【正文】 nnu 收斂 , 能否推出 ???12nnu 收斂 ? 提示 : 2lim nn nuu?? lim nn u???0,?由第二比較判別法可知 ???12nnu 收斂 . ?第二比較判別法 (2) 當(dāng) 時(shí)，若 收斂 , 則 收斂 。故由比較法 ???? ?1 131n n 6. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比較判別法 的基本題型和應(yīng)用實(shí)例 (1) 利用比較法（不等式形式）直接判斂題型 : ,131131,313nnnn ???????? ?????? ??111.n nnn nnu例nnnnnn nnnnnu 1l i m11l i m1l i m?????????????xxxxxxxxeexlnl i mln111l i m11l i m?????????????1l im1 1x xe ?? ???洛 必 達(dá)發(fā)散，而 )1(11?????pnn亦發(fā)散。 ( 2 ) a r c t a n ( ) 。 ( 2 ) a r c t a n ( ) 。知由級(jí)數(shù)收斂的必要條件 nn nn )322(2???? ?? 6. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比較判別法 的基本題型和應(yīng)用實(shí)例 (1) 利用比較法（不等式形式）直接判斂題型 : 1?型例 6 判別 11nn na??? ?? 的斂散性 . (其中 ,正常數(shù) ). 0a?. 解 : (2)當(dāng) 時(shí) , 1a?1im1lnnnnaa? ??? 而此時(shí) , 11 nn a??????????收斂 , 11nn na??? ??收斂 . 因此 (1)當(dāng) 時(shí) , 01a??1lim1nnnan? ??? 而 11n n????為調(diào)和級(jí)數(shù) ,發(fā)散 , 11nn na??? ?? 發(fā)散 . 因此 要找出 中起主要 作用的項(xiàng) . nulnl im l im l iml n 1n x xn x xn x xa a a aa n a x a a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?l n l nl im 1 .l n l nxxxa aa a a? ? ????? ?? ?? ??1,?1l im l im l iml n 1n x xnxxnxa n a x a a? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ?1,? (4) 證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的題型 : 均亦收斂與求證：收斂，已知正項(xiàng)級(jí)數(shù) ???????????? ? 121131 2nnn nnnn uuuu。試證：若 ???????????1,)0(0l i mnnnnn uurun,0l i m1l i m ??????????runnunnnn?證：發(fā)散。由比值法， ???? ?1 )!1(n nn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 ?????1 )2(12.nnn例)211212(l i m)2(12)2(12l i ml i m11 ?????????????????? nnnnuunnnnnnn?121 ??收斂。由比值法， ???? ??22 2)1(1nnn?????110 021.nnn例nnnnnn nnuu2121)1(l i ml i m10011001?????????????)1(21)1(l i m 1 0 01 0 0??????? nnn121 ??收斂。由比值法， ???? 1 !nnnn 8. 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 比值判別法 ( D’ Alembert 法 ） 的應(yīng)用實(shí)例 1l im ( 1 ) 1nnen? ? ?? ? ? ??????1!2.nnnnn例nnnnnnnnnnnnuu!2)1()!1(2l i ml i m111?????????????12)11(l i m2)1(l i m2 ???????????? ennnnnnn收斂。 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴結(jié)束返回首頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 本節(jié)討論一般的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ,即各項(xiàng)符號(hào)不盡相同的變號(hào)級(jí)數(shù) (任意項(xiàng)級(jí)數(shù) ).如級(jí)數(shù) 1111( 1 ) s innnnnn???????? 及 下面討論任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法 .首先討論 其中的一種各項(xiàng)正負(fù)相間的特殊情形 —— 交錯(cuò)級(jí)數(shù) . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 ?交錯(cuò)級(jí)數(shù) ? 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù) ,?它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的 ???交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 的 一 般 形 式 為 ?????11)1(nnn u ,? 其 中 0?nu ? 下頁(yè)11 2 3 4 2 1 21( 1 ) n n k knu u u u u u u????? ? ? ? ? ? ? ? ??111 1 1 1 1 1( 1 ) 1 2 3 4 5 6nn n? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 這是交錯(cuò)級(jí)數(shù) . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 ?交錯(cuò)級(jí)數(shù) ? 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù) ,?它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的 ???交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 的 一 般 形 式 為 ?????11)1(nnn u ,? 其 中 0?nu ? 下頁(yè)1 2 3 4 2 1 21( 1 ) n n k knu u u u u u u? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??或 ( 0, 1 , 2, ) nun??11 2 3 4 2 1 21( 1 ) n n k knu u u u u u u? