【文章內(nèi)容簡介】 2 3 2 33 4 7 , 5 85 8 9 0 1AB??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?，求 X ． 解：由方程 BAXX ?? ，得 ()I A X B??，且 1 2 33 5 75 8 1 0IA?????????? 利用初等行變換得 ???????????????????????????1055200132100013211001085010753001321 ?????????????????????????????121100255010364021121100013210001321 ????????????????121100255010146001 即 1()IA???6 4 15 5 21 2 1??????????? 由矩陣乘法得 16 4 1 2 3 8 1 3( ) 5 5 2 5 8 1 5 2 31 2 1 0 1 8 1 2X I A B???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 5. 設矩陣1 1 5 1 21 1 2 3 53 1 8 1 91 3 9 7 8A???????? ??????，求矩陣 A 的秩． 解：用初等行變換將矩陣化為階梯形 ???????????????????????????????????68144034720347202151187931918135321121511 1 1 5 1 20 2 7 4 30 0 0 0 00 0 0 0 0???????????? 由此可知矩陣的秩為 2． 10 6. 求向量組 ? ?1 1 , 3 , 2 , 1 , 1? ? ? ? ?， ? ?2 3 , 8 , 4 , 1, 0? ? ? ? ?， ? ?3 2 , 1, 4 , 2 , 1? ? ? ?，? ?4 1, 2 , 6 , 1, 2? ? ? ? ?的秩，并求該向量組的一個極大無關組． 解：將向量組組成的矩陣化為階梯形 1 3 2 1 13 8 4 1 02 1 4 2 11 2 6 1 21 3 2 1 10 1 2 2 30 5 8 0 30 5 8 0 3? ? ?? ? ?? ?? ? ??????????????? ? ??? ?? ????????????? 1 3 2 1 10 1 2 2 30 0 2 1 0 1 20 0 0 0 0? ? ??????? ??? 由此可知該向量組的秩為 3，且 321 , ??? 是一個極大無關組． 7. 分別說明當 ab, 取何值時，線性方程組 x x x xx x x xx x x xx x x ax b1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 43 12 7 2 24 3 2 12 4 8? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????? 無解、有唯一解、有無窮多解．在有無窮多解的情況下求出一般解． 解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 1 3 1 1 12 7 2 1 21 4 3 2 12 4 81 3 1 1 10 1 0 1 00 1 2 3 00 2 6 2 2? ?? ? ????????????????? ???? ?????????????a b a b ?? ??? ??????????????? ??? ?????????????1 3 1 1 10 1 0 1 00 0 2 2 00 0 6 4 21 3 1 1 10 1 0 1 00 0 2 2 00 0 0 2 2a b a b ? 當 a b? ?2 2, 時，方程組無解。當 a?2 時，方程組有唯一解。當 a b? ?2 2, 時，方程組有無窮多解。 在方程組有無窮多解的情況下，一般解為 x xx xx x1 42 43 41 5? ????????? （其中 x4 為自由未知量） 8. 求線性方程組 ????????????????????????103512527496372224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx 的全部解． 11 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ??????????????????????????????? ???20210220202102201015110211211035125271496137221121 ?????????????????????????????????????0000000000111011111510112119111010000000000101511021121 此時齊次方程組化為 ???????????432431111115119111xxxxxx 分別令 0,1 43 ?? xx ，和 1,0 43 ?? xx ，得齊次方程組的一組基礎解系 ??????? ?? 011151111X ????????? 101111192X 令 0,0 43 ?? xx ，得非齊次方程組的一個特解 ????????? 0011101120X 由此得原方程組的全部解為 22110 XkXkXX ??? （其中 21,kk 為任意常數(shù)） 9. 設齊次線性方程組 0?AX 的系數(shù)矩陣經(jīng)過初等行變換，得 ?????????????000023200102?A 求此齊次線性方程組的一個基礎解系和通解． 解： 因為 ???????????????????????000012/31002/101000023200102 得一般解： ?????????4323123 21xxxxx （其中43,xx 是自由元） 12 令 0,2 43 ?? xx ，得 ? ???? 02311X ； 令 1,0 43 ?? xx ，得 ? ???? 10102X ． 所以， ? ?21,XX 是 方程組的一個基礎解系． 方程組的通解為： ?X 2211 XkXk ? ，其中 21,kk 是任意常數(shù)． 10．當 ? 取何值時，線性方程組 ???????????????????1479637222432143214321?xxxxxxxxxxxx 有解，在有解的情況下求方程組的全部解． 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 ???????????????????????????????19102220105111021211114796371221211?? ???????????????????????????????1000010511108490110000105111021211?? 由此可知當 1?? 時，方程組無解。當 1?? 時，方程組有解。 此時齊次方程組化為 ??? ?? ???432431 511 49 xxx xxx 分別令 x x3 41 0? ?, 及 x x3 40 1? ?, ，得齊次方程組的一個基礎解系 ? ? ? ??????? 1054,01119 21 XX 令 x x3 40 0? ?, ，得非齊次方程組的一個特解 ? ???? 001080X 由此得原方程組的全部解為 X X k X k X? ? ?0 1 1 2 2 （其中 k k1 2, 為任意常數(shù)） 11. 假設 BA, 為兩事件，已知 )(,)(,)( ??? ABPBPAP ，求 )( BAP ? ． 解： )()()( ???? ABPAPBAP )()()( ????? BAPBPABP )()()()( ????? ABPBPAPBAP 12. 一批產(chǎn)品分別來自甲、乙、丙三個廠家，其中 50%來自甲廠、 30%來自乙廠、 20%來自丙廠，已知這三個廠家的次品率分別為 ， 和 ?，F(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，求取出的產(chǎn)品是合格品的概率 . 解： 設如下事件： A ：“產(chǎn)品來自甲廠” B ：“產(chǎn)品來自乙廠” C ：“產(chǎn)品來自丙廠” D ：“產(chǎn)品是合格品” 由全概公式有 P D P A P D A P B P D B P C P D C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? 13 0 5 0 01 0 3 0 02 0 2 0 04 0 019. . . . . . .? ? ? ? ? ? 由對立事件的關系可知 P D P D( ) ( ) . .? ? ? ? ?1 1 0 019 0 981 13. 一 袋中有 10 個球，其中 3 個黑球 7 個白球．今從中依次無放回地抽取 兩 個，求第 2 次抽取出的是黑球的概率 . 解： 設如下事件： 1A ：“第 1 次抽取出的是黑球” 2A ：“第 2 次抽取 出的是黑球” 顯然有103)( 1 ?AP，由全概公式得 )()()()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP ?? 1039310792103 ????? 14. 已知某批零件的加工由兩道工序完成，第一道工序的次品率為 ，第二道工序的次品率為 ，兩道工序的次品率彼此無關，求這批零件的合格率 . 解： 設如下事件： A ：“第一道工序加工的零件是次品” B ：“第二道工序 加工的零件是次品” C ：“零件是合格品” 由事件的關系有 C A B? ? 已知 AB, 相互獨立，由加法公式得 P C P A P B P AB P A P B P A P B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? 0 3 9 ????? 由對立事件的關系可知 )(1)( ????? CPCP 15. 設??? ??? ? 00 0e2)(~ 2 xxxfX x，求 )41()1( ??? XP ；（ 2） )3( ??XP ；（ 3） )10( ??XP . 解： （ 1） ??? ???????? 40 20141 de2d0d)()41( xxxxfXP x 8e1 ??? （ 2） 0d0d)()3( 33 ????? ?? ?????? xxxfXP （ 3） 1d2ed0d)()10(0 201010 ?????? ??? ?????? xxxxfXP x 1