【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi) y 隨 x 的增大而減?。唬?3）當(dāng) k＜ 0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi) y 隨 x 的增大而增大．針對(duì)四個(gè)說(shuō)法依次分析可得答案． 解答： 解： ① 根據(jù)函數(shù)圖象在第一象限可得 k﹣ 2＞ 0，故 k＞ 2，故 ① 正確； ② 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，另一個(gè)分支在第三象限，故 ② 正確； ③ 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，圖象在第一、三象限時(shí)，在圖象的每一支上 y 隨 x 的增大而減小， A、 B 不一定在圖象的同一支 上，故 ③ 錯(cuò)誤； ④ 根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，圖象在第一、三象限時(shí)，在圖象的每一支上 y 隨 x 的增大而減小，故在函數(shù)圖象的某一個(gè)分支上取點(diǎn) A（ a1， b1）和點(diǎn) B（ a2， b2），當(dāng) a1＞ a2 時(shí)，則 b1＜ b2 正確； 故答案為： ①②④ ． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)． 9． （ 2022?蘭州） 如圖，點(diǎn) A 在雙曲線 上，點(diǎn) B 在雙曲線 y＝ 上，且 AB∥ x 軸， C、 D在 x 軸上，若四邊形 ABCD 為矩形，則它的面積為 . 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義。 分 析： 根據(jù)雙曲線的圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形的面積 S 的關(guān)系 S＝ |k|即可判斷． 解答： 解：過(guò) A 點(diǎn)作 AE⊥ y 軸，垂足為 E， ∵ 點(diǎn) A 在雙曲線 上， ∴ 四邊形 AEOD 的面積為 1， ∵ 點(diǎn) B 在雙曲線 y＝ 上，且 AB∥ x 軸， ∴ 四邊形 BEOC 的面積為 3， ∴ 四邊形 ABCD 為矩形，則它的面積為 3－ 1＝ 2． 故答案為： 2． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了反比例函數(shù) 中 k 的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引 x 軸、y 軸垂線，所得矩形面積為 |k|，是經(jīng)常考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的 思想，做此類(lèi)題一定要正確理解 k 的幾何意義． 10． (2022?蘭州 )如圖， M 為雙曲線 y＝ 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M 作 x 軸、 y 軸的垂線，分別交直線 y＝－ x＋ m 于點(diǎn) D、 C 兩點(diǎn)，若直線 y＝－ x＋ m 與 y 軸交于點(diǎn) A，與 x 軸相交于點(diǎn) B，則 AD?BC 的值為 ． 考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題。 專(zhuān)題： 綜合題。 分析： 作 CE⊥ x 軸于 E， DF⊥ y 軸于 F，由直線的解析式為 y＝－ x＋ m，易得 A(0， m)， B(m，0)，得到 △ OAB 等腰直角三角形，則 △ ADF 和 △ CEB 都是等腰直角三角形，設(shè) M 的坐標(biāo)為 (a， b)，則 ab＝ ， 并且 CE＝ b， DF＝ a，則 AD＝ DF＝ a， BC＝ CE＝ b，于是得到 AD?BC＝ a? b＝ 2ab＝ 2 ． 解答： 解：作 CE⊥ x 軸于 E， DF⊥ y 軸于 F，如圖， 對(duì)于 y＝－ x＋ m， 令 x＝ 0，則 y＝ m；令 y＝ 0，－ x＋ m＝ 0，解得 x＝ m， ∴ A(0， m)， B(m， 0)， ∴△ OAB 等腰直角三角形， ∴△ ADF 和 △ CEB 都是等腰直角三角形， 設(shè) M 的坐標(biāo)為 (a， b)，則 ab＝ ， CE＝ b， DF＝ a， ∴ AD＝ DF＝ a， BC＝ CE＝ b， ∴ AD?BC＝ a? b＝ 2ab＝ 2 ． 故答案為 2 ． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式；會(huì)求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)． 11． （ ） 如圖，雙曲線 ky (k 0)x??與 ⊙ O 在第一象限內(nèi)交于 P、 Q 兩點(diǎn)，分別過(guò)P、 Q 兩點(diǎn)向 x 軸和 y 軸作垂線，已知點(diǎn) P 坐標(biāo)為 (1， 3)，則圖中陰影部分的面積為 ▲ ． 【答案】 4。 【考點(diǎn)】 反比例函數(shù)綜合題 【分析】 ∵⊙ O 在第一象限關(guān)于 y=x 對(duì)稱(chēng)， ky (k 0)x??也關(guān)于 y=x 對(duì)稱(chēng)， P 點(diǎn)坐標(biāo)是（ 1，3）， ∴ Q 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 3， 1）， ∴ S 陰影 =13+13－ 211=4。 三 .解答題 1．