【文章內(nèi)容簡介】 Dendrogram 4 應(yīng)用多元統(tǒng)計方法研究大學生成績 如圖所示，把研究對象分為了 四 大類： 第一類： 3,35,7,11,20,24,27,5,4,23,49,61,40,46,44,28,59,42,53,16,19,18,36,6,21,41 第二類： 25,34,15,26,1,57,60,48,64,56,31,55,10,13,47,30,22,62,2,8,50,9,32，12,39,51,38,43,52,37,58,45,54 第三類： 14,33,17,29 第四類： 63 由此 可知： 第一類學生成績優(yōu)秀，第二類學生成績 良好，第三類學生的成績?yōu)楹细?，第 四類學生的成績?yōu)椴缓细?。 從分類結(jié)果看出 ， 統(tǒng)計學專業(yè) 的學生在這一學年 的成績整體相當不錯，僅有一位同學的成績不合格，與實際情況一致 。 3 因子分析 因子分析法的數(shù)學模型 假設(shè)有 n 個樣品，每個樣品有個指標，這 p 個指標之間有較強的相關(guān)性。為了便于研究，并消除由于觀測量綱的差異及數(shù)量級不同所千萬的影響，將樣本觀測數(shù)據(jù)進行標準化處理，合標準化后的變量均值為 0，方差為 1。為方便，把原始變量及標準化后的變量 向量均用 X表示，用 12, , , ( )mF F F m p? 表示標準化的公共因子。如果： （ 1） 1 2 p( , , ) 39。X X X X? … ，是可觀測隨機向量， 其 均值向量 E（ X） =0，協(xié)方 差矩陣 cov(X)=∑, 且協(xié)方差矩陣 ∑ 與相關(guān)陣列 R相等； （ 2） 12( , , , ) 39。( )mF F F F m p??是不可觀測的變量，其均值向量 E（ F） =0，協(xié)方差矩陣 cov(F)=I，即向量 F的各分量是相互獨立的； （ 3） 12( , , , ) 39。p? ? ? ?? … 與 F 相互獨立，且 E（ ? ） =0， ? 的協(xié)方差陣 E? 是對角方陣 21122220c ov ( )0 ppE ??????????????? 即 ? 的各分量之間也是相互獨立的，則模型 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學 課程設(shè)計 論文 5 1 11 1 12 2 1 12 21 1 22 2 2 21 1 2 2mmmmp p p pm m pX a F a F a FX a F a F a FX a F a F a F???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? 稱為因子模型。模型（ ）的矩陣形式為： X=AF+? 其中 11 12 121 22 212mmp p pma a aa a aAa a a????????? 稱 A 為因子載荷矩陣，稱 ija 為因子載荷，表示第 i 變量在第 j 因子上載荷， ija 的絕對值越大，表明變量 iX 與因子 jF 的依賴性越大，也可說因子 jF 對變量 iX 的載荷越大 [3]。 因子分析法的基本步驟 因子分析 主要分三大步 ：一是 對原始變量進行分析，看其是否適合做因子分析 ；二是 確定 因子變量；三是計算因子得分 。本文采用因子分析法確定公共因子。具體步驟如下 [2]： （ 1） KMO檢驗：確認分析的原變量是否適合做因子分析。做 KMO檢驗和巴特利特球度檢驗， KMO統(tǒng)計量是用于比較變量之間相關(guān)程度的一個指標 , KMO值越接近 1,相關(guān)程度越高 ,因子分析法的優(yōu)越性就越明顯 ,一般地 , KMO統(tǒng)計指標在 和 1 之間可進行因子分析 [3]。 （ 2） 因子分析的共同度。 （ 3） 因子陡坡檢查 :從碎石圖可以看出，去除坡線中較為平坦的因子。 （ 4） 計算方差貢獻率與累積方差貢獻率，累積方差貢獻率應(yīng)在 80%以上 ，但普通研究 60%以上即可 [3]。 （ 5） 確定因子：前 m 個因子包含的累積貢獻率不低于 60%時，可取前 m個因子來取代原評價指標 [3]； （ 6） 因子旋轉(zhuǎn)： 所得因子實際意義不明顯，需要進行正交旋轉(zhuǎn)，已得到因子明顯的實際意義。 （ 7） 得分系數(shù)矩陣：利用已有的得分系數(shù)矩陣可以得到因子得分系數(shù)方程從而6 應(yīng)用多元統(tǒng)計方法研究大學生成績 得到每個學生的因子得分來做比較 ； （ 8） 綜合得分 因子方程： 以各因子的方差貢獻率為權(quán)，由各因子的線性組合得到綜合評價指標函數(shù)，即 1 1 2 2 + mmF F F F? ? ?? ? ? …[3]； 因子分析的應(yīng)用 KMO 檢驗 表 2 KMO檢驗與 Bartlett 球形檢驗 Table2 KMO and Bartlett’s Test T e s t sB a r tle tt39。 a n d K M O 取樣足夠度的 KaiserMeyerOlkin 度量。 Bartlett 的球形度檢驗 近似卡方 df 45 Sig. 表 2 給出的 KMO 和 Bartlett的檢驗結(jié)果， 其中 KMO 值越接近 1 表示越適合做因子分析， KMO 值為 ， 說明該數(shù)據(jù)適合做因子分析； Bartlett球形 度 檢驗 的原假設(shè)為相關(guān)系數(shù)矩陣為單位陣， Sig 值為 ，小于 顯著性水平 ， 因此拒絕原假設(shè)，說明變量間具有相關(guān)關(guān)系 ，適合做因子分析。 