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ( 0, 1 , 2, ) nun??上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) ?萊布尼茨定理 則級(jí)數(shù)收斂 ,?且其和 s?u1??( 1 ) 1?? nn uu ( n ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? ?????) ?? ( 2 ) 0lim ??? nn u ,? 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) ?????11)1(nnn u 滿足 條件 : 簡(jiǎn)要證明 :?下頁(yè)設(shè)級(jí)數(shù)的前 n項(xiàng)部分和為 sn??及 ??? s2n?u1?(u2?u3) ?(u4?u5)??????? ?(u2n?2?u2n?1)?u2n ??????????設(shè) s2n?s(n??),?則也 有 s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??),?所以 sn?s(n??)???因此級(jí)數(shù)是收斂的 ,?且級(jí)數(shù)的和 s?u1??可見數(shù)列 {s2n}單調(diào)增加 且有界 (s2n?u1),??所以 數(shù)列 {s2n}收斂 ??s2n可寫成 ? ? 1 2 3 11, nnu u u u u ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 1 2 ,S u u?? ? ? ? ?4 1 2 3 4 ,S u u u u? ? ? ?,???? ? ? ? ? ?2 1 2 3 4 2 1 2 ,n n nS u u u u u u?? ? ? ? ? ? ? ? ?稱 萊布尼茨型級(jí)數(shù) 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 9 證明級(jí)數(shù) 1)1(11?????nn n 收斂 ,? 并估計(jì)和及余項(xiàng) ?? 例 9??這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù) ??因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足 證 :?是萊布尼茨型級(jí)數(shù) ,?故收斂 ??( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 , ?????) ,? ( 2 ) 01l i ml i m ?? ???? nu nnn ,? ( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 , ?????) ,? ( 2 ) 01l i ml i m ?? ???? nu nnn ,? ?萊布尼茨定理 則級(jí)數(shù)收斂 ,?且其和 s?u1??( 1 ) 1?? nn uu ( n ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? ?????) ?? ( 2 ) 0lim ??? nn u ,? 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù) ?????11)1(nnn u 滿足 條件 : 首頁(yè)? ? 1 2 3 11, nnu u u u u ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 例 9 證明級(jí)數(shù) 1)1(11?????nn n 收斂 ,? 并估計(jì)和及余項(xiàng) ?? 例 9??這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù) ??因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足 證 :?( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 , ?????) ,? ( 2 ) 01l i ml i m ?? ???? nu nnn ,? ( 1 ) 1111 ????? nn unnu ( n ? 1 , 2 , ?????) ,? ( 2 ) 01l i ml i m ?? ???? nu nnn ,? 首頁(yè) . 例 驗(yàn)證 : 不管 大于 還是不大于 ,只要 p 1 1 0,p?? ? 111 npn n?????? 均收斂 . ? ? ? ? ???????111 1 , 1 , 2 ,1nn ppu u nn n ?? ? ? ??解 :因( 1 ) 1?? nn uu ( n ? 1 ,? 2 ,? 3 ,? ?????) ?? ( 2 ) 0lim ??? nn u ,? 是萊布尼茨型級(jí)數(shù) ,?故收斂 ??是萊布尼茨型級(jí)數(shù) ,?故收斂 ??三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的 絕對(duì)收斂 與 條件收斂 定義 : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) . 例如 , ?????121 1)1(nnn絕對(duì)收斂 , 而 ?????11 1)1(nnn條件收斂 . 定義 若 ??? 1nnu 收斂 , 則稱 ??? 1nnu 絕對(duì)收斂 ； 若 ??? 1nnu 收斂 , 但 ??? 1nnu 發(fā)散 , 則稱 ??? 1nnu 條件收斂 . 1nnu???? 由于任意常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)不一定同號(hào) ,因而正 項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法對(duì)它來(lái)說(shuō)是不適用的 .但當(dāng)我們 可 借助于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性的判別法來(lái)研究它了 . 它的每一項(xiàng)取絕對(duì)值后組成的級(jí)數(shù) —— 正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,便 考察 1||nnu????1nnu????三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的 絕對(duì)收斂 與 條件收斂 定義 : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) . 上頁(yè) 下頁(yè) 鈴 結(jié)束 返回 首頁(yè) 定理 證 ? un ? | un | ? ||2||0 nnn uuu ???, || 1收斂已知 ????nnu , )||( 1收斂故 ?????nnn uu從而 . ]||)||([11收斂???????????nnnnnn uuuu . , || 11必收斂則級(jí)數(shù)收斂若 ????