【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 第二比較判別法 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 而 ??? 21n n發(fā)散 , 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散 . 例 5 ??? ?2 11n n???? nnn111lim ，1?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 解 : 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 6 ??? ?22 11n n，1111l i m 22 ???? nnn?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 解 : 而221n n???收 斂 , 所以原級(jí)數(shù) 收 斂 . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) ?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 例 3 判別級(jí)數(shù) ??? 11s i nn n的收斂性 ?? 例 3??解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 解 :?解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 根據(jù)第二比較判別法知 .1s i n1發(fā)散???n n0sinlim 1xxx? ?上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 3 判別級(jí)數(shù) ??? 11s i nn n的收斂性 ?? 例 3??解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 解 :?解 因?yàn)?111si nl i m ???nnn,? 而級(jí)數(shù) ??? 11n n發(fā)散 ,? 下頁(yè)根據(jù)第二比較判別法知 .1s i n1發(fā)散???n nnu 1pn實(shí)際是 與 同階無(wú)窮小 之間的比較 . 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 0sinlim 1xxx? ?上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 15 判定級(jí)數(shù) 的斂散性 : 311n nn?? ???? (1)解 因3231l i m 1 ,1nnnn??? ?由比較判別法的極限形式知 收斂 . 311n nn?? ??33333311l i m l i m l i m1n n nnnnn n n nn n? ? ? ? ? ?? ????32311li m li m 1 ,11nnnnnn? ? ? ?? ? ?? ?則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 抓主要 項(xiàng) ?抓大頭 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???1nnu 收斂 , 能否推出 ???12nnu 收斂 ? 提示 : 2lim nn nuu?? lim nn u???0,?由第二比較判別法可知 ???12nnu 收斂 . ?第二比較判別法 (2) 當(dāng) 時(shí)，若 收斂 , 則 收斂 。 0?l ???1nnv ???1nnu, 設(shè) ? ? ? 1 n n u 與 ? ? ? 1 n n v 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) 如果 ,lim lvunnn???上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 注 7 使用第一和第二比較判別法 ,需記住一些已知其收斂性的級(jí)數(shù) , 而且建立不等式關(guān)系也比較繁 . 而事實(shí)上 ,一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性有其自身內(nèi)在的本質(zhì) , 可以利用級(jí)數(shù)自身的特點(diǎn) ,來(lái)判定級(jí)數(shù)的收斂性 . 3211???????????????nnn uuuuu ,? ?第二比較判別法 則級(jí)數(shù) ??? 1nnu 和級(jí)數(shù) ??? 1nnv 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ?? 設(shè) ??? 1nnu 和 ??? 1nnv 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,? 如果 lvunnn???l i m ( 0 l ? ? ) ,? 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 除了幾何級(jí)數(shù)外 ,數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已被 嚴(yán)格確定的無(wú)窮級(jí)數(shù) . 阿貝爾 (Abel,Niels Henrik,18021829) 11 ,nnnnu aq qu aq????當(dāng)公比 | q | 1 時(shí) , 等比級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng)公比 | q| ? 1 時(shí) , 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 . qaqqaqaqaaqaqaqas nnnn ??????????????? ?111 12 ? ? ?1 .1naqq?? ?.1 aS q? ?(1) ρ 1時(shí) , 級(jí)數(shù)收斂； (2) ρ 1 ( 包括 ρ = ?? ) 時(shí) , 級(jí)數(shù)發(fā)散； (3) ρ= 1 時(shí) , 不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性 . 