【正文】 xxSxbaxbaxbxannnnnnnnnnnnnn??????????????????收斂半徑，的和函數(shù)為 ?則 (1) 設(shè) 的收斂半徑為 ，和函數(shù)為 ； 的收斂半徑為 ，和函數(shù)為 . ???0nnn xb???0nnn xa2R1R)(x?)(xs返回 上頁(yè) 下頁(yè) ...)......xx202211020211202210000000?????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnxbabababababababababaxcxcxbxa（）（）（其中，）（...)()(............2021120221000n10n10???????????????xbababaxbababaxbxbbxaxaa nn ））（（解釋?zhuān)? 返回 上頁(yè) 下頁(yè) ????121 }Rm i n{ Rnnn Rxc ，的收斂半徑?????????????????????01132210n100. . .. . .. . .. . .nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaaxxax ）（如，)()( xxS ??和函數(shù)為返回 上頁(yè) 下頁(yè) )0(,)3(000?? ?????????nnnnnnnnnn bxdxbxa可由待定系數(shù)法求得。其中， nd??? 021nnn RRxd 小得多。和的收斂半徑一般要比).(/)( xxS ?和函數(shù)為?? ????? ?0n10n nnnnxaxxa如，返回 上頁(yè) 下頁(yè) (4) 逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù) 若冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為 r,則在 (?r,r)內(nèi)和函數(shù) s(x)可導(dǎo) ,且有 ???0nnn xa????????????????0100)()()(nnnnnnnnn nxaxaxaxs2. 分析運(yùn)算性質(zhì) 可見(jiàn) 冪級(jí)數(shù)在其收斂開(kāi)區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) (5) 逐項(xiàng)積分 若冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑為 r,則和函數(shù)在 (?r,r)上可積 ,且有 ?? ?? ?????????????01000001 ddd)(nnnnxnnxnnnxxnaxxaxxaxxs???0nnn xa可見(jiàn) 冪級(jí)數(shù)在其收斂開(kāi)區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) ,)1()(11??????nnnnxxS則有,0)0( ?s顯然兩邊積分得 ),1l n ()( 0 xdttsx ????),11(,1 11)( 2 ?????????? xxxxxs ?. )11( )1( 11 ???????? xnxnnn 的和函數(shù)求級(jí)數(shù)例 1 解 ),( xS設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為返回 上頁(yè) 下頁(yè) . 1)1(,111 收斂時(shí)又當(dāng) ??????nnnx).11(),1l n ()1(11 ??????? ???? xxnxnnn),1l n ()( xxs ???),1l n ()0()( xsxs ???所以返回 上頁(yè) 下頁(yè) 例 2 求級(jí)數(shù) 的收斂域與和函數(shù) . ? ? nnxn )2(11????211222l i ml i m11 ???????????? nnaa nnnnnn?因）收斂區(qū)間為（所以 2,2,21 ?? ?R?????????????????????0nn0n0nn2,22x1n1n21n12）的收斂域?yàn)椋ǎㄋ?，），發(fā)散（時(shí)，原級(jí)數(shù)化為當(dāng)），發(fā)散（）（時(shí)，原級(jí)數(shù)化為當(dāng)xx解 返回 上頁(yè) 下頁(yè) ? ?),2,2(,)(2),2,2(,)(1121),2,2(,)(21)1(),2,2(),(2)1(2,2)S(0010010000??????????????????????????????????? ????????????xdxxSxxdxxSxnnxdxxSdxxnxxSxnxxxnnnxnnnxnxnnnn），則（，設(shè)和函數(shù)為返回 上頁(yè) 下頁(yè) )2,2(,)2(422)()2,2(,2221)(20?????????????????????xxxxxSxxxxxdxxSx返回 上頁(yè) 下頁(yè) 的考慮到級(jí)數(shù) nnxnn????1)1(收斂區(qū)間為 (1,1), ,)1(2)1( )()1()( 32111xxxxxxxxnnxsnnnn??????????? ???????則8212 )1( 1????????????snnnn故. 2 )1( 1????nnnn 的和求例 3 解 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 思考 求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù) ????1122nnnx)1( ?x)1(),(n21n12 ??????? xxSx n解：設(shè))1(,1)()(21n2)(2201n 1n220????????? ??????xxxdsxSxxndsxSxnnx則，返回 上頁(yè) 下頁(yè) ???????????? 