【文章內容簡介】 18… 1998 共 333 個 ， 所以能被 6 整除的整數 則所求的概率為： ,)( 2022333?AP2011 概率統(tǒng)計 教案 AB 為“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除” .)(,)(: 2 0 0 0832 0 0 0250 ?? ABPBP同理得.)]()()([432022500120228325033311??????????? ABPBPAPp于是所求的概率為： 其中 B ={8, 16, … 2022 }, AB = {24, 48 …1992 } ， 2011 概率統(tǒng)計 教案 例 6 魔法學院假如將 15 名新生隨機地平均分配到葛來芬多、斯萊特林、拉文克勞 3 個學院中去，這 15 名新生中有 3 人是 哈利波特、榮恩 與 妙麗 。問： (1)他們 3 人被分配到 3 個不同的學院的概率是多少？ (2)他們 3 人被分配到同一個學院的概率是多少？ 解： 15名新生平均分配到 3 個學院中去的分法總數為： 55510515 CCC ??,!5 12345!5 678910!5 1112131415 ???????????????!5!5!5!15???2011 概率統(tǒng)計 教案 (1) 將 哈利波特、榮恩 與 妙麗 分配到 3 個學院，使每個學院都有一人的分法共有 3! 種。 種，)!!!(/! 44412他們 3 人被分配到 3 個不同的學院的分法總數為： )]!4!4!4/(!12[!3 ?于是所求的概率為： ..!!!!!!!!!!!!!/!!!!! 27470912555515444123555154441231 ????????p其余 12 名新生平均分配到 3 個學院中的分法共有 2011 概率統(tǒng)計 教案 三人分配在同一 學院 內 .!15!2 !5!123!5!5!5 !15/!5!5!2 !1232 ??? ?????p其余 12名新生，一個 學院 分 2名，另外兩 學院 各分 5名 (2)哈利波特、榮恩 與 妙麗 分配到同一個學院的概率為： 2011 概率統(tǒng)計 教案 例 7 某接待站在某一周曾接待過 12 次來訪，已知所有這 12 次接待都是在周二和周四進行的。問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？ 解 ：假設接待站的接待時間沒有規(guī)定，各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么， 12 次接待來訪者都在周二、周四的概率為 : 212/712=，即千萬分之三。 人們在長期的實踐中總結得到“ 概率很小的事件在一次實驗中幾乎是不發(fā)生的 ”（ 稱之為實際推斷原理 ）。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次實驗中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。 2011 概率統(tǒng)計 教案 幾何概型考慮的是有 無窮多個 、 等可能結果 的隨機試驗。 四、幾何概型 首先看下面的例子 : 會面問題 例 1 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時間內 , 在預定 地點會面 . 先到的人等候另一個人 , 經過時間 t ( tT ) 后離去 . 設每人在 0 到 T 這段時間內各時刻到 達該地是等可能的 , 且兩人到達的時刻互不牽連 . 求甲、乙兩人能會面的概率 . 2011 概率統(tǒng)計 教案 解 的時分別為甲、乙兩人到達設 yx ,刻 , 那么 .0,0 TyTx ???? 兩人會 面的充要條件 .tyx ??若以 x, y 表示平面上點的坐標 , 則 xoy txy ??tyx ???t ?T?T故所求的概率為 p ? 正方形面積陰影部分面積? 222 )(TtTT ?? ? .)1(1 2Tt??2011 概率統(tǒng)計 教案 一般，設某個區(qū)域 D (線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測 度 mD(長度，面積，體積 )。如果隨機實驗 E 相當于向區(qū)域內任意地取點，且取到每一點都是等可能的，則稱此類試驗為 幾何概型。 如果試驗 E 是向區(qū)域內任意取點，事件 A 對應于點落在 D 內的某區(qū)域 A，則 .)(DAmmAP ?2011 概率統(tǒng)計 教案 條件概率 獨立性 ?一 、 條件概率 ?二、乘法定理 ?三 、 全概率公式和貝葉斯公式 ?四 、 獨立性 2011 概率統(tǒng)計 教案 一、條件概率 . , 為反面為正面設 TH例 1 將一枚硬幣拋擲兩次 , 觀察其出現(xiàn)正反面的情況 . ,”“ HA 至少有一次為為設事件兩為設事件 “B次擲出同一面” . .發(fā)生的概率發(fā)生的條件下現(xiàn)求已知事件 BA分析 .} , , , { TTTHHTHHS ?