【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 b, x0 取正負(fù)值的 8 種不同情況，討論解曲線的單調(diào)性及 t??時(shí)的行為。用MATLAB畫出解曲線圖形。將它們合理分類。 7 (溫度過程 )夏天把開有空調(diào)的室內(nèi)一支讀數(shù)為 20℃的溫度計(jì)放到戶外， 10 分鐘后讀 ℃ , 第一章 MATLAB 入門 15 再過 10 分鐘后讀數(shù) ℃。建立一個(gè)較合理的模 型來推算戶外溫度。 8 (廣告效應(yīng) )某公司生產(chǎn)一種耐用消費(fèi)品，市場(chǎng)占有率為 5%時(shí)開始做廣告，一段時(shí)間的市場(chǎng)跟蹤調(diào)查后，該公司發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)購買人口百分比的相對(duì)增長率與當(dāng)時(shí)還沒有買的百分比成正比，且估得此比例系數(shù)為 。 (1) 建立該問題的數(shù)學(xué)模型，分別求其解析解和數(shù)值解，并作比較； (2) 廠家問：要做多少時(shí)間廣告，可使市場(chǎng)購買率達(dá)到 80%？ 9 (腫瘤生長 ) 腫瘤大小 V 生長的速率與 V 的 a 次方成正比，其中 a 為形狀參數(shù)， 0?a?1。而其比例系數(shù) K 隨時(shí)間減小，減小速率又與當(dāng)時(shí)的 K 值成正比，比例系數(shù)為環(huán) 境參數(shù) b。設(shè)某腫瘤參數(shù) a=1, b=, K 的初始值為 2， V 的初始值為 1。問 (1)此腫瘤生長不會(huì)超過多大？ (2)過多長時(shí)間腫瘤大小翻一倍？ (3)何時(shí)腫瘤生長速率由遞增轉(zhuǎn)為遞減？ (4)若參數(shù) a=2/3 呢？ ?10. (Lorez 混沌 ) Lorez 系統(tǒng)是一類典型的混沌系統(tǒng)，具有強(qiáng)烈的初值依賴性和長期不可預(yù)測(cè)性。 Lorenz 系統(tǒng)的狀態(tài)方程是 ????????????? )()()()()()()()()( )()()(321331212211tbxtxtxtxtxtxtxtrxtxtxtxtx??? ?? 設(shè) ? =10, r =28, b =8/3, 取初值 x1=10, x2= 10, x3= 10, 求 t=20 的解，并作出在 0t20 范圍內(nèi)的空間曲線圖。若將 x1 改為 或 10, 比較結(jié)果 , 可以發(fā)現(xiàn)解總是被一個(gè)蝶形所吸引(稱為 Lorez 吸引子 ), 但 t=20 時(shí)的解相差缺很大 , 說明解對(duì)初值的變化十分敏感 . ?11 (RLC 電路 )在 RLC 含源串聯(lián)電路中，電動(dòng)勢(shì)為 E 的電源對(duì)電容器 C 充電。已知電阻 R=100歐，電感 L= 亨， C= 微法， E=20 伏，試求合上開關(guān) K 后的電壓 uc(t)。 ?12 (生態(tài)系統(tǒng)的振蕩現(xiàn)象 )第一次世界大戰(zhàn)中，因?yàn)閼?zhàn)爭(zhēng)很少捕魚，按理戰(zhàn)后應(yīng)能捕到最多的魚才是?？墒谴?戰(zhàn)后，在地中海卻捕不到鯊魚，因而漁民大惑不解。 令 x1 為魚餌的數(shù)量， x2 為鯊魚的數(shù)量， t 為時(shí)間。微分方程為 dxdt x a b xdxdt x a b x11 1 1 222 2 2 1? ?? ? ??????( )( ) 式中 a1, a2, b1, b2 都是正常數(shù)。第一式魚餌 x1 的增長速度大體上與 x1 成正比，即按 a1x1 比率增加 , 而被鯊魚吃掉的部分按 b1x1x2 的比率減少；第二式中鯊魚的增長速度由于生存競(jìng)爭(zhēng)的自然第一章 MATLAB 入門 16 死亡或互相咬食按 a2x2 的比率減少，但又根據(jù)魚餌的量的變化按 b2x1x2 的比率增加。對(duì) a1=3, b1=2, a2=, b2=1, x1(0)=x2(0)=1 求解。畫出解曲線圖和相軌線圖，可以觀察到魚餌和鯊魚數(shù)量的周期振蕩現(xiàn)象。 ?13 解微分方程初值問題 ()的 四階 RungeKutta 格式 為 ),()2,2()2,2(),()22(6342312143211???????????????????????????hKyhtfKKhyhtfKKhyhtfKytfKKKKKhyynnnnnnnnnn 它具有四階收斂精度。