高數(shù)下冊(cè)第七章微分方程一、二、三節(jié)(編輯修改稿)
2025-02-04 13:41 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 故所求鈾的變化規(guī)律為 .0 teMM ???M0Mto?然后積分 : ?已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為 已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)? 18 例 5. 成正比 , 求 解 : 根據(jù)牛頓第二定律列方程 ?tvm dd00 ??tv初始條件為 對(duì)方程分離變量 , ? ?然后積分 : 得 )0( ?? vkgm此處利用初始條件 , 得 )(ln1 gmkC ??代入上式后化簡(jiǎn) , 得特解 并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí) ( t = 0 ) 速度為 0, )1( tmkek gmv ???mg vk?設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系 . kmgv ?t 足夠大時(shí) 19 cm100例 6. 有高 1m 的半球形容器 , 水從它的底部小孔流出 , 開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水 , 從小孔流出過(guò)程中 , 容器里水面的高度 h 隨時(shí)間 t 的變 r解 : 由水力學(xué)知 , 水從孔口流出的流量為 即 thgV ?求水 小孔橫截面積 化規(guī)律 . 流量系數(shù) 孔口截面面積 重力加速度 設(shè)在 內(nèi)水面高度由 h 降到 ),0d(d ?? hhhhh d?hho20 對(duì)應(yīng)下降體積 hrV dd 2???22 )100(100 hr ??? 2200 hh ??hhhV d)200(d 2??? ?因此得微分方程定解問(wèn)題 : 將方程分離變量 : hhhgt d)200( 2321 ??? ?cm100rhh d?hho21 gt ???兩端積分 , 得 ???hhh d)2 0 0( 2321 ??233400( h )52 25h? C?利用初始條件 , 得 ??? gC ?因此容器內(nèi)水面高度 h 與時(shí)間 t 有下列關(guān)系 : )310107( 252335 hhgt ???? ?1000 ??thcm100rhh d?hho22 內(nèi)容小結(jié) 1. 微分方程的概念 微分方程 。 定解條件 。 2. 可分離變量方程的求解方法 : 說(shuō)明 : 通解 不一定 是方程的全部解 . 0)( ??? yyx有解 后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解 . 例如 , 方程 分離變量 后積分 。 根據(jù) 定解條件 定常數(shù) . 解 。 階 。 通解 。 特解 y = – x 及 y = C 23 (1) 找出事物的共性及可貫穿于全過(guò)程的規(guī)律列方程 . 常用的方法 : 1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如 : P263,5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程 ( 如 : 例 4 , 例 5 ) 3) 根據(jù) 微量分析平衡關(guān)系 列方程 ( 如 : 例 6 ) (2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件 . (3) 求通解 , 并根據(jù)定解條件確定特解 . 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟 24 思考與練習(xí) 求下列方程的通解 : 提示 : xxxyyy d1d1 22 ???(1) 分離變量 (2) 方程變形為 yxy s i nc o s2???Cxy ??? s i n22t a nln221 ( 1 )y C x? ? ?25 ,0)1,0(,1 ?? FCF備用題 已知曲線積分 與路徑無(wú)關(guān) , 其中 求由 確定的隱函數(shù) 解 : 因積分與路徑無(wú)關(guān) , 故有 xFxF x s i nc o s ?? xFxyF y s i ns i n ??即 因此有 ]dc o sds i n[),( yxxxyyxFL ??),( ?yxF.)( xfy ?xyFF
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