【文章內(nèi)容簡介】 iiiE X x P x?? ?（ ） ( ) ( )E X x f x d x???? ?（ ） 《 通信原理 》 ? 數(shù)學期望的性質如下： （ 1）若 C為一常數(shù)，則常數(shù)的數(shù)學期望等于常數(shù)，即 （ 2）若有兩個隨機變量 X和 Y，它們的數(shù)學期望 和 存在，則 也存在，且有 我們把上式（ ）推廣到多個隨機變量的情況。若隨機變量 的數(shù)學期望都存在，則有 （ 3）若隨機變量 X和 Y相互獨立，且 和 存在，則 也存在，且有 ()EX ()EY()E X Y?()E C C? （ ） ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ? （ ） 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )nnE X X X E X E X E X? ? ? ? ? ? ?（ ） ()EX ()EY ()E XY( ) ( ) ( )E XY E X E Y? （ ） 《 通信原理 》 方差 ? 方差反映隨機變量的取值偏離均值的程度。方差定義為隨機變量 X與其數(shù)學期望 之差的平方的數(shù)學期望。一般記做 ,也常記為 ， ? 對于離散隨機變量， ? 對于連續(xù)隨機變量 ()EX（ ） ? ? 2[ ] ( )iiiD X x E X P???? ? 2[ ] ( ) ( )iD X x E X f x d x??????? ? ? ?? ? ? ? ? ?XEXEXEXEXD 222 ????? ?XD 2?《 通信原理 》 方差的性質如下： （ 1）常數(shù)的方差等于 0，即 （ 2）設方差存在， C為常數(shù)，則 （ 3）設 和 都存在，且 X和 Y相互獨立，則 對于多個獨立的隨機變量 ，不難證明有 [ ] 0DX ? （ ） [ ] [ ]D X C D X?? 2( ) ( )D C X C D X?[]DX []DY12, , , nX X X[ ] ( ) ( )D X Y D X D Y? ? ? （ ） 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )nnD X X X D X D X D X? ? ? ? ? ? ?（ ） 《 通信原理 》 n階矩 ? 矩是隨機變量更一般的數(shù)字特征。上面討論的數(shù)學期望和方差都是矩的特例。隨機變量 X的 n階矩（又稱 n階原點矩）定義為： 顯然，上面討論的數(shù)學期望 就是一階矩。它常用a表示。即 。 ()EX()a E X?( ) ( )nnE X x f x d x???? ?（ ） 《 通信原理 》 ? 除了原點矩外，還定義相對于均值 a的 n階矩為 n階中心矩，即 顯然，隨機變量的二階中心矩就是它的方差，即 [ ( ) ] ( ) ( )nnE X a x a f x d x???? ? ??（ ） ? ? ? ? 2 2D X E X a ???? ? ???《 通信原理 》 獨立、正交和相關： 獨立： 正交： 不相關： ? ? ? ? ? ?yfxfyxf YXXY ?,? ? 0?XYE? ? ? ? ? ? ? ? 0??? YEXEXYEXYC o v《 通信原理 》 隨機過程的概念 ? 隨機變量：一個取值隨機的量。 ? 隨機過程：在時間上不斷變化的隨機變量的集合。 《 通信原理 》 ? 我們定義 隨時間變化的無數(shù)個隨機變量的集合為隨機過程 。 ? 隨機過程的基本特征是： 它是時間 t的函數(shù)，但在任一確定時刻上的取值是不確定的，是一個隨機變量 ；或者，可將它看成是一個事件的全部可能實現(xiàn)構成的總體，其中每個實現(xiàn)都是一個確定的時間函數(shù)，而隨機性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個實現(xiàn)是不確定的。 ? 通信過程中的隨機信號和噪聲均可歸納為依賴于時間 t的隨機過程。 《 通信原理 》 ? 由此從數(shù)學的角度，我們給出隨機過程這樣的定義：設 (k=1, 2, ?) 是隨機試驗，每一次試驗都有一個時間波形（稱為樣本函數(shù)或實現(xiàn)），記作 ，所有可能出現(xiàn)的結果的總體 就構成一隨機過程，記作 。無窮多個樣本函數(shù)的總體稱為隨機過程，如圖： kS()ixt? ?12( ) , ( ) , , ( ) ,nx t x t x t()t?《 通信原理 》 ? 例如，設有 n臺性能相同的通信機，它們的工作條件也相同。現(xiàn)用 n部記錄儀同時記錄各部通信機的輸出噪聲波形。測試結果將會表明，得到的 n張記錄圖形并不因為有相同的條件而輸出相同的波形。恰恰相反，即使 n足夠的大，也找不到兩個完全相同的波形。這就是說，通信機輸出的噪聲電壓隨時間的變化是不可預知的，因而它是一個隨機過程。這樣的一次記錄就是一個實現(xiàn)，無數(shù)個記錄構成的總體就是一個隨機過程。 《 通信原理 》 隨機過程的統(tǒng)計特征 ? 隨機過程的兩重性，使我們可以用描述隨機變量的方式來描述它。 ? 設 表示一個隨機過程，在任意給定的時刻 ，其取值 是一個一維分布的隨機變量。而隨機變量的統(tǒng)計特性可以用概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來表示，定義隨機過程 的一維分布函數(shù) ??t? 1t? ?1t???t?1 1 1 1 1( , ) [ ( ) ]F x t P t x???（ ） 《 通信原理 》 ? 如果 對 的偏導數(shù)存在，即有 則稱 為 的一維概率密度函數(shù)。 ? 顯然，隨機過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機過程在各個 孤立時刻 的統(tǒng)計特性，而沒有說明隨機過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要在足夠多的時間上考慮隨機過程的多維分布函數(shù)。 1 1 1( , )F x t 1x1 1 1( , )f x t ()t?1 1 11 1 11( , ) ( , )F x t f x tx? ??