【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?kb ： 31091022 ???xx. 不等式的證明（ 7） 教學(xué)內(nèi)容： 不等式證 明綜合練習(xí) 教學(xué)目的： 系統(tǒng)小結(jié)不等式證明的幾種常用方法，滲透“化歸”“類比”“換元”等數(shù)學(xué)思想方法。 重點(diǎn)難點(diǎn)： 培養(yǎng)發(fā)散思維，一題多解的能力 . 教學(xué)過程 ： 一、 簡(jiǎn)述不等式證明的幾種常用方法 比較、綜合、分析、換元、反證、放縮、構(gòu)造 二、 例題： 例一、 已知 0 x 1, 0 a 1，試比較 |)1(lo g| |)1(lo g| xx aa ?? 和 的大小。 解一： ? ? ? ?22| l og ( 1 ) | | l og ( 1 ) | l og ( 1 ) l og ( 1 ) l og ( 1 ) l og ( 1 )a a a a a ax x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xxxaa ???? 11l og)1(l og 2 ∵ 0 1 ? x2 1, 1110 ???? xx ∴ 011log)1(log 2 ???? xxxaa ∴ |)1(lo g| |)1(lo g| xx aa ??? 解二：21111 1 1l og1 1l og)1(l og)1(l og)1(l og)1(l og xxxxxxx xxxxaa ???????????? ???? )1(lo g1 21 xx ??? ? ∵ 0 1 ? x2 1, 1 + x 1, ∴ 0)1(lo g 21 ??? ? xx ∴ 1)1(lo g1 21 ??? ? xx ∴ |)1(lo g| |)1(lo g| xx aa ??? 解 三：∵ 0 x 1, ∴ 0 1 ? x 1, 1 1 + x 2, ∴ 0)1(l o g,0)1(l o g ???? xx aa ∴左 ? 右 = )1(l o g)1(l o g)1(l o g 2xxx aaa ????? ∵ 0 1 ? x2 1, 且 0 a 1 ∴ 0)1(log 2 ?? xa ∴ |)1(lo g| |)1(lo g| xx aa ??? 變題 ：若將 a 的取值范圍改為 a 0 且 a ? 1，其余條件不變。 例二、 已知 x2 = a2 + b2， y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證： xy≥ ac + bd 證一：（分析法）∵ a, b, c, d, x, y 都是正數(shù) ∴要證： xy≥ ac + bd 只需證： (xy)2≥ (ac + bd)2 即： (a2 + b2)(c2 + d2)≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd 展開得： a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd 即： a2d2 + b2c2≥ 2abcd 由基本不等式，顯然成立 ∴ xy≥ ac + bd 證二：（綜合法） xy = 222222222222 dbdacbcadcba ?????? ≥ bdacbdacdba b c dca ?????? 22222 )(2 證三：（綜合法）根據(jù)柯西不等式， 2 2 2 2 22 2 2 2( ) ( ) ( ) , , ,.ac bd a b c da b c d Rac bd a b c dx y ac bd?? ? ? ??? ? ? ? ? ???即 證四：（三角代換法） ∵ x2 = a2 + b2，∴不妨設(shè) a = xsin?, b = xcos? y2 = c2 + d2 c = ysin?, d = ycos? ∴ ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤ xy 例三、 已知 x1, x2 均為正數(shù)，求證： 2212221212 11 ?????? ?????? xxxx 證一：（分析法）由于不等式兩邊均為正數(shù)，平方后只須證： 4 214 11211 21222122212221 xxxxxxxx ?????????? 即： 212221 1)1)(1( xxxx ???? 再平方： 2221212221 21)1)(1( xxxxxx ????? 化簡(jiǎn)整理得： 212221 2 xxxx ?? （顯然成立） ∴原式成立 證二：（等價(jià)轉(zhuǎn)化）由于 x1,x2 均為正數(shù)，原不等式等價(jià)于： 4 214 11211 21222122212221 xxxxxxxx ?????????? 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 ) .x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根據(jù)柯西不等式，原不等式成立 . 證三：（反證法）假設(shè) 221222121211 ?????? ?????? xxxx 化簡(jiǎn)可得： 212221 2 xxxx ?? （不可能） ∴原式成立 三、 作業(yè)： 1．已知 a, b, c 0, 且 a2 + b2 = c2，求證： an + bn (n≥ 3, n?R*) a,b,c,d 滿足 a2+b2=1,c2+d2=1,求證： |ac+bd|≤ 1. 3. 2 2 2( ) 1 , . | ( ) ( ) | | | .f x x a b f a f b a b? ? ? ? ? ?已知 求證： 4．設(shè) 0 a, b, c 2，求證： (2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同時(shí)大于 1 ( 2 ), 2 6 1 2 ( 1 ) .2nnn N n n? ?? ? ? ? ? ? ?求證 a0,b0,a+b=： 1 ab?? 16．解不等式： 21582 ??? xx x 17．已知 1?a ，解關(guān)于 x 的不等式 12??xax． 1. 若 a?R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A． 2 1aa?? B．21 11a ?? C． 2 96aa?? D． 2lg( 1) lg | 2 |aa?? 2. 若 0 ab?? 且 1ab??，則下列四個(gè)數(shù)中最大的是 （ ） Ａ． 12 Ｂ． 22ab? Ｃ． 2ab Ｄ． a 3. 設(shè) x0,則 133yxx? ? ?的 最大值 為 （ ） Ａ． 3 Ｂ． 3 3 2? Ｃ． 3? 23 Ｄ．－ 1 4. 設(shè) , , 5 , 3 3xyx y x y? ? ? ?R 且 則的最小值是 ( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若 x, y 是正數(shù)，且 141xy??，則 xy有 （ ） Ａ． 最大值 16 Ｂ． 最小值 116 Ｃ． 最小值 16 Ｄ． 最大值 116 6. 若 a, b, c∈R ，且 ab+bc+ca=1, 則下列不等式成立的是 （ ） A． 2 2 2 2abc? ? ? B． 2( ) 3abc? ? ? C． 1 1 1 23abc? ? ? D． 3abc? ? ? 7. 若 x0, y0,且 x+y? 4,則下列不等式中恒成立的是 （ ） A． 114xy?? B． 111xy?? C． 2xy? D． 1 1xy? 8. a,b 是正數(shù)， 則 2,2a b abab ab? ?三個(gè)數(shù)的大小順序 是 （ ） Ａ． 22a b abab ab? ??? Ｂ． 22a b abab ab???? Ｃ． 22ab a babab ???? Ｄ． 22ab a bab ab ???? 9. 某產(chǎn)品的產(chǎn)量第一年的增長(zhǎng)率為 p，第二年的增長(zhǎng)率為 q，設(shè)這兩年平均增長(zhǎng)率為 x，則有 （ ） Ａ．2pqx ?? Ｂ．2pqx ?? Ｃ．2pqx ?? Ｄ．2pqx ?? 10. 下列函數(shù)中，最小值為 4的是 （ ） Ａ． 4yxx?? Ｂ． 4sinsinyxx?? (0 )x ??? Ｃ． e 4exxy ??? Ｄ． 3log 4 log 3xyx?? 11. 函數(shù) 21y x x??的最大值為 . 12. 建造一個(gè)容積為 18m3, 深為 2m 的長(zhǎng)方形無蓋水池，如果池底和池壁每 m2 的造價(jià)為 200元和 150 元，那么池的