【文章內(nèi)容簡介】 （3） （1）代入（3），可得 ， （4）上述（4）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求點穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（4）對應的齊次差分方程的特征方程： 容易算出其特征根為 （4）當8時，顯然有 （5）從而 2，在單位圓外．下面設，由(5)式可以算出 要使特征根均在單位圓內(nèi)，即 ，必須 ．故點穩(wěn)定平衡條件為 ．《數(shù)學模型》作業(yè)解答第八章（2008年12月9日）1． ：（1） 的秩為1，唯一非零特征根為；（2） 的任一列向量都是對應于的特征向量. 證明： （1）由一致陣的定義知：滿足，于是對于任意兩列，有，.即列與列對應分量成比例.從而對作初等行變換可得： B這里.，從而秩再根據(jù)初等行變換與初等矩陣的關系知：存在一個可逆陣，使，于是C易知C的特征根為（只有一個非零特征根）.又～，與C有相同的特征根，從而A的非零特征根為，.（2）對于A的任一列向量，有 的任一列向量都是對應于的特征向量.7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當方法排出5位選手的名次.21345解：. 等都是完全路徑. 此競賽圖的鄰接矩陣為 令，各級得分向量為， ， ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）. 注：給5位網(wǎng)球選手排名次也可由計算A的最大特征根和對應特征向量得到：，數(shù)學模型作業(yè)（12月16日）解答、收入、岸間商業(yè)、當?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設渡輪這三個方案中選一個，畫出目標為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟效益”的層次結構圖.越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟效益解：目標層 建筑就 業(yè)岸間商 業(yè)當?shù)厣虡I(yè)收入省時 準則層修隧道建橋梁設渡輪 方案層 . 問對于一個即將畢業(yè)的大學生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個層次？具體內(nèi)容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）．建立層次結構模型；（2）．構造成對比較陣；（3）．計算權向量并做一致性檢驗；（4）．計算組合權向量并做組合一致性檢驗． 對于一個即將畢業(yè)的大學生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標層、準則層和方案層這3個層次. 目標層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位工作崗位工作崗位3等，準則層一般為貢獻、收入、發(fā)展、聲譽、關系、位置等.3．用層次分析法時，一般可將決策問題分解成哪3個層次？試給出一致性指標的定義以及n階正負反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時，一般可將決策問題分解為目標層、準則層和方案層這3個層次； 一致性指標的定義為：．n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n． 第九章（2008年12月18日）1．在節(jié)傳送帶效率模型中,一種簡單的方法是增加一個周期內(nèi)通過工作臺的鉤子數(shù)，比如增加一倍，其它條件不變．另一種方法是在原來放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子，其它條件不變，于是每個工人在任何時刻可以同時觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的，他就可以掛上產(chǎn)品，這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣．試推導這種情況下傳送帶效率的公式，從數(shù)量關系上說明這種辦法比第一種辦法好．　解：兩種情況的鉤子數(shù)均為．第一種辦法是個位置，單鉤放置個鉤子；第二種辦法是個位置，成對放置個鉤子．　?、?由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為　　　　　　　　當較小，時，有　　　　　　　　　，　　　② 下面推導第二種辦法的傳送帶效率公式：　　　對于個位置，每個位置放置的兩只鉤子稱為一個鉤對，考慮一個周期內(nèi)通過的個鉤對．　　任一只鉤對被一名工人接觸到的概率是；　 任一只鉤對不被一名工人接觸到的概率是；　　記．由工人生產(chǎn)的獨立性及事件的互不相容性．得，任一鉤對為空的概率為，其空鉤的數(shù)為；任一鉤對上只掛上１件產(chǎn)品的概率為，其空鉤數(shù)為．所以一個周期內(nèi)通過的個鉤子中，空鉤的平均數(shù)為　　　 于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ，未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是 ）　此時傳送帶效率公式為　　　　 ③ 近似效率公式：由于　　　　 當時，并令，則 ④ 兩種辦法的比較：　　　由上知：，　　　　，當時， ．所以第二種辦法比第一種辦法好．《數(shù)學模型》作業(yè)解答 第九章（2008年12月23日）一報童每天從郵局訂購一種報紙，第二天削價可以全部賣出，其概率分布如下表：售出報紙數(shù)（百份）012345概率0．05試問報童每天訂購多少份報紙最佳(訂購量必須是100的倍數(shù))？解：設每天訂購百份紙，則收益函數(shù)為 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時的收益期望值. G(0)=0；G(1)=+7+7（+++）=。G(2)= ()。G(3)=() G(4)=() G(5)= 當報童每天訂300份時，收益的期望值最大. 數(shù)模復習資料第一章1. 原型與模型, 按北京師范大學劉來福教授的觀點：、城市交通模型等.模型2. 數(shù)學模型對某一實際問題應用數(shù)學語言和方法,通過抽象、簡化、假設等對這一實際問題近似刻劃所得的數(shù)學結構,稱為此實際問題的一個數(shù)學模型. .3. 數(shù)學建模,數(shù)學建模是指對于現(xiàn)實世界的某一特定系統(tǒng)或特定問題,為了一個特定的目的,運用數(shù)學的語言和方法,通過抽象和簡化,建立一個近似描述這個系統(tǒng)或問題的數(shù)學結構(數(shù)學模型),運用適當?shù)臄?shù)學工具以及計算機技術來解模型,最后將其結果接受實際的檢驗,并反復修改和完善.數(shù)學建模過程流程圖為：實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數(shù)歸結數(shù)學模型 數(shù)學地、數(shù)值地 求解模型估計參數(shù)否 檢驗模型(用實例或有關知識)符合否？是評價、推廣并交付使用產(chǎn)生經(jīng)濟、社會效益依次為：模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型應用數(shù)學模型可以按照不同的方式分類,常見的有：a. 按模型的應用領域分類 數(shù)學模型 b. 按建模的數(shù)學方法分類 數(shù)學模型 c. 按建模目的來分類 數(shù)學模型 ：：冪法、和法、根法4．在“椅子擺放問題”的假設條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，.解：設椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為軸，、B與地面距離之和記為。C、設就得到.數(shù)學模型：,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個連續(xù)函數(shù). ：,使.又因為,.9． （1）某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)？（2）37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，？解：（1）方法一：以時間為橫坐標，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點,兩天都在時刻經(jīng)過地點. x d 方法二：設想有兩個人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點記路程,設從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因為除冠軍隊外，每隊都負一場；6輪比賽，因為2隊賽1輪，4隊賽2輪，32隊賽5輪. 隊需賽場，若，則需賽輪.2．已知某商品在時段的數(shù)量和價格分別為和，并討論穩(wěn)定平衡條件.解：已知商品的需求函