )l n 14 2 4l n 1: ( ) 1 ,4 2 4xd x cxxcxxcxyx??? ? ?? ? ??方程的通解為 且y = 0 也是解。 13 222 ( 2 )2122xydy y x dxdy y x ydx xy x y???? ? ? 這是 n=1時(shí)的伯努利方程。 兩邊同除以 1y， 2 12dy yy dx x?? 令 2yz? 2dz dyydx dx? 22211dz y zdx x x? ? ? ? P(x)=2x Q(x)=1 由一階線性方程的求解公式 22()dx dxxxz e e dx c???? ? ?? 17 = 2x xc? 22y x x c?? 14 23ydy e xdx x?? 兩邊同乘以 ye 22( ) 3yyy dy e xee dx x?? 令 yez? ydz dyedx dx? 222233dz z xz z zdx x x x?? ? ? 這是 n=2時(shí)的伯努利方程 。 兩邊同除以 2z 221 3 1dzz dx xz x?? 令 1 Tz? 21dT dzdx z dx?? 231dT Tdx x x??? P（ x） = 3x? Q(x)=21x? 由一階線性方程的求解公式 3321()d x d xxxT e e d x cx? ?????? = 321()2x x c? ?? = 1312 x cx???? 131( ) 12z x cx??? ? ? 131( ) 12ye x cx??? ? ? 2312 yyx e ce x? ? ? 2312 yx x e c??? 15 331dydx xy x y? ? 33dx yx y xdy ?? 這是 n=3時(shí)的伯努利方程。 兩邊同除以 3x 3321 dx y yx dy x?? 18 令 2xz? ? 32dz dxxdy dy??? 322 2dz y ydy x? ? ?= 322yz y?? P(y)=2y Q(y)= 32y? 由一階線性方程的求解公式 223( 2 )y d y y d yz e y e d y c? ? ???? ? ?? = 223( 2 )yye y e dy c? ??? = 22 1 yy ce?? ? ? 222( 1 ) 1yx y ce?? ? ? ? 2 2 222( 1 )y y yx e y ce e?? ? ? ? 2 2 2 2 2(1 )ye x x y cx? ? ? 16 y=xe +0 ()xyt dt? ()xdy e y xdx ?? xdy yedx?? P(x)=1 Q(x)=xe 由一階線性方程的求解公式 11()dx dxxy e e e dx c?????? = ()x x xe e e dx c? ?? = ()xe x c? 0( ) ( )xx x xe x c e e x c d x? ? ? ?? c=1 y= ()xe x c? 17 設(shè)函數(shù) ? (t)于 ? ∞ t? ∞上連續(xù)， 39。? (0)存在且滿足關(guān)系式 ? (t+s)=? (t)? (s) 試求此函數(shù)。 令 t=s=0 得 ? (0+0)=? (0)? (0) 即 ? (0)= 2(0)? 故 (0) 0? ? 或 (0) 1? ? （ 1） 當(dāng) (0) 0? ? 時(shí) ( ) ( 0) ( ) ( 0)t t t? ? ? ?? ? ? 即 () 0t? ? 19 (t??? ∞ ,? ∞ ) (2) 當(dāng) (0) 1? ? 時(shí) 39。0( ) ( )() limtt t tt t?????? ? ?? ?=0( ) ( ( )limtt t tt? ? ?????? =0( )( ( ) 1)limtttt??????? =0( 0 ) ( 0 ) ()limtt tt?? ???? ? ?? = 39。(0) ( )t?? 于是 39。 (0) ( )d tdt? ??? 變量分離得 39。(0)d dt? ?? ? 積分 39。 (0)tce??? 由于 (0) 1? ? ，即 t=0時(shí) 1?? 1= 0ce ? c=1 故 39。 (0)() tte?? ? ： （ 1）一階非齊線性方程（ 2 .28）的任兩解之差必為相應(yīng)的齊線性方程（ ）之解； （ 2）若 ()y yx? 是（ ）的非零解，而 ()y yx? 是（ ）的解，則方程（ ）的通解可表為 ( ) ( )y cy x y x??，其中 c 為任意常數(shù) . （ 3）方程（ ）任一解的常數(shù)倍或任兩解之和（或差）仍是方程（ ）的解 . 證明： ( ) ( )dy P x y Q xdx ?? （ ） ()dy P x ydx? （ ） （ 1） 設(shè) 1y ， 2y 是（ ）的任意兩個(gè)解 則 11( ) ( )dy P x y Q xdx ?? （ 1） 2 2( ) ( )dy P x y Q xdx ?? （ 2） （ 1） （ 2）得 ? ?1212( ) ( )d y y P x y ydx? ?? 即 12y y y??是滿足方程（ ） 所以，命題成立。 （ 2） 由題意得： () ()dy x P x ydx ? （ 3） () ( ) ( ) ( )d y x P x y x Q xdx ?? （ 4） 20 1）先證 y cy y??