221)(xxxS)1()1(2)1()1()1(2222222?????????xxxxxxxx，)1(,)1(2)(2221n12 ???????? xxxxSxn n 的和函數(shù)為所以返回 上頁(yè) 下頁(yè) 我們已經(jīng)知道，給定一個(gè)冪級(jí)數(shù) ，則在它的 收斂域范圍內(nèi)存在一個(gè)函數(shù) ，使得 ???1nnn xa)(xf.),(1收斂域?????xxfxa nnn使得是否存在一個(gè)冪級(jí)數(shù)反之，給定一個(gè)函數(shù) ,),(1???nnn xaxf????1)(nnn xaxf這就是下節(jié)要研究的目標(biāo) . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 泰勒 (Taylor)公式 如果函數(shù) f(x)在 x=x0的某一鄰域內(nèi) ,有直到 n+1階的導(dǎo)數(shù) ,則在這個(gè)鄰域內(nèi)有如下公式： 稱上式為泰勒公式 .其中 rn(x)稱為余項(xiàng) . )()(!)( )(!2)())((39。)()(00)(200000xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn????????????如果令 x0=0,就得到 稱上式為 馬克勞林公式 . )(! )0(!2 )0()0()0()()(2 xrxnfxfxffxfnnn????????? ?返回 上頁(yè) 下頁(yè) 顯然，若 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)， 則相應(yīng)地有 ?? ??????????nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)( )(!2)())((39。)(00)(200000稱上式為 泰勒級(jí)數(shù) . )(xf0x如果令 x0=0,就得到 稱上式為 馬克勞林級(jí)數(shù) . ?? ???????? nnxnfxfxff ! )0(!2 )0()0()0()(2返回 上頁(yè) 下頁(yè) 現(xiàn)在的問(wèn)題是 ?? ???????????nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)( )(!2)())((39。)()(00)(200000是否成立 . ?? ????????? nnxnfxfxffxf ! )0(!2 )0()0()0()()(2是否成立 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 定理 如果函數(shù) f(x)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù) ,且在此鄰域內(nèi)的泰勒公式中的 余項(xiàng)以零為極限 (當(dāng)n→∞ 時(shí) ),那么 ,函數(shù) f(x)就可展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) . ?? ???????????nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)( )(!2)())((39。)()(00)(2000000x返回 上頁(yè) 下頁(yè) 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 利用 泰勒公式 或 馬克勞林公式 將函數(shù) f(x)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法 ,稱為 直接展開(kāi)法 ． 例 1 將函數(shù) f(x)=ex展開(kāi)成 x的冪級(jí)數(shù) . 解 f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為 f(n)(x)=ex(n=1,2,… ), 故 f(0)=1, f(n)(0)=1 (n=1,2,… ), 于是得冪級(jí)數(shù) ?? ??????!!3!2132nxxxx n它的收斂半徑為 R=+∞. 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 對(duì)于任何有限的數(shù) x,余項(xiàng)的絕對(duì)值為 )!1(e)!1()(11???????nxxnexR nxnn? (?在 0與 x之間 ) 因 e|x|有限 ,而 )!1(|| 1??nx n為收斂級(jí)數(shù) ?????01)!1(||nnnx所以當(dāng) ??n 時(shí) , 0)!1( ||e1|| ????nx nx即當(dāng) 的一般項(xiàng) , ??n 時(shí) , 有 0|)(| ?xRn,于是得展開(kāi)式 : )(!!3!21e32????????????? xnxxxxnx ??返回 上頁(yè) 下頁(yè) . s i n)( 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成將 xxxf ?),2s i n()()( ?nxxf n ?? ,2s i n)0()( ?nf n ?,0)0()2( ?? nf ,)1()0()12( nnf ??? ),2,1,0( ?n),(1)2s i n ()( )( ???????? xnxxf n ?且).,( )!12()1