編寫四階 RungeKutta 法程序并解習(xí)題 1(1)。 ?14 一個(gè)蹦極愛好者準(zhǔn)備從一高空熱氣球跳下，所用橡皮帶長為 L. 為保證安全，必須要預(yù)知最大加速度、速度和總下落高度，確保使力不會(huì)太大而且氣球足夠高以保證蹦極者不會(huì)撞到地面。考慮空氣動(dòng)力學(xué)阻力，控制方程為 gLxuLxm kdtdxdtdxcdt xd J ????? )()())(/(s ig n 2022 其中 g=； c0 和阻力系數(shù)成比例，單位為 m1。 k 為橡皮帶的彈性系數(shù)，單位為 N/m。 mJ為蹦極者的質(zhì)量； sign(z)為符號(hào)函數(shù)， u(z)為單位階躍函數(shù)，即 sign(z)=?????????0z 10 00 1zz , u(z)=??? ??0 0 0 1 zz 如果 L=150m, mJ=70kg, k=10N/m, c0= m1, 初始條件為零。試驗(yàn)證 (1) 時(shí)，最大下落高度 。 (2) 時(shí)，下落 150m, 速度為 。 (3), 最大加速度 畫出位移，速度，加速度曲線。 第一章 MATLAB 入門 17 習(xí)題 7 1. 用 MATLAB 符號(hào)計(jì)算驗(yàn)證三角等式 sin?cos? ?cos?sin?=sin(???). 2. 作因式分解 f(x)=x45x3+5x2+5x6. 3. 求矩陣 A= ???????? a2 21的逆和特征值。 4. 計(jì)算極限 xxxx1)93(lim ???，11lim00 ???? xyxyyx 5. 計(jì)算 ??nk k12 ， ???1 21k k和 ??? ???0 12)12)(12(1n nxn 6. 求 )sin( 223 yzxyx ???|x=1, y=1,z=3. 7. (Taylor 展開 )求下列函數(shù)在 x=0 的 Taylor 冪級(jí)數(shù)展開式 (n=8) ex, ln(1+x), sin(x), )1ln( 2xx ?? 8. 試結(jié)合 diff 和解方程求解第四章習(xí)題 8 及習(xí)題 9. 9. (不定積分 )用 int 計(jì)算下列不定積分，并用 diff 驗(yàn)證 ee dyyy2 2?? , xa x dx22 2??, dxx x a x b a b( ln ln ) ( )? ? ? ?? 10. 計(jì)算積分 ?? ??? x x dyyxyxxI )2s in ()()( 3。 11. 試用 int 求解第五章習(xí)題 5 . 12. 試用 solve 求解第四章習(xí)題 1, 2, 5, 6, 7. 13. 試用 dsolve 求解第六章習(xí)題 1, 2, 3。 第一章 MATLAB 入門 18 14. 試用簡(jiǎn)捷作圖指令解第二章習(xí)題 6。 ?15. 調(diào)用 Maple 求函數(shù)xyyxexxyxf ????? 22)2(),( 2 在 x=0, y=a 的二階 Taylor 展開 . ?16. (1)分別用數(shù)值和符號(hào)兩種方法，編程計(jì)算 100！，結(jié)果有何不同？哪個(gè)計(jì)算快？ (2) 用符號(hào)方法，編程計(jì)算 200！，結(jié)果為多大數(shù)量級(jí)？能用數(shù)值方法計(jì)算嗎？ ?17. 連續(xù)周期函數(shù) f(x)在 [a, b]上 (周期 T=2L=ba)的 Fourier 級(jí)數(shù)展開式為 )s inc os(2)( 10 L xnbL xnaaxf nn n ????? ??? 其中 Fourier 系數(shù) ??,2,1 ,s in)(1,2,1,0 ,c os)(1????????ndxL xnxfLnndxL xnxfLaLLnLLn?? 試編程求 Fourier 系數(shù)，并利用該 程序求函數(shù) y = x(x?)( x2?)的 Fourier 級(jí)數(shù)展開式前 7 項(xiàng)。 第一章 MATLAB 入門 19 習(xí)題 8 1. 以下是 100 次刀具故障記錄，即 故障出現(xiàn)時(shí)該刀具完成的零件數(shù)。分析這批數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，并求其均值和均方差。注意，由于紀(jì)錄失誤，其中可能有些數(shù)據(jù)是錯(cuò)誤的 ,要對(duì)此進(jìn)行適當(dāng)處理。 