【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2(1??? ?an naunn nn??????? 2l i ml i m因?yàn)閚n nnaaa??? ????1)2(111時(shí)，原級(jí)數(shù)化為當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)解 .)2(,0)2(l i m12 發(fā)散所以因?yàn)閚nnn nnenn ?????? ????返回 上頁(yè) 下頁(yè) 練習(xí) ： 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 : ????1!nnnnnnnxn )2(.2 13???nn n??? 1)1(a rc s i .222時(shí)，發(fā)散時(shí)，發(fā)散，時(shí)，收斂，???xxx發(fā)散 收斂 euunnn3l i m 1 ????因?yàn)榉祷? 上頁(yè) 下頁(yè) )10()(122 ????????aanann的斂散性判別級(jí)數(shù)?? ???? ???????1 22122 2)(nn ananaanannannaanaanana 122222222222 ?????????因?yàn)槔?16 解法一 發(fā)散，nan121 ????.發(fā)散由比較判別法知原級(jí)數(shù)解法二 ?? ???? ???????1 22122 2)(nn ananaanan返回 上頁(yè) 下頁(yè) ananannananan ??????? ?? 22222l i m12因?yàn)閍nanaan2112l i m22???????.)(11221發(fā)散發(fā)散，所以而 ?????????nnanann返回 上頁(yè) 下頁(yè) 一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散性判別 第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別 其中 un≥0(n=1,2,…). ???????????432111)1( uuuuunnn 定義 如果在任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 中 ,正負(fù)號(hào)相間出現(xiàn) ,這樣的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)就叫做 交錯(cuò)級(jí)數(shù) .它的一般形式為 ???1nnu???????????43211)1( uuuuu nnn或返回 上頁(yè) 下頁(yè) 定理 1(萊布尼茨判別法 ) 若 交錯(cuò)級(jí)數(shù) 滿(mǎn)足 ?????11)1(nnn u0lim)2( ??? nn u則級(jí)數(shù) 收斂 ,且其和 s≤u1. (1) un?un+1 ?????11)1(nnn u 滿(mǎn)足定理 1的條件 (1)和 (2)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)稱(chēng)為 萊布尼茨型 級(jí)數(shù)． 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 證 根據(jù)項(xiàng)數(shù) n是奇數(shù)或偶數(shù)分別考察 sn． 設(shè) n為偶數(shù) ,于是 sn=s2m=u1?u2+u3?…+u2m?1?u2m, 將其每?jī)身?xiàng)括在一起 s2m=(u1?u2)+(u3?u4)+…+( u2m?1?u2m)． 每個(gè)括號(hào)內(nèi)的值都是非負(fù)的 .如果把每個(gè)括號(hào)看成是一項(xiàng) ,這就是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的前 m項(xiàng)部分和 .顯然 ,它是隨著 m的增加而單調(diào)增加的 ． 返回 上頁(yè) 下頁(yè) s2m≤u1,即部分和數(shù)列有界． ss mm ??? 2lim當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)把部分和寫(xiě)為 sn=s2m+1=s2m+u2m+1, susss mmmmmnn ???? ???????? )(limlimlim 12212所以 ,不管 n為奇數(shù)還是偶數(shù) ,都有 ss nn ???lim故交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂． 由于 s2m≤u1,而 ,因此根據(jù)極限的保號(hào)性可知 ,有 s≤u1． ss nn ???lim如果把部分和 s2m改寫(xiě)為 s2m=u1?（ u2?u3)?… ?(u2m?2?u2m?1)?u2m, 返回 上頁(yè) 下頁(yè) ???????? ??111110)1()2(1)1()1(.nnnnn nn散性判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂.1,01lim),2,1(111)1(???????snnnn n其和級(jí)數(shù)收斂根據(jù)萊布尼茨判別法，因?yàn)??.101,010lim),110(10110)2(1??????????snnnnnnnnn其和級(jí)數(shù)收斂根據(jù)萊布尼茨判別法且利用易證例 1 解 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 2 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . nnnn ln)1(11?????)3(0ln1)(,ln)( ?????? xx xxfx xxf 則令.)(3 單調(diào)遞減時(shí)，所以當(dāng) xfx ?解 1u)3n(ln)(???? nn unnnf 單調(diào)遞減，即從而，01l i mlnl i m)(l ????????? xxxxfimnxx又0lnl i ml)(l i m ????????? nnuimnfnnnn所以.ln)1(1n1 收斂由萊布尼茲判別法知nnn?????返回 上頁(yè) 下頁(yè) 練習(xí) ： 判斷級(jí)數(shù) 的斂散性 . 21112)1(nnnn?? ????返回 上頁(yè) 下頁(yè) 證 因?yàn)?un≤|un|, 所以 0≤|un|＋ un≤2|un|． 