專題幾何不等式(編輯修改稿)
2025-04-20 05:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＋BF=AC=AB． 在△ABF中，AF＞ABBF=DC． 在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD． 由定理3，∠1＞∠2，所以AE＞DE． 例4 設(shè)G是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，連結(jié)AG并延長交BC延長線于K，求證： 分析 在不等式兩邊的線段數(shù)不同的情況下，一般是設(shè)法構(gòu)造其所為邊的三角形． 證 如圖2140，在GK上取一點(diǎn)M，使GM=MK，則 在Rt△GCK中，CM是GK邊上的中線，所以∠GCM=∠MGC． 而∠ACG=45176。，∠MGC＞∠ACG，于是∠MGC＞45176。， 所以∠ACM=∠ACG＋∠GCM＞90176。． 由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．故 例5 如圖2141．設(shè)BC是△ABC的最長邊，在此三角形內(nèi)部任選一點(diǎn)O，AO，BO，CO分別交對邊于A′，B′，C′．證明： (1)OA′＋OB′＋OC′＜BC； (2)OA′＋OB′+OC′≤max｛AA′，BB′，CC′｝． 證 (1)過點(diǎn)O作OX，OY分別平行于邊AB，AC，交邊BC于X，Y點(diǎn)，再過X，Y分別作XS，YT平行于CC′和BB′交AB，AC于S，T．由于△OXY∽△ABC，所以XY是△OXY的最大邊，所以O(shè)A′＜max｛OX，OY｝≤XY． 又△BXS∽△BCC′，而BC是△BCC′中的最大邊，從而BX也是△BXS中的最大邊，而且SXOC′是平行四邊形，所以BX＞XS=OC′． 同理CY＞OB′． 所以O(shè)A′＋OB′＋OC′＜XY＋BX＋CY=BC． 所以 OA′＋OB′+OC′=xAA′+yBB′＋zCC′≤(x+y+z)max｛AA′，BB′，CC′｝
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