（ 2022 義烏市）如圖，矩形 OABC 的頂點(diǎn) A、 C 分別在 x、 y 軸的正半軸上，點(diǎn) D 為對(duì)角線 OB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E（ 4， n）在邊 AB 上，反比例函數(shù) （ k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) D、 E，且 tan∠ BOA= ． （ 1）求邊 AB 的長(zhǎng)； （ 2）求反比例函數(shù)的解析式和 n 的值； （ 3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊 BC 交于點(diǎn) F，將矩形折疊，使點(diǎn) O 與點(diǎn) F 重合，折痕分別 與 x、 y 軸正半軸交于點(diǎn) H、 G，求線段 OG 的長(zhǎng)． 考點(diǎn) ：反比例函數(shù)綜合題。 解答： 解：（ 1） ∵ 點(diǎn) E（ 4， n）在邊 AB 上， ∴ OA=4， 在 Rt△ AOB 中， ∵ tan∠ BOA= ， ∴ AB=OAtan∠ BOA=4 =2； （ 2）根據(jù)（ 1），可得點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 4， 2）， ∵ 點(diǎn) D 為 OB 的中點(diǎn)， ∴ 點(diǎn) D（ 2， 1） ∴ =1， 解得 k=2， ∴ 反比例函數(shù)解析式為 y= ， 又 ∵ 點(diǎn) E（ 4， n）在反比例函數(shù)圖象上， ∴ =n， 解得 n= ； （ 3）如圖，設(shè)點(diǎn) F（ a， 2）， ∵ 反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊 BC 交于點(diǎn) F， ∴ =2， 解得 a=1， ∴ CF=1， 連接 FG，設(shè) OG=t，則 OG=FG=t， CG=2﹣ t， 在 Rt△ CGF 中， GF2=CF2+CG2， 即 t2=（ 2﹣ t） 2+12， 解得 t= ， ∴ OG=t= ． 2.（ 2022?杭州）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù) y=k（ x2+x﹣ 1）的圖象交于點(diǎn) A（ 1， k）和點(diǎn) B（﹣ 1，﹣ k）． （ 1）當(dāng) k=﹣ 2 時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式； （ 2）要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是 y 隨著 x 的增大而增大，求 k 應(yīng)滿(mǎn)足的條件以及 x 的取值范圍； （ 3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為 Q，當(dāng) △ ABQ 是以 AB 為斜邊的直角三角形時(shí)，求 k 的值． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題。 分析： （ 1）當(dāng) k=﹣ 2 時(shí)，即可求得點(diǎn) A 的坐標(biāo)，然后設(shè)反比例函數(shù)的解析式為： y= ，利用待定系數(shù)法即可求得答案； （ 2）由反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是 y 隨著 x 的增大而增大，可得 k＜ 0，又由二次函數(shù) y=k（ x2+x﹣ 1）的對(duì)稱(chēng)軸為 x=﹣ ，可得 x＜﹣ 時(shí)，才能使得 y 隨著 x 的增大而增大； （ 3）由 △ ABQ 是以 AB 為斜邊的直角三角形， A 點(diǎn)與 B 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得 OQ=OA=OB，又由 Q（﹣ ， k）， A（ 1， k），即可得 = ，繼而求得答案． 解答： 解：（ 1）當(dāng) k=﹣ 2 時(shí)， A（ 1，﹣ 2）， ∵ A 在反比例函數(shù)圖象上， ∴ 設(shè)反比例函數(shù)的解析式為： y= ， 代入 A（ 1，﹣ 2）得：﹣ 2= ， 解得： m=﹣ 2， ∴ 反比例函數(shù)的解析式為： y=﹣ ； （ 2） ∵ 要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是 y 隨著 x 的增大而增大， ∴ k＜ 0， ∵ 二次函數(shù) y=k（ x2+x﹣ 1） =k（ x+ ） 2﹣ k，的對(duì)稱(chēng)軸為：直線 x=﹣ ， 要使二次函數(shù) y=k（ x2+x﹣ 1）滿(mǎn)足上述條件，在 k＜ 0 的情況下， x 必須在對(duì)稱(chēng)軸的左邊， 即 x＜﹣ 時(shí) ，才能使得 y 隨著 x 的增大而增大， ∴ 綜上所述， k＜ 0 且 x＜﹣ ； （ 3）由（ 2）可得： Q（﹣ ， k）， ∵△ ABQ 是以 AB 為斜邊的直角三角形， A 點(diǎn)與 B 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，（如圖是其中的一種情況） ∴ 原點(diǎn) O 平分 AB， ∴ OQ=OA=OB， 作 AD⊥ OC， QC⊥ OC， ∴ OQ= = ， ∵ OA= = ， ∴ = ， 解得： k=177。 ． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 3． （ 2022?煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， A， B 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 7 和 1，直線 AB與 y 軸所夾銳角為 60176。． （ 1）求線段 AB 的長(zhǎng)； （ 2）求經(jīng)過(guò) A， B 兩點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式． 考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題。 