利用級(jí)數(shù)本身來(lái)進(jìn)行判別 . ,11發(fā)散級(jí)數(shù) ???n n,112 收斂級(jí)數(shù) ???n n( 1)?? ???設(shè) ??? 1nnu 是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , 若 ????? nnn uu 1lim , 則 比值判別法 (達(dá)朗貝爾判別法 )： ,很大時(shí)當(dāng) n,1 ???nnuu!1)!1(11nnuunn????11?? n ,10 ??? ?? ??n例 11 ???1 ! 1n n收斂 . 解 : )!1(!??nn??? 1223c o snnnn?解 ,22 3c o s 2nnnnnnu ??? ,2 nnnv ?令nnnnvv nnnnnnnnn221lim221limlim111 ?????????????????nnn 21lim ?????,121 ??,21收斂????nnn根據(jù)第一比較判別法， 原級(jí)數(shù)收斂． 例 7 判別 的斂散性 . 比值判別法與比較判別法的綜合應(yīng)用 由比值判別法， ???? 1 !nnnnnn nn?????? ?????1l i m.!1發(fā)散由比值判別法， ????nnnn1l im ( 1 ) 1nnen? ? ?? ? ? ?例 8 判別 的斂散性 . 解 ,!nnu nn ?令上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) , 2 ,2 1而為正項(xiàng)級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)令 ?????nnnnnnu例 7 判別 1 2nnn????的斂散性 . 解 : ?比值判別法 (達(dá)朗貝爾判別法 ) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 1nnu 滿 足 ?????nnn uu 1l i m ,? 則當(dāng) ? 1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 ?? 當(dāng) ? 1 ( 或 ?????nnn uu 1l i m ) 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 ?? 121??? ?? ??n , nnnnuunnnnnn221221111 ????????nn21??收斂 . 例 13 ??? ??1 )12)(12(1n nn解 : )12)(12(1)32)(12(11??????nnnnuunn?,1?? ?? ??n所以用 比值法無(wú)法判斷 . 用第二比較判別法 , ，411)12)(12(1lim2 ????? nnnn收斂 . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 8 假設(shè) 0,??判別 1npn n????? 的收斂性 . ?比值判別法 若正項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 1n nu 滿 足 ?????nnn uu 1l i m ,? 則當(dāng) ? 1 時(shí)級(jí)數(shù)收斂 ?? 當(dāng) ? 1 ( 或 ?????nnn uu 1l i m ) 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 ?? 解 : ,nn pu n??? ?111l i m l i mnpnnnnnpnuun????? ?? ? ????l im ,1pnnn??? ? ??????????則 (1)若 ,則級(jí)數(shù)收斂 . 1??(2)若 ,則級(jí)數(shù)發(fā)散 . 1??(3)若 ,此時(shí) 比值判別法失效 , 1??11 ,pn n????時(shí) ,則級(jí)數(shù)收斂 , 1p? 時(shí) ,則級(jí)數(shù)發(fā)散 . 1p?但此時(shí)原級(jí)數(shù)為 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 除了幾何級(jí)數(shù)外 ,數(shù)學(xué)中不存在任何一種它的和已被 嚴(yán)格確定的無(wú)窮級(jí)數(shù) . 阿貝爾 (Abel,Niels Henrik,18021829) ,nnn nu q q??當(dāng)公比 | q | 1 時(shí) , 等比級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng)公比 | q| ? 1 時(shí) , 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 定理 5. 根值判別法 ( Cauchy判別法 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí) ,lim ???? n nn u則 數(shù) , 且 簡(jiǎn)要說(shuō)明： ,很大時(shí)當(dāng) n,??n nu ,nnu ??即.?? ? nnu ?l im ,n nnu ??????? ?因? ? ,1 ??nnu上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 時(shí) , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 . 說(shuō)明 : 定理 5. 根值判別法 ( Cauchy判別法 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí) ,lim ???? n nn u則 數(shù) , 且 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 定理 5. 根值判別法 ( Cauchy判別法 ) 設(shè) 為正項(xiàng)級(jí) ,lim ???? n nn u則 數(shù) , 且 根值判別法適合 中含有某表達(dá)式的 次冪 . nu n例 15 解 : 12l i ml i m ?? ???? nnunn nn 21????????????1 12nnnn，1?所以級(jí)數(shù)收斂 . 例 16 ???????????11213nnnn解 : nnnn