【文章內(nèi)容簡介】 則稱矩陣A與B相等，記為因而只有當(dāng)兩個矩陣從型號到元素全一樣的矩陣，．矩陣的加、減法設(shè)，是兩個同型矩陣則規(guī)定注意：只有A與B為同型矩陣，．?dāng)?shù)乘運算設(shè)，k為任一個數(shù)，則規(guī)定故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，．乘法運算設(shè)，則規(guī)定其中由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，一般地：①不滿足交換律，即②在時，不能推出或，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，．方陣的乘冪與多項式方陣設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項式，它也是一個n階方陣6．矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A為一個矩陣，把A中行與列互換，得到一個矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運算滿足以下運算律：，由轉(zhuǎn)置運算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義設(shè)A為一個n階方陣，若A滿足，則稱A為對稱矩陣，若A滿足，．方陣的行列式矩陣與行列式是兩個完全不同的概念，但對于n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則①；②③（三）方陣的逆矩陣1．可逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)A為一個n階方陣，若存在另一個n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個可逆矩陣，意指A是一個可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則①是可逆矩陣，且；②AB是可逆矩陣，且；③kA是可逆矩陣，且④是可逆矩陣，且⑤可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即設(shè)P為可逆矩陣，則2．伴隨矩陣設(shè)為一個n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點）伴隨矩陣必滿足（n為A的階數(shù)）3．n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理：n階方陣A可逆，且推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且，例1設(shè)（1）求A的伴隨矩陣（2）a，b，c，d滿足什么條件時，A可逆？此時求解：（1）對二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號”即（2）由，故當(dāng)時，即，A為可逆矩陣此時（四）分塊矩陣1．分塊矩陣的概念與運算對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個小塊叫做矩陣的子塊，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來看待，．準(zhǔn)對角矩陣的逆矩陣形如的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣，則這個準(zhǔn)對角矩陣也可逆，并且（五）矩陣的初等變換與初等方陣1．初等變換對一個矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換，（1）交換A的某兩行（列）；（2）用一個非零數(shù)k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）：矩陣的初等變換與行列式計算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計算是求值過程，用等號連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用“”，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，．初等方陣，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，．初等變換與初等方陣的關(guān)系設(shè)A為任一個矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個初等方陣的乘積相當(dāng)于對A作同類型的初等行變換；．矩陣的等價與等價標(biāo)準(zhǔn)形若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價，記為對任一個矩陣A，必與分塊矩陣等價，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得5．用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設(shè)A為任一個n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）然后注意：求的逆矩陣解：則例3求解矩陣方程解：令，則矩陣方程為，這里A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得也能用初等行變換法，不用求出，而直接求則（六）矩陣的秩1．秩的定義設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或零矩陣的秩為0，因而，對n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，．秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=．與滿秩矩陣等價的條件n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使A非奇異，即A的等價標(biāo)準(zhǔn)形為EA可以表示為有限個初等方陣的乘積齊次線性方程組只有零解對任意非零列向量b，非齊次線性方程組有唯一解A的行（列）向量組線性無關(guān)A的行（列）向量組為的一個基任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組的線性組合，為正定矩陣.（七）可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，向量空間（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1．n維向量的定義與向量的線性運算由n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣與矩陣線性運算類似，．向量的線性組合設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱為的一個線性組合，．矩陣的行、列向量組設(shè)A為一個矩陣，若把A按列分塊，．，　問能否表示成，的線性組合？解：設(shè)線性方程組為對方程組的增廣矩陣作初等行變換：則方程組有唯一解所以可以唯一地表示成的線性組合，且（二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1．線性相關(guān)性概念設(shè)是m個n維向量，如果存在m個不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，，單個向量線性相關(guān)；單個向量線性無關(guān)2．求相關(guān)系數(shù)的方法設(shè)為m個n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個非零解就是一個相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m例2設(shè)向量組，：考慮方程組其系數(shù)矩陣于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為令，得一個非零解為則3．線性相關(guān)性的若干基本定理定理1如果向量組線性無關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān).（三）向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩1．向量組等價的概念若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，．向量組的極大無關(guān)組設(shè)T為一個向量組，若存在T的一個部分組S，它是線性無關(guān)的，且T中任一個向量都能由S線性表示，，一般地，它的極大無關(guān)組不是唯一的，但有以下性質(zhì)：定理1向量組T與它的任一個極大無關(guān)組等價，．向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系，稱為A的行秩，：對任一個矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理說明，對于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個矩陣A，求出下列向量組的秩和一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出：解：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地為向量組的一