459, 362, 624, 542, 509, 584, 433, 748, 815, 505, 612, 452, 434, 982,640782, 742, 565, 706, 593, 680, 926, 653, 164, 487, 734, 608, 428, 1153, 593, 844, 527, 552, 513, 781, 474, 388, 824, 538, 862, 659, 775, 859, 755, 649, 697, 515, 628, 954, 771, 609, 2, 960, 885, 610, 292, 837, 473, 677, 358, 638, 699, 634, 555, 570, 84, 416, 606, 1062, 484, 120, 447, 654, 564, 339, 280, 246, 687, 539, 790, 581, 621, 724, 531, 512, 577, 496, 468, 499, 544, 645, 764, 558, 378, 765, 666, 763, 217, 715, 310, 851 2. 表 給出了 1930 年各國人均年消耗的煙去數(shù)以及 1950 年男子死于肺癌的死亡率。 (注：研究男子的肺癌死亡率是因?yàn)樵?1930 年左右?guī)缀鯓O少的婦女吸煙，記錄 1950 年的肺癌死亡率是因?yàn)榭紤]到吸煙的效應(yīng)要有一段時(shí)間才能顯現(xiàn) ) 表 各國煙消耗 量與肺癌人數(shù) 國 家 1930 年人均煙消耗量 1950 年每百萬男子死于肺癌人數(shù) 澳大利亞 480 180 加拿大 500 150 丹麥 380 170 芬蘭 1100 350 英國 1100 460 荷蘭 490 240 冰島 230 60 挪威 250 90 瑞典 300 110 瑞士 510 250 美國 1300 200 (1)畫出該數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖； (2) 該散點(diǎn)圖是否表明在吸煙多的人中間肺癌死亡率較高？ (3)計(jì)算兩列數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)。 3. 下圖中的 6 個(gè)散點(diǎn)圖分別具有如下 相關(guān)系數(shù) , , , , , 請(qǐng)將相關(guān)系數(shù)與散點(diǎn)圖相配 。 第一章 MATLAB 入門 20 圖 圖 圖 圖 圖 圖 4. (擲硬幣 ) 考慮將一枚均勻硬幣擲 N 次，當(dāng) N 很大時(shí)，正面出現(xiàn)的機(jī)率接近 ，設(shè)計(jì)一個(gè)隨機(jī)模擬試驗(yàn)顯示這一現(xiàn)象。 5. (二項(xiàng)分布隨機(jī) 數(shù)產(chǎn)生 ) 如何用最基本的隨機(jī)數(shù)函數(shù) rand 產(chǎn)生二項(xiàng)分布 B(n, p)的一個(gè)隨機(jī)數(shù)呢？先考慮 Bernoulli 試驗(yàn)，為此產(chǎn)生一個(gè) (0,1)上均勻分布隨機(jī)數(shù)，若這個(gè)數(shù)小于 p, 則試驗(yàn)結(jié)果記為 1，否則記為 0，那么試驗(yàn)結(jié)果服從 01 分布 , n 個(gè)獨(dú)立 01 分布隨機(jī)數(shù)的和便是一個(gè)二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)。試根據(jù)這樣的思路編寫 B(n, p) 隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)。 6. (二項(xiàng)分布的正態(tài)近似 ) DemorvieLaplace 中心極限定理指出，若 ?～ B(n,p), n 很大 , 則規(guī)范化隨機(jī)變量 ? ??npnp p N( )1 0 1近似服從 （ ， ）。用計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。 7. 用蒙特卡洛法計(jì)算積分 exp( )?? x dx201 22?， ? ?20 2 )(sin)2/e xp ( dxxx， e x p ( )s in ( ) ? ??? x y d x d yx 20 20? 8. 分別用蒙特卡洛法和 fminsearch 求下列二元函數(shù)最大值，并通過圖形作出評(píng)論。 f(x,y)=(x2+2y2+xy)exp(x2y2), |x|,|y| 9. “任何二階方陣都是可逆的”很明顯是一個(gè)錯(cuò)誤命題。例如 1 20 0 1 22 4??? ??? ? ???? ???,都是不可逆第一