，2142)( ??BP,},{,},{ TTHHBTHHTHHA ??,43)( ?AP )( ABP ,41 將事件 A 已經發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率記為 ,)( ABP31)( ?ABP .)( BP?)()(APABP?2011 概率統(tǒng)計 教案 )()()(BPABPBAP ?同理可得 為事件 B 發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率 . 定義 , 是兩個事件設 BA ,0)( ?AP且稱 )( ABP )( )( AP ABP?.發(fā)生的條件概率發(fā)生條件下事件為在事件 BA,)B( 0?P當2011 概率統(tǒng)計 教案 條件概率的性質： ? ? 01 ?ABPB ，有非負性：對任意事件? ? ；規(guī)范性： 12 ?ASP? ???????????????11213nnnnnABPABPBBB???則兩互不相容，兩，，事件可列可加性：如果隨機2011 概率統(tǒng)計 教案 例 2 一個盒子裝有 4只產品 , 其中有 3只一等品 , 二等品 . 從中取產品兩次 , 每次任取一只 , 作不放 回抽樣 . ,”“ 第一次取到的是一等品為設事件 A,”“ 第二次取到的是一等品為事件 B 試求條件概 .)( ABP率解 此為古典概型問題 . 先將產品編號 , 1,2,3號為 一等品 。 4號為二等品 . ,),( 表示第一次以 ji,號分別取到第 i第二次 .號產品第 j1只 的樣本空間為：試驗 E S ? ),2,1{( ),3,1( ),4,1( ),1,2(),3,2( ),4,2( ,? ),1,4( ),2,4( ,)}3,4(2011 概率統(tǒng)計 教案 A? ),2,1{( ),3,1( ),4,1( ),1,2( ),3,2( ),4,2( ),1,3( ),2,3( ,)}4,3(AB? ),2,1{( ),3,1( ),1,2( ),3,2( ),1,3( .)}2,3(由定義 , 得條件概率 )( ABP )( )( AP ABP? 129 126? .32?.)( ABP接含義求也可按照條件概率的直.A就是 ,9 個元素中有A ),1,2(),3,1(),2,1(其中只有,)2,3(),1,3(),3,2( B屬于故可得 )( ABP96? .32?,發(fā)生以后當事件 A 所有可能的結果的集合試驗 E2011 概率統(tǒng)計 教案 二、乘法定理 乘法定理 ,0)( ?AP設 則有 )( ABP ? ).()( APABP推廣 , 為事件設 CBA 0)( ?ABP且 則有 )( A B CP ? )( ABCP )( ABP .)( AP一般 , , 21 個事件為設 nAAA n?,2?n 且 ,0)( 121 ??nAAAP ?則有 )( 21 nAAAP ?? )( 121 ?nn AAAAP ? )( 2211 ?? nn AAAAP ?? )( 12 AAP ).( 1AP2011 概率統(tǒng)計 教案 例 3 ,只紅球設袋中裝有 每次自袋中任 取一只球 , 觀察其顏色然后放回 , 只與所并再放入 a取出的那只球同色的球 . 若在袋中連續(xù)取球四次 , 試求第一 、 二次取到紅球且第三 、 四次取到白球的概率 . 解 ,“)4,3,2,1( 次取到紅球第表示事件以 iiA i ?., 43 四次取到白球分別表示第三則 AA所求概率為 )( 4321 AAAAP? )( 3214 AAAAP )( 213 AAAP )( 1AAP )( 1AP? atr at 3?? ? ? atr t 2?? ? atr ar ??? ? .tr r?波利亞傳染病數學模型 2011 概率統(tǒng)計 教案 例 3’ 袋中有一個白球與一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，若取出白球，則除把白球放回外再加進一個白球，直至取出黑球為止．求取了 n次都未取出黑球的概率． ? ?次都未取出黑球取了設 nB ?? ? ? ?niiA i ，，次取出白球第 ?21??則 nAAAB ?21?由乘法公式，我們有 解： ? ? ? ?nAAAPBP ?21?? ? ? ? ? ? ? ?121213121 ????? nn AAAAPAAAPAAPAP ?1433221?????? nn?11?? n2011 概率統(tǒng)計 教案 例 4 設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 )()|()|()()( 112213321 APAAPAAAPAAAPBP ??解： 以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透鏡第 i 次落下打破”， 以 B 表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有： .))()(( 200 321110711091 ??