專題六高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題(編輯修改稿)
2025-02-02 15:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為 2 年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取 50 輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下： 品牌 甲 乙 首次出現(xiàn)故障時(shí)間 x ( 年 ) 0 x ≤ 1 1 x ≤ 2 x 2 0 x ≤ 2 x 2 轎車數(shù)量 ( 輛 ) 2 3 45 5 45 每輛利潤(rùn) ( 萬元 ) 1 2 3 高考題型突破 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 將頻率視為概率，解答下列問題： (1) 從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率． (2) 若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為 X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為 X2，分別求 X1， X2的分布列． (3) 該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由． 高考題型突破 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 解 ( 1) 設(shè) “ 甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi) ” 為事件 A ， 則 P ( A ) ＝2 ＋ 350 ＝110 . 高考題型突破 ( 2) 依題意得， X 1 的分布列為 X 1 1 2 3 P 125 350 910 X 2 的分布列為 X 2 P 110 910 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 ( 3) 由 ( 2) 得 EX 1 ＝ 1 125 ＋ 2 350 ＋ 3 910 ＝14350 ＝ ( 萬元 ) ， 高考題型突破 EX 2 ＝ 110 ＋ 910 ＝ 9( 萬元 ) ． 因?yàn)?EX 1 EX 2 ，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車． 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 題型三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 【 例 3 】 ( 2022 課標(biāo)全國(guó) Ⅱ ) 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出 1 t 該產(chǎn)品獲利潤(rùn) 500 元，未售出的產(chǎn)品，每 1 t 虧損 300 元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售 季度購(gòu)進(jìn)了 130 t 該農(nóng)產(chǎn)品．以 X ( 單位： t ,1 00 ≤ X ≤ 150) 表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量， T ( 單位：元 ) 表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)． 高考題型突破 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 題型三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 高考題型突破 (1) 將 T 表示為 X 的函數(shù)； (2) 根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn) T 不少于 57 000 元的概率； (3) 在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率 ( 例如：若需求量 X ∈ [100,1 10) ，則取 X ＝ 105 ，且 X ＝ 10 5的概率等于需求量落入 [100,1 10) 的頻率 ) ．求 T 的數(shù)學(xué)期望． 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 題型三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 高考題型突破 (1) 將 T 表示為 X 的函數(shù)； (2) 根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn) T 不少于 57 000 元的概率； (3) 在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率 ( 例如：若需求量 X ∈ [100,1 10) ，則取 X ＝ 105 ，且 X ＝ 10 5的概率等于需求量落入 [100,1 10) 的頻率 ) ．求 T 的數(shù)學(xué)期望． 思維啟迪 利潤(rùn) T 是由兩部分構(gòu)成的，一個(gè)是獲得利潤(rùn)，另一個(gè)是虧損，是否虧損與 x 的取值范圍有關(guān)，因此， T關(guān)于 x 的函數(shù)要用分段函數(shù)表示． 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 題型三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 (1) 將 T 表示為 X 的函數(shù)； (2) 根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn) T 不少于 57 000 元的概率； (3) 在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率 ( 例如：若需求量 X ∈ [100,1 10) ，則取 X ＝ 105 ，且 X ＝ 10 5的概率等于需求量落入 [100,1 10) 的頻率 ) ．求 T 的數(shù)學(xué)期望． 高考題型突破 解 ( 1) 當(dāng) X ∈ [ 100, 130) 時(shí)， T ＝ 500 X － 300( 130 － X ) ＝ 800 X － 39 0 00. 當(dāng) X ∈ [ 130, 150 ] 時(shí)， T ＝ 500 130 ＝ 65 0 00. 所以 T ＝????? 800 X － 39 0 00 ， 100 ≤ X 130 ，65 0 00 ， 130 ≤ X ≤ 150. ( 2) 由 ( 1) 知利潤(rùn) T 不少于 57 0 00 元當(dāng)且僅當(dāng) 120 ≤ X ≤ 150. 由直方圖知需求量 X ∈ [ 120, 150 ] 的頻率為 ，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn) T 不少于 57 0 00 元的概率的估計(jì)值為 . 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 題型三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 高考題型突破 (1) 將 T 表示為 X 的函數(shù)； (2) 根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn) T 不少于 57 000 元的概率； (3) 在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率 ( 例如：若需求量 X ∈ [100,1 10) ，則取 X ＝ 105 ，且 X ＝ 10 5的概率等于需求量落入 [100,1 10) 的頻率 ) ．求 T 的數(shù)學(xué)期望． ( 3) 依題意可得 T 的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 所以 ET ＝ 45 000 ＋ 53 000 ＋ 61 000 ＋ 65 000 ＝ 59 400 . 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 題型三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 高考題型突破 (1) 將 T 表示為 X 的函數(shù)； (2) 根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn) T 不少于 57 000 元的概率； (3) 在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率 ( 例如：若需求量 X ∈ [100,1 10) ，則取 X ＝ 105 ，且 X ＝ 10 5的概率等于需求量落入 [100,1 10) 的頻率 ) ．求 T 的數(shù)學(xué)期望． 思維升華 概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)． 它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性．統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題． 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 跟蹤訓(xùn)練 3 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名
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