已知 收斂 ,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知 , 收斂， ???1nnu????1)(nnn uu從而 收斂． ?????????11])[nnnnnn uuuu2定理 .,11收斂則收斂若 ?????? nnnn uu二、 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性判別法 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 1定義.,||,111條件收斂則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散而級(jí)數(shù)收斂如果級(jí)數(shù)?????????nnnnnnuuu,||11絕對(duì)收斂則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂如果級(jí)數(shù) ?????? nnnn uu返回 上頁(yè) 下頁(yè) ??? 12 .c osn nnx 的收斂性判別級(jí)數(shù),|c os|,1,1|c os|121222也收斂所以級(jí)數(shù)收斂而級(jí)數(shù)因?yàn)???????nnnnxnnnnx例 3 解 ??? 12 .c os,2n nnx 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)知由定理返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 4 判斷級(jí)數(shù) 是否收斂，若收斂，判斷是絕 對(duì)收斂還是條件收斂 . ??? ?1 3 1c osn nn23333111n11c o sunnnnn ??????因?yàn)?11n1n 23 收斂收斂，所以而 ??????nun.1c os1n 2收斂，且為絕對(duì)收斂由絕對(duì)收斂判別法知， ??? ?nn解 返回 上頁(yè) 下頁(yè) ???1nnu???1nnulim nn u?? lim nn u?? 特別值得注意的是，當(dāng)我們運(yùn)用達(dá)朗貝爾比 值判別法或柯西根值判別法來(lái)判別正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是發(fā)散時(shí)，可以斷言， 也一定發(fā)散．這是因 ≠0，從而有 ≠0． 為此時(shí)有 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 5 判定級(jí)數(shù) 的斂散性 . 2)11(21)1(1nnnn n?????2)11(2111nnnnn nu ?? ??????因?yàn)?2)11(21l i ml ????????enuimnnn nn而.1n發(fā)散所以 ???nu.從而原級(jí)數(shù)發(fā)散解 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 6 討論級(jí)數(shù) 的斂散性 . 解 nnn nu ?s i n111n?? ?????因?yàn)?s i ns i n1ns i nl i ml 11 ??????????????nnnnnnnuuim而.,1si2k21n收斂于是時(shí)，當(dāng) ?????? nun ???? .從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?nn ns in11???.,12k21發(fā)散時(shí)，原級(jí)數(shù)化為當(dāng) ?????n n???.,1)1(22n1收斂時(shí)，原級(jí)數(shù)化為當(dāng) nkn?????? ???返回 上頁(yè) 下頁(yè) 練習(xí) ： 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 : ??? ?1 )1l n(n nnnnn nn !3)1(.21?????nnnnn5s i n)1(.32)1(1????? ? ??? 132s in.4n nn ?返回 上頁(yè) 下頁(yè) ???????111limnn.11n散極限形式知，原級(jí)數(shù)發(fā)發(fā)散，由比較判別法的而 ??? n??? ?1 )1ln(n n解 )1l n (l i m1)1l n (1l i m??????? nnnnnn因?yàn)?11)1l n(1??? nn 發(fā)散??? ?1 11n n方法一 方法二 返回 上頁(yè) 下頁(yè) nnnn nn !3)1(.21?????,!31n 1 3? ???????nnn nnu!3n)1()!1(3l i ml111nnnuuimnnnnnnnn ??? ??? ???????因13)1(3l i m)1()1(3l i m1 ????????????? ennnnn nnnnn.1n發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散所以 ???nu解 返回 上頁(yè) 下頁(yè) nnnnn5s i n)1(.3 2)1(1????? ????????11n 5s i nnnnnu?因?yàn)?收斂，且而 ????1n 51,515snnnnin ?收斂，由比較判別法知， ??? 1n 5s i nnn?.從而原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂解 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 設(shè) ???? ???????? 1n11212nababa nnnnnnnn 及都收斂，證明與02)( 222 ????? nnnnnn bababa因?yàn)?(21a 22 nnnn bab ??所以收斂，又因?yàn)??????? 1212 ,nnnn ba .)a(21 221也收斂所以 nnnb????.11絕對(duì)收斂收斂，從而于是 ?????? nnnnnn baba,111?? ??????nnnnnn nabanb 則令.11絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂，所以因?yàn)??????? nnnnn naba證 均絕對(duì)收斂 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 第四節(jié)