【文章內容簡介】 MATLAB 卷積積分法求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 一般的連續(xù)時間系統(tǒng)分析有以下幾個步驟 : 唐山學院課程實踐 8 ① 求解系統(tǒng)的零輸入響應 。 ② 求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 。 ③ 求解系統(tǒng)的全響應 。 ④ 分析系統(tǒng)的卷積； ⑤ 畫出它們的圖形。 下面以具體的微分方程為例說明利 用 MATLAB 軟件分析系統(tǒng)的具體方法 我們知道， LTI 連續(xù)系統(tǒng)可用如下所示的線性常系數(shù)微分方程來描述， 例如，對于以下方程 : 39。39。39。 39。39。 39。 39。39。39。 39。39。 39。3 2 1 0 3 2 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b f t? ? ? ? ? ? ?可用 3 2 1 0 3 2 1 0[ , , , ] , [ , , , ] ,a a a a a b b b b b??輸入函數(shù) ()u f t? ，得出它的沖擊響應 h ，再根據(jù) LTI 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 y（ t）是激勵 u（ t）與沖擊響應 h（ t）的卷積積分。 注意，如果微分方程的左端或右端表達式 中有缺項，則其向量 a 或 b 中的對應元素應為零，不能省略不寫，否則出錯。 求函數(shù)的零狀態(tài)響應 及初始狀態(tài) 39。( 0 ) ( 0 ) 0zs zsyy????。輸入函數(shù) ( ) sin ( 3 * ) c o s( 2 * )f t t t??。 建模 先求出系統(tǒng)的沖擊響應，寫出其特征方程 2 5 4 0??? ? ? 求出其特征根為 p 和 p，及相應的留數(shù) r， r；則沖擊響應為 1212() p t p th t r e r e?? 輸入 y（ t）可用輸入 u（ t） 與沖擊響應 h（ t）的卷積求得。 卷積的計算 連續(xù)時間信號 1()ft和 2()ft的卷積運算可用信號的分段求和來實現(xiàn)，即： 如果只求當 t =n（ n為整數(shù)）時 f (t)的值 f (n ，則上式可得： 39。39。 39。 39。( ) 5 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( )y t y t y t f t f t? ? ? ?1 2 1 2 1 20( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) l im ( ) ( )kf t f t f t f t f t d f k f t k?????? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???( ) ( )00( ) ( )NMijijija y t b f t?????唐山學院課程實踐 9 式中的 實際上就是連續(xù)時間信號 1()ft和 2()ft經(jīng)等時間間隔 均勻抽樣的離 散序列 1()fk? 和 2()fk? 的卷積和。當 足夠小時， ()fn?就是卷積積分的結果 ——連續(xù)時間信號 f (t)的較好數(shù)值近似。 下面是利用 MATLAB 實現(xiàn)連續(xù)信號卷積的通用程序 conv()，該程序在計算出卷積積分的數(shù)值近似的同時，還繪制出 f (t)的時域波形圖。應注意，程序中是如何設定 f (t)的時間長度。 MATLAB程序： f1=input(39。輸入函數(shù) f1=39。)。 f2=input(39。輸入函數(shù) f2=39。)。 dt=input(39。dt=39。)。 y=conv(f1,f2)。 plot(dt*([1:length(y)]1),y)。grid on。 title(39。卷積 39。)。 xlabel(39。t39。)。 ylabel(39。f1*f239。) 程序運行結果： 輸入以下數(shù)據(jù)： f1=sin(3*t) f2=cos(3*t+2) dt= 得出圖形如圖 3—5所示： 12( ) [( ) ]k f k f n k???? ? ? ? ??1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ]kkf n f k f t k f k f n k??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???0 2 4 6 8 10 12 3 0 0 2 0 0 1 0 00100200300400卷積tf1*f2圖 3— 5 唐山學院課程實踐 10 在 MATLAB 中，對于連續(xù) LTI 系統(tǒng)的沖激響 應和階躍響應的數(shù)值解，可分別用控制系統(tǒng)工具箱提供的函數(shù) impulse 和 step 來求解。其語句格式分別為： y = impulse(sys,t)。 y = step(sys,t)。 其中， t 表示計算機系統(tǒng)響應的時間抽樣點向量， sys 表示 LTI 系統(tǒng)模型。 下面我們用幾個例子來驗證以上知識點 （ 1）求零輸入相應：求齊次微分方程在給定初始條件下的零輸入相應，y39。39。(t)+4y(t)=0,y(0_)=1,y39。(0_)=1。 解 在 MATLAB 命令窗口鍵入如下語句： eq=39。D2y+4*y=039。 con=39。y(0)=1,Dy(0)=139。 y=dsolve(eq,con)。y=simplify(y) y = 1/2*sin(2*t)+cos(2*t) ezplot(y),grid 零輸入響應圖如圖 3—6 所示 圖 3—6 （ 2）求零狀態(tài)響應：已知系統(tǒng) y39。39。(t)+4y(t)=x(t),輸入 x(t)為 cos(t)u(t),求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 解 在 MATLAB 命令窗口鍵入如下語句 eq=39。D2y+4*y=cos(t)*heaviside(t)39。 con=39。y()=0,Dy()=039。 y=dsolve(eq,con)。y=simplify(y) y = 唐山學院課程實踐 11 1/3*heaviside(t)*(cos(t)cos(2*t)) ezplot(y,[0,10]） 零狀態(tài)響應圖如圖 3—7 所示 圖 3—7 （ 3 ） 求沖 擊響 應 和階 躍 響應 ： 已知 某 LTI 系 統(tǒng) 的 微分 方程 為y’’(t)+2y’(t)+32y(t)=f’(t)+16f”(t),試用 MATLAB命令繪出 0≦ t≦ 4范圍內系統(tǒng)的沖激響應 h（ t）和階躍響應 g（ t）。 解 在 MATLAB 命令窗口 鍵入如下語句 t=0::4。 sys=tf([1,16],[1,2,32])。 h=impulse(sys,t)。 g=step(sys,t)。 subplot(211) plot(t,h),grid on xlabel(39。Time(sec)39。),ylabel(39。h(t)39。) title(39。沖激響應 39。) 沖激響應圖如圖 3—8（ 1）所示 唐山學院課程實踐 12 圖 3—8（ 1） subplot(212) plot(t,g),grid on xlabel(39。Time(sec)39。),ylabel(39。g(t)39。) title(39。階躍響應 39。) 階躍響應圖如圖 3—8（ 2）所示 圖 3—8（ 2） 唐山學院課程實踐 13 （ 4）求卷積：求信號 f1(t)=t 和 f2(t)=sin(t)的卷積的解