分析： （ 1）過(guò)點(diǎn) A， B 作 AC⊥ x 軸， BD⊥ AC，垂足分別為點(diǎn) C， D，根據(jù) A、 B 兩點(diǎn)縱坐標(biāo)求 AD，解直角三角形求 AB； （ 2）根據(jù) A 點(diǎn)縱坐標(biāo)設(shè) A（ m， 7），解直角三角形求 BD，再表示 B 點(diǎn)坐標(biāo)，將 A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入 y= 中，列方程組求 k 的值即可． 解答： 解：（ 1）分別過(guò)點(diǎn) A， B 作 AC⊥ x 軸， BD⊥ AC，垂足分別為點(diǎn) C， D， 由題意，知 ∠ BAC=60176。， AD=7﹣ 1=6， ∴ AB= = =12； （ 2）設(shè)過(guò) A， B 兩點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為 y= ， A 點(diǎn)坐標(biāo)為（ m， 7）， ∵ BD=AD?tan60176。=6 ， ∴ B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ m+6 ， 1）， ∴ ， 解得 k=7 ， ∴ 所求反比例函數(shù)的解析式為 y= ． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是明確點(diǎn)的坐標(biāo)與直角三角形的三邊關(guān)系，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)． 4． (2022?麗水 )如圖，等邊 △ OAB 和等邊 △ AFE 的一邊都在 x 軸上，雙 曲線 y＝ (k＞ 0)經(jīng)過(guò)邊 OB 的中點(diǎn) C 和 AE 的中點(diǎn) D．已知等邊 △ OAB 的邊長(zhǎng)為 4． (1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式； (2)求等邊 △ AEF 的邊長(zhǎng)． 考點(diǎn) ： 反比例函數(shù)綜合題。 專(zhuān)題 ： 代數(shù)幾何綜合題。 分析： (1)過(guò)點(diǎn) C 作 CG⊥ OA 于點(diǎn) G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出 OG、 CG 的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn) C 的坐標(biāo)，再利用 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式列式計(jì)算即可得解； (2)過(guò)點(diǎn) D 作 DH⊥ AF 于點(diǎn) H，設(shè) AH＝ a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出 DH 的長(zhǎng)度，然后表示出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，再把點(diǎn) D 的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式 ，解方程得到 a 的值，從而得解． 解答： 解： (1)過(guò)點(diǎn) C 作 CG⊥ OA 于點(diǎn) G， ∵ 點(diǎn) C 是等邊 △ OAB 的邊 OB 的中點(diǎn)， ∴ OC＝ 2， ∠ AOB＝ 60176。， ∴ OG＝ 1， CG＝ ， ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 (1， )， 由 ＝ ，得： k＝ ， ∴ 該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為 y＝ ； (2)過(guò)點(diǎn) D 作 DH⊥ AF 于點(diǎn) H，設(shè) AH＝ a，則 DH＝ a． ∴ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (4＋ a， )， ∵ 點(diǎn) D 是雙曲線 y＝ 上的點(diǎn)， 由 xy＝ ，得 (4＋ a)＝ ， 即： a2＋ 4a－ 1＝ 0， 解得： a1＝ － 2， a2＝－ － 2(舍去 )， ∴ AD＝ 2AH＝ 2 － 4， ∴ 等邊 △ AEF 的邊長(zhǎng)是 2AD＝ 4 － 8． 點(diǎn)評(píng)： 本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，難度不大，作出輔助線，表示出點(diǎn) C、 D 的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 5．（ 2022 泰安）如圖，一次函數(shù) y kx b??的圖象與坐標(biāo)軸分別交于 A， B 兩點(diǎn)，與反比例函數(shù) ny x? 的圖象在第二象限的交點(diǎn)為 C， CD⊥ x 軸，垂足為 D，若 OB=2， OD=4， △ AOB的面積為 1． （ 1）求一次函數(shù)與反比例的解析式； （ 2）直接寫(xiě)出當(dāng) 0x? 時(shí)， 0kkx b x? ? ? 的解集． 考點(diǎn) ：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題。 解答： 解：（ 1） ∵ OB=2， △ AOB 的面積為 1 ∴ B（﹣ 2， 0）， OA=1， ∴ A（ 0，﹣ 1） ∴ 120b kb????? ? ?? ， ∴ 121kb? ????? ???， ∴ 1 12yx?? ? 又 ∵ OD=4， OD⊥ x 軸， ∴ C（﹣ 4， y）， 將 4x?? 代入 1 12yx?? ? 得 y=1， ∴ C（﹣ 4， 1） ∴ 1 4m?? ， ∴ 4m?? ， ∴ 4y x?? （ 2）當(dāng) 0x? 時(shí)，