（ ） 《 通信原理 》 任意給定 ，則 的 n維分布函數(shù)被定義為 如果存在 則稱 為 的 n維概率密度函數(shù)。 ? 顯然， n越大，對隨機過程統(tǒng)計特性的描述就越充分，但問題的復雜性也隨之增加。在一般實際問題中，引用二維概率密度函數(shù)即可解決問題。 12, , , nt t t ()t?1 2 1 2( , , .. ., 。 , , .. ., )n n nf x x x t t t()t?1 2 1 2 1 1 2 2( , , .. ., 。 , , .. ., ) ( ( ) , ( ) , .. ., ( ) )n n n n nF x x x t t t P t x t x t x? ? ?? ? ? ?（ ） 1 2 1 21 2 1 212( , , . . . , 。 , , . . . , ) ( , , . . . , 。 , , . . . , )n n n nn n nnF x x x t t t f x x x t t tx x x? ?? ? ?（ ） 《 通信原理 》 二、隨機過程的數(shù)字特征 ? 在許多場合，除關心隨機過程的 n維分布外，還需要關心隨機過程的數(shù)字特性，比如，隨機過程的數(shù)學期望、方差及相關函數(shù)等。 數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值） 隨機過程 的數(shù)學期望定義為 ? 并記為 。這里，它本該在某一時刻 t1上求得，因此數(shù)學期望與 t1有關。然而， t1是任意取得，故可把 t1直接寫成 t。所以，隨機過程的數(shù)學期望被認為是時間 t的函數(shù)。 ()t?[ ( ) ] ( )E t a t? ?1 1 1[ ( ) ] ( , )E t x f x t d x????? ?（ ） 《 通信原理 》 方差 隨機過程 的方差定義為 也常記為 ，顯然，方差也是時間的函數(shù)。 ()t?? ?()Dt? 2()t?2 2 2221[ ( ) ] { ( ) [ ( ) ] } [ ( ) ] [ ( ) ]( , ) [ ( ) ]D t E t E t E t a tx f x t dx a t? ? ? ????? ? ? ????（ ） 《 通信原理 》 自協(xié)方差和自相關函數(shù) ? 衡量同一隨機過程在任意兩個時刻上獲得的隨機變量的統(tǒng)計相關特性時，常用自協(xié)方差和自相關函數(shù)來表示。 自協(xié)方差函數(shù)定義為 ? 式中， 與 是任取的兩個時刻； 與 為在 及 時刻得到的數(shù)學期望； 為二維概率密度函數(shù)。 ? ?1 2 1 1 2 21 2 1 21 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ][ ( ) ( ) ] ( ) ( )[ ( ) ] [ ( ) ] ( , 。 , )B t t E t a t t a tE t t a t a tx a t x a t f x x t t d x d x??????? ? ? ?? ? ???? ? ??? （ ） 1t 2t 1()at 2()at 1t2t 2 1 2 1 2( , 。 , )f x x t t《 通信原理 》 ? 自相關函數(shù)定義為 若 ，并令 ，則 可表示為 ? 這說明，相關函數(shù)依賴于起始時刻（或時間起點） t1及時間間隔 τ ，即相關函數(shù)是 t1和 τ 的函數(shù)。 ? 自協(xié)方差函數(shù)與自相關函數(shù)之間的關系 : 21tt? 21tt ??? 12( , )R t t 11( , )R t t ??1 2 1 21 2 2 1 2 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ]( , 。 , )R t t E t tx x f x x t t dx dx?????? ???? ??（ ） 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )B t t R t t a t a t?? （ ） 《 通信原理 》 互協(xié)方差函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)也可引入到兩個或更多個隨機過程中去，從而得到互協(xié)方差函數(shù)和互相關函數(shù)。 設 和 分別表示兩個隨機過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為 互相關函數(shù)定義為 ()t? ()t?1 2 1 1 2 2( , ) {[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] }B t t E t a t t a t? ? ? ???? ? ?（ ） 1 2 1 2( , ) [ ( ) ( ) ]R t t E t t?? ???《 通信原理 》 ? 若對于任意 ， 有 ，則稱 和 不相關 。 ? 相互獨立的 和 必定不相關；反之，不一定。但對于高斯隨機過程，不相關和統(tǒng)計獨立是等價的。 ? 對于一個隨機過程，相關性判斷的準則也類似，如果 ，則表示，在 t1,t2兩個時刻的隨機變量不相關。 1t 2t 12( , ) 0B t t?? ? ()t?()t?()t?()t?? ? 0, 21 ?ttB《 通信原理 》 提示 ?隨機過程是 t的函數(shù)，而一旦 t取定，則隨機過程蛻變?yōu)殡S機變量； ?在計算隨機過程的統(tǒng)計特性時，常常把 t看作常數(shù)對待。 《 通信原理 》 [例 ]設隨機過程 可表示成 ，式中 是一個離散隨機變量，且 ， 試求 及 。 ()t? ( ) 2 c os ( 2 )tt? ? ???? ( 0 ) 1 / 2P ? ?? ( / 2) 1 / 2P ????(1)E? (0,1)R?解：在 t=1時， 的數(shù)學期望 在 ， 時， 的自相關函數(shù) ()t?1 0t ? 2 1t ? ()t?? ?