[哲學(xué)]線性代數(shù)經(jīng)管類選擇題綜合測驗題庫(編輯修改稿)
2024-10-21 00:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 則 f（ x）的常數(shù)項為（ ） 中第三行第二列元素的代數(shù)余子式的值為（ ） 則 D1 的值為（ ） A 為三階方陣且 （ ） A 是 n 階方陣， λ為實數(shù)，下列各式成立的是（ ） . A 為 3 階方陣，且已知 （ ） （ ） ,其中 為常數(shù) . （ ） +1 （ ） （ ） 都是三階方陣，且 ，則下式（ ）必成立 . （ ） 0 的矩陣是零矩陣 D. （ ） （ ） （ ） =( )。 A.（ x+3a）（ xa） 3 B.（ x+3a）（ xa） 2 C.（ x+3a） 2（ xa） 2 D.（ x+3a） 3（ xa） D 如果按照第 n 列展 開是（ ）。 +a2nA2n+...+annAnn +a21A21+...+an1An1 +a12A21+...+a1nAn1 +a21A12+...+an1A1n n 個方程的 n 元齊次線性方程組的克拉默法則，說法正確的是（）。 0，則方程組必有無窮多解 0，則方程組只有零解 0，則方程組必有惟一解 0，則方程組必有零解 =（ ）。 ≠（ ）時，方程組 只有零解。 =（ ）。 =（ ）。 D 中的第二列元素依次為 1， 2， 3，它們的余子式分別為 1， 1， 2， D 的值為（ ） 中元素 g的代數(shù)余子式的值為（ ）。 （ ）。 階行列式（ ）等于 1。 a=( )時，行列式 的值為零。 的值等于（ ）。 的充要條件是（ ） ≠2 ≠0 ≠2或 a≠0 ≠2且 a≠0 140. 計算： 綜合測驗題庫答案與解析 一、單項選擇題 1. 正確答案： B 答案解析： A1 正定表明存在可逆矩陣 C 使 CTA1C=In，兩邊求逆得到 C1A（ CT） 1= C1A（ C 1） T=In 即 A 合同于 In， A正定，因此不應(yīng)選 A。 C 是 A正定的定義，也不是正確的選擇。 D 表明 A 的正慣性指數(shù)等于 n，故 A是正定陣，于是只能 B。 事實上，一個矩陣沒有負的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。 2. 正確答案： C 答案解析：二次型的矩陣 所以 r（ A） =1，故選項 C 正確，選項 A， B， D 都不正確。 3. 正確答案： D 答案解析：因為 f 是正定二次型， A 是 n 階正定陣， 所以 A的 n 個特征值 λ1， λ2， … ， λn 都大于零， |A|＞ 0，設(shè) AP j=λjPj，則 A1Pj= Pj， A1 的 n 個特征值 ， j=1,2,…,n ，必都大于零， 這說明 A1 為正定陣， XTA1X 為正定二定型，同理， XTB1X 為正定二次型， 對任意 n 維非零列向量 X 都有 XT（ A+B） X=XTAX+XTBX＞ 0。 這說明 XT（ A+B） X 為正定二次型， 由于兩個同階對稱陣的乘積未必為對稱陣，所以 XTABX 未必為正定二次型。 4. 正確答案： D 答案解析： ∵ A、 B 正定 ∴ 對任何元素不全為 零的向量 X 永遠有 XTAX＞ 0；同時 XTBX＞ 0。 因此 A+B 正定， AB 不一定正定，甚至 AB 可能不是對稱陣。 5. 正確答案： A 答案解析： f=xTAx=（ Py） TA（ Py） = y T （ PTAP） y= y TBy，即 B=PTAP，所以矩陣 A 與 B 一定合同。只有當(dāng) P 是正交矩陣時，由于 PT=P1，所以 A 與 B 即相似又合同。 6. 正確答案： C 答案解析： A 的正慣性指數(shù)為 t，負慣性指數(shù)為 rt，因此符號差等于 2tr。 7. 正確答案： C 答案解析：主對角線元素對應(yīng) x1， x2， x3 平方項系數(shù)： 1， 1， 1。 a13和 a31 系數(shù)的和對應(yīng) x1x3 的系數(shù) 2 8. 正確答案： C 答案解析： x1， x2， x3 平方項系數(shù)對應(yīng)主對角線元素： 1， 0， 4。 x1x2 系數(shù) 2，對應(yīng) a12 和 a21 系數(shù)的和， a12=1,a21=1。 9. 正確答案： D 答案解析： ∵ C 是正交陣，所以 CT=C1,B= C1AC，因此 A與 B 相似， A 對。 C 是正交陣 |C|不等于 0， CTAC 相當(dāng)對 A 實行若干次初等行變換和初等列變換， A與 B 等價， B 對。 兩個相似矩陣 A、 B 有相同的特征值， C 對。 （ λEA） X=0, （ λEB） X=0 是兩個不同的齊次線性 方程組，非零解是特征向量，一般情況這兩個方程的非零解常常不同，所以只有 D 不對，選 D。 10. 正確答案： B 答案解析：屬于同一特征值的特征向量未必線性相關(guān)，比如單位陣的特征值全是 1，但它有 n 個線性無關(guān)的特征向量，因此應(yīng)選擇 B。 11. 正確答案： C 答案解析： C 是對稱陣，必相似于對角陣，故選 C。 12. 正確答案： A 答案解析： |A|=52x， A有零特征值，得 |A|=0，故 x=，顯然應(yīng)選 A。 13. 正確答案： B 答案解析： ∵ 3 階矩陣 A 的特征值為 1,2,3 ∴ |λE A | 展開式含有三 個因子乘積：（ λ1）（ λ2）（ λ3） ∵ |λE A | 展開式 λ3 項系數(shù)為 1 ∴ |λE A |=（ λ1）（ λ2）（ λ3） ∵ A 為 3 階矩陣 ∴ | AλE |=（ 1） 3|λE A |=（ 1） 3 （ λ1）（ λ2）（ λ3） 將 4 代入上式得到 6。 14. 正確答案： A 答案解析：設(shè) A的特征值是 λ，則 f（ A）的特征值就是 f（ λ），把 1,0,1 依次代入，得到 3， 1， 1。 15. 正確答案： A 答案解析：屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān)，因此選擇 A。 16. 正確答案： D 答案 解析： ∵ 設(shè) P1AP=B ∴ A=PBP1 又 ∵ Aα=λ0α ∴ PBP1α=λ0α ∴ B（ P1α） = λ0(P1α) 17. 正確答案： D 答案解析： A 的特征向量不能是零向量，所以 k k2 不同時為零，所以 A、 C 不對； x x2 是兩個不同的方程組的解，兩個方程的兩個非零向量解之和不再是其中一個方程的解，所以 A 的特征向量不選 B。選 D 是因為k2=0， k1≠0， x= k1 x1 仍然是 A 的特征向量
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