是（ ）的一個(gè)解。 于是 ? ? ? ?34c?? 得 ( ) ( ) ( )c d y d y c P x y P x y Q xd x d x? ? ? ? () ( ) ( ) ( )d c y y P x c y y Q xdx? ? ? ? 故 y cy y??是（ ）的一個(gè)解。 2）現(xiàn)證方程（ 4）的任一解都可寫成 cy y? 的形式 設(shè) 1y 是 ()的一個(gè)解 則 11( ) ( )dy P x y Q xdx ?? （ 4’ ） 于是 （ 4’ ） （ 4）得 1 1() ( )( )d y y P x y ydx? ?? 從而 ()1 P x dxy y ce cy?? ? ? 即 1y y cy?? 所以，命題成立。 （ 3） 設(shè) 3y ， 4y 是（ ） 的任意兩個(gè)解 則 33()dy P x ydx ? （ 5） 4 4()dy P x ydx ? （ 6） 于是（ 5） c? 得 33()cdy cP x ydx ? 即 33() ( )( )d cy P x cydx ? 其中 c 為任意常數(shù) 也就是 3y cy? 滿足方程（ ） （ 5） ? （ 6）得 3 434( ) ( )dy dy P x y P x yd x d x? ? ? 即 3434() ( ) ( )d y y P x y ydx? ?? 也就是 34y y y??滿足方程（ ） 所以命題成立。 21 。 （ 5） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距等于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方； （ 6） 曲線上任一點(diǎn)的切線的縱截距是切點(diǎn)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的等差中項(xiàng)； 解： 設(shè) ( , )pxy 為曲線上的任一點(diǎn)，則過(guò) p 點(diǎn)曲線的切線方程為 39。( )Y y y X x? ? ? 從而此切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ( , 0 ), (0 , 39。)39。yx y xyy?? 即 橫截距為 39。yx y?， 縱截距為 39。y xy? 。 由題意得： （ 5） 239。y xy x?? 方程變形為 2dyx y xdx?? 1dy yxdx x?? 于是 11()( ( ) )d x d xxxy e x e d x c???? ? ?? ln ln( ( ) )xxe x e dx c?? ? ?? 1( ( ) )x x x dx c?? ? ?? 1( ( ) )x x dx cx? ? ?? ()x x c? ? ? 2x cx?? ? 所以，方程的通解為 2y x cx?? ? 。 （ 6） 39。 2xyy xy ??? 方程變形為 22dy y xxdx?? 1122dy ydx x?? 于是 11()221( ( ) )2d x d xxxy e e d x c???? ? ?? 22 11ln ln221( ( ) )2xxe e d x c?? ? ?? 11 22 1( ( ) )2x x dx c?? ? ?? 11221( ( ) )2x x dx c?? ? ?? 1122()x x c? ? ? 12x cx?? ? 所以，方程的通解為 12y x cx?? ? 。 22．求解下列方程。 （ 1） 039。)1( 2 ???? xyyx 解：111139。 22 ????? xyxxyy )11( 121 22 ? ?????? ??? cexey dxx xdxx x = ]/1/111[/1/2122212 cdxxxx ????? ? = ]/1/[/1/232212 cxdxx ???? ? =c xx ?? /1/ 2 （ 2） 39。3si n c os si n 0y x x y x? ? ? 2s ins in c o s c o sdy y xdx x x x?? P(x)= 1sin cosxx Q(x)= 2sincosxx 由一階線性方程的求解公式 112s i n c o s s i n c o ss in()c o sd x d xx x x xxy e e d x cx ?????? = si n ( si n )cos x xdx cx ?? 23 = sin ( cos )cos x xcx ?? = sintgxc x? 習(xí)題 驗(yàn)證下列方程是恰當(dāng)方程，并求出方程的解。 1. 0)2()( 2 ???? dyyxdxyx 解： 1???yM， xN?? =1 . 則xNyM ????? 所以此方程是恰當(dāng)方程。 湊微分， 0)(22 ???? xd yyd xyd ydxx 得 ： Cyxyx ??? 2331 2． 0)4()3( 2 ???? dyxydxxy 解： 1???yM， 1???xN . 則xNyM ????? . 所以此方程為恰