表 3 因子分析共同度 Table3 Factor Analysis Communinalities 初始 提取 數(shù)學分析 Ⅲ 概率論 數(shù)理統(tǒng)計 常微分方程 抽樣調(diào)查 應(yīng)用隨機過程 馬克思主義原理 毛澤東思想和中國特色社會主義理論體系概論 大學英語 3 大學英語 4 如表 3 給出了各變量的共同度，即各變量中所含原始信息能被提取的公因子所表示的程度，可知各變量的共同度幾乎都在 50%80%之間，說明各門課程的作用比較 均衡 。第一列是因子分析初始值下的變量共同度 ；第二列列出了按指定條件提取 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學 課程設(shè)計 論文 7 特征根時的共同度。從表中可以看到，變量的絕大部分信息 可被因子解釋，這些變量信息丟失較少。 因子陡坡檢查，除去坡線平坦部分的因子 圖 2 碎石圖 Scree Plot 圖 2 為 特征值的 碎石圖 ,該圖顯示大因子的陡峭斜率和剩余因子平緩的尾部 ， 之間有明顯的中斷。一般選取主因子在非常陡峭的斜率上，而處在平緩斜率上的因子對變異的解釋非常小。從該圖可以看出前兩個因子都處在非常陡峭的斜率上，從第三個因子開始變得平緩，因此選擇 前兩個因子 作為主因子。 方差貢獻率檢驗 表 4 因子方差分析的總解釋 Table4 Total Variance Explained 成分 初始特征值 方差貢獻 方差貢獻率 % 累計方差貢獻率 % 提取因子 方差貢獻 方差貢獻率 % 累計方差貢率 % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 應(yīng)用多元統(tǒng)計方法研究大學生成績 表 4 中， 取特征值大于 1 的因子，共有 2 個，分別是（ ,） ；特征根小于 1 的因子不能被直接引入原變量，故只提取前 2 個因子，從表中可看出前 2 個因子的特征值之和占總方差的 %，變異量 （累計貢獻率） 分別為（ ,） 。 顯示未旋轉(zhuǎn)的因子矩陣 表 5 未旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣 Table5 The not rotate of Factor Analysis Component Matrixa 名稱 1 因子 2 數(shù)學分析 Ⅲ 概率 論 數(shù)理統(tǒng)計 常微分方程 抽樣調(diào)查 應(yīng)用隨機過程 馬克思主義原理 毛澤東思想和中國特色社會主義理論體系概論 大學英語 3 大學英語 4 未旋轉(zhuǎn)之前的 各主因子的典型代表變量不是很突出，容易使因子的意義含糊不清，不便于對實際問題進行分析。出于這種考慮，可以對初始公 共因子進行線性組合，即進行因子旋轉(zhuǎn)，以 便 找到意義更為明確、實際意義更明顯的公共因子。 下面采用 最大方差 正交旋轉(zhuǎn)法 ，它是因子分析法中較常用的方法，就是要使因子載荷的平均值分別向 0 和 1 趨近，使大小載荷陣更加明了 。 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學 課程設(shè)計 論文 9 因子旋轉(zhuǎn) — 正交旋轉(zhuǎn) 表 6 旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣 Table6 Factor Analysis Component Matrixa 名稱 1 因子 2 數(shù)學分析 Ⅲ 概率論 數(shù)理統(tǒng)計 常微分方程 抽樣調(diào)查 應(yīng)用隨機過程 馬克思 主義原理 毛澤東思想和中國特色社會主義理論體系概論 大學英語 3 大學英語 4 由 表 5 可以看出，第一個因子 1F 在 數(shù)理統(tǒng)計、抽樣調(diào)查、應(yīng)用隨機過程、馬克思主義原理、毛澤東思想和中國特色社會主義理論體系概論 上有比較大 載荷， 所以1F 是影響這些課程的主要因子，自主 命名 1F 反映的是學生的 實踐 運用 能力；第二個因子 2在 數(shù)學分析 Ⅲ 、概率論、常微分方程、大學英語 大學英語 4 上有較大載荷，即2F是 影響 這些課程 的主要因子 ， 自主命名 2F反映的是大學生的 基礎(chǔ) 專業(yè) 能力 。 為了直觀的看到因子間的差別，現(xiàn)將因子命名如下表 ： 表 7 因子結(jié)構(gòu) Table7 Factor structure 因子 課程名稱 潛在變量 1F 數(shù)理統(tǒng)計、抽樣調(diào) 查、應(yīng)用隨機過程、馬克思主義原理、毛澤東思想和中國特色社會主義理論體系概論 實踐運用能力 2F 數(shù)學分析 Ⅲ 、概率論、常微分方程、大學英語 大學英語 4 基礎(chǔ) 專業(yè)能力 10 應(yīng)用多元統(tǒng)計方法研究大學生成績 因子得分系數(shù)矩陣 表 8 因子得分系數(shù)矩陣 Table8 Component Sorce Coefficient Matrix 名稱 1 因子 2 數(shù)學分析 Ⅲ 概率論 數(shù)理統(tǒng)計 常微分方程 抽樣調(diào)查