【文章內(nèi)容簡介】 算器計算得出。 【 例 6】 某企業(yè)預向銀行借款 50 萬元購置一臺生產(chǎn)設 備，該設備預計可使用 3年，假設復利利率為 8％，則該設備每年至少給企業(yè)帶來多少收益才是可行的 ? 根據(jù)已知現(xiàn)值求年金的計算公式，得： 因此，該設備每年至少要給企業(yè)帶來 萬元的收益，該項投資才是可行的。 2．先付年金 先付年金是指在每期期初發(fā)生的等額現(xiàn)金流量，又稱預付年金或即付年金，如圖 5 所示。 圖 5 先付年金示意圖 由于先付年金現(xiàn)金流量在期初發(fā)生，實際上只是比普通年金提前了一期，因此計算其終值和 現(xiàn)值較為簡單。 (1)先付年金終值的計算 由于先付年金與普通年金相比只是將各期期 末發(fā)生的現(xiàn)金流量提前到各期期初，因此計算 其終值只要比普通年金終值多計算一個期間的現(xiàn)金流量即可。其計算公式如下： 其中， 是先付年金終值系數(shù)，或稱 為 1 元的先付年金終值。它與普通年金終值系數(shù)相比，期數(shù)加 1，系數(shù)減 1，可 計作 [(F/A， i， n +1)－ 1]或者 [FVIFAi,n+1－ 1]。在計算 時可以利用“普通年金終值系數(shù)表”查得 (n + 1)期的值，再減 去 1 得到 1 元先 付年金的終值系數(shù)。 【 例 7】 假設每年年初等額存 入銀行 10 000 元，存款按復利利率 8％計息， 6 年后得到本息之和是多少 ？ 在例 3 中 ，普通年金的終值為 73 359 元，則先付年金的 終值為： 或者。根據(jù)先付年金已知年金求現(xiàn)值的計算公式，得： (2)先付年金現(xiàn)值計算 先付年金比普通年金提前一期發(fā)生，即在各期期初發(fā)生，因此計算其現(xiàn)值只要比普通年金現(xiàn) 值少計算一個期間即可。將普通年金的現(xiàn)值乘以 (1 + i )，即相當于減少了 1 個期間的貼現(xiàn)期。 其計算公式如下： 其中， 是先付年金現(xiàn)值系數(shù)，或稱為 1 元的先付年金現(xiàn)值。它與普通年金 現(xiàn)值系數(shù)相比，期數(shù)減 1，系數(shù)加 1，可計作 [(P/A， i， n－ 1) + 1]或者 [PVIFAi,n－ 1+1]。在計算 時可以利用“普通年金現(xiàn)值系數(shù)表”查得 (n－ 1)期的值，再 加 1 得到 1 元先 付年金的現(xiàn)值系數(shù)。 【 例 8】假 設今后 3 年每年年初 需 要 支付 l 000 元，按復利利率 8％計算，則相當于現(xiàn)在一次性支付多少錢 ? 例 5 中，普通年金的現(xiàn)值為 2 元，則先付 年金的現(xiàn)值為： 或者，根據(jù)先付年金已知年金求終值的計算公式，得： 3．遞延年金 遞延年金是指距現(xiàn)在若干期以后發(fā)生的每期期末發(fā)生的等額現(xiàn)金流量，遞延年金的形式如圖 6 所示。一般用 m 表示遞延期數(shù)， n 表示實際發(fā)生年金 的期數(shù)。 圖 6 遞延年金示意圖 (1)遞延年金終值的計算 遞延年金的終值計算方法和普通年金終值類似： 式中 n—— 實際發(fā)生年金的期數(shù)。 (2)遞延年金現(xiàn)值的計算 遞延年金現(xiàn)值的計算方法有兩種： 方法一： 把遞延年金視為其普通年金，求出遞延期末的現(xiàn)值，然后再將此現(xiàn)值再次貼現(xiàn)到第 一期期初，如圖 7 所示。 圖 7 遞延年金現(xiàn)值示意圖 即： 方法二： 假設遞延期中也進行支付，先求出 ( m + n )期的年金現(xiàn)值，然后，扣除實際并未進行 支付的遞延期 ( m )的年金現(xiàn)值，即可得出最終結果， 如 圖 8所示。 圖 8 遞延年金現(xiàn)值示意圖 即： 4．永續(xù)年金 永續(xù)年金是指無期限等額收付的特種年金，即期限趨于無窮的普通年金。在實際生活中，無 期限債券、優(yōu)先股股息、獎勵基金等都屬于永續(xù)年金。 由于永續(xù)年金沒有終止的時間，因此其終值趨于無窮大，所以我們只需計算其現(xiàn)值。 永續(xù)年金現(xiàn)值可以通過普通年金現(xiàn)值的計算公式導出，普通年金現(xiàn)值計算公式如下： 當 n ∞ 時， (1+ i )n 的極限 為 0，故 上式可以寫為： 復合現(xiàn)金流量的等值運算 現(xiàn)實生活中，有時現(xiàn) 金流量的分布形式是復合形式的，并不呈現(xiàn)嚴格的規(guī)律性，對這類復合 現(xiàn)金流量，有時可以視為由幾部分現(xiàn)金流量疊加而成。 下面通過一個例子來介紹這種混合現(xiàn)金流量問題的解題方法。 【 例 9】 設有如圖 9 所示的一組現(xiàn)金流量圖，若在復利 8％的貼現(xiàn)率下，如何計算其現(xiàn)值總額呢 ? 圖 9 現(xiàn)金流量示意圖 方法一： 分別逐項計算單個現(xiàn)金流量的現(xiàn)值，再對各項現(xiàn)值進行求和運算，如 圖 10 所示，其 計算公式如下： 圖 10 現(xiàn)金流量計算方法示意圖 方法二： 采用組合的方法將上述現(xiàn)金流量分解為年金組合或與單個現(xiàn)金流量組合的疊加，并求每 組現(xiàn)金流量的現(xiàn)值。下面將介紹三種組合疊加方法。 第一種組合疊加，如圖 11 所示。 圖 11 現(xiàn)金流量計算方法示意圖 第二種組合疊加，如圖 12 所示。 圖 12 現(xiàn)金流量計算方法示意圖 第三種組合疊加，如圖 13 所示。 圖 13 現(xiàn)金流量計算方法示意圖 上面所介紹的 方法一 是最普遍的逐個現(xiàn)金流量貼現(xiàn)再求和的方法，可以解決任何混合現(xiàn)金 流量的現(xiàn)值問題，但這種方法在計算中貼現(xiàn)次數(shù)最多。 方法二 通過分解找出年金、單個復利的組合，從而簡化了計算。 例 9 中只介紹了 三種組合疊加方法 ，實際上解決混合現(xiàn)金流量問題有 很 多變通的組合疊加方法，最后計算的結果都是相同的，讀者可以自己進行嘗試。 除了上面所講的混合現(xiàn)金流量，本章的附錄部分還對另外兩種 比較常見的序列現(xiàn)金流量 (等差序列、等比序列現(xiàn)金流量 )進行了介紹。 復利期間與實際利率 終值和現(xiàn)值通 常是按年來進行計算，但在很多時候會遇到復利計息期短于 1年的情況，如果 1 年中計息 m 次，則第 n 年